微分方程的基本概念

1.5.1　微分方程的基本概念

1.微分方程的概念

凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，称为微分方程.

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.

如方程

是一阶微分方程;又如，方程

x³y″+x²y″－4xy'=3x²

是三阶微分方程.

一般地，n阶微分方程的形式是

其中F是n+2个变量的函数，y⁽ⁿ⁾是必须出现的，而x，y，y'，…，y^(n－1)等变量则可以不出现.

2.微分方程的解通解

微分方程的解是一个函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式.确切地说，对于n阶微分方程(1.5-1)，设函数y=φ(x)在区间I上有n阶导数，且在区间I上满足

F［x，φ(x)，φ'(x)，…，φ⁽ⁿ⁾(x)］≡0，

则称函数y=φ(x)为微分方程(1.5-1)在区间I上的解.

如果二元代数方程Φ(x，y)=0所确定的隐函数是某微分方程的解，那么Φ(x，y)=0就称为该微分方程的隐式解.

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数(这里所说的任意常数是互相独立的)与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.

如方程

是二阶微分方程.而函数

x=C₁coskt+C₂sinkt满足该方程，即这函数是方程的解，又这函数中含有两个独立的任意常数，故这函数是上述微分方程的通解.

3.初始条件与特解

能用来确定通解中的任意常数的条件称为初始条件.通常一阶微分方程的初始条件为

y|_x=x0=y₀，

二阶微分方程的初始条件为

y|_x=x0=y₀，y'|_x=x0=y'0，

其中x₀，y₀和y'0都是给定的值.

通解中的任意常数全部确定后，就得到一个确定的解，这种解称为微分方程的特解.

【例1.5-1】验证函数y=C₁e^－x+C₂e^2x是微分方程y″－y'－2y=0的通解.

证:y=C₁e^－x+C₂e^2x，y'=－C₁e^－x+2C₂e^2x，y″=C₁e^－x+4C₂e^2x，代入方程得

左=C₁e^－x+4C₂e^2x－(－C₁e^－x+2C₂e^2x)－2(C₁e^－x+C₂e^2x)=0=右.

所给方程是二阶的，所给函数中恰好含C₁、C₂两个任意常数，且因e^2x/e^－x=e^3x0，故这两个任意常数不能合并成一个，即它们是相互独立的，因此所给函数是所给方程的通解.