随机过程基本概念

在自然界和现实生活中，存在着一些随时间演变的随机现象，比如降雨量的变化，股票价格的波动，保险公司理赔人数的变化，人的一生中身高的变化。等等。随机过程就是研究这些随时间演化的随机现象。例如考虑某大学食堂一天中就餐人数的变化，假设食堂每天早上6:00开门，晚上10:00关门，在任何6≤t≤22，以X（t）表示t时刻食堂就餐人数，则X（t）是一个随机变量。而就餐人数随时间变化而变化，一般在早上7:00－8:00，中午11:00－12:30，晚上5:00－7:00是就餐高峰时期。所以不同的t，随机变量X（t）也可能不同。于是{X（t）;6≤t≤22}就是一个随机过程。它牵涉到无穷多个随机变量。任取一天，观察这一天就餐人数的变化，对所有的6≤t≤22，把t时刻就餐的人数记录下来，就是对随机过程{X（t）;6≤t≤22}进行了一次随机试验。根据观察到的结果可得到t的某个函数x（t），6≤t≤22，这个函数被称为随机过程的一个样本函数（或样本轨道），或说是对随机过程的一次实现。

随机过程是概率论的“动力学”部分（J．Neyman，1960）。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究。1907年，马尔可夫在研究相依随机变量序列时，提出了现今称之为马尔可夫链的概念；1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，奠定了马尔可夫过程的理论基础；1934年，辛钦发表了《平稳过程的相关理论》；从1938年开始，勒维系统深入地研究了布朗运动；1948年，他出版了著作《随机过程与布朗运动》。现代随机过程论的另外两个代表人物是杜布和伊藤清，前者创立了鞅论，后者创立了布朗运动的随机积分理论。

随机过程可以按照它本身的统计特性分成很多类，比如马尔可夫过程、更新过程、高斯过程、平稳过程、鞍等等。随机过程在现实生活中被广泛应用，泊松过程、布朗运动、马尔可夫链等都是重要的随机过程，它们常被用来作为排队论，保险，金融和经济的模型。经典的Black-Scholes模型就是假设股票价格服从几何布朗运动的。在天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。