相关分析基本概念

第二节　相关分析基本概念

样本相关系数，简称相关系数r，给出了两个序列变量(x，y)之间的相似关系。由于序列变量的样本有限，为研究其间准确的相关关系，常需计算总体相关系数ρ。但ρ实际是无法计算的，一般通过样本相关系数r来估计或检验总体相关系数ρ是否异于零。

一、相关关系与函数的关系

变量之间的函数关系和相关关系，在一定条件下是可以互相转化的。本来具有函数关系的变量，当存在观测误差时，往往以相关的形式表现出来。而具有相关关系的变量，如果对两变量有了深刻的规律性认识，并且能够把影响因变量变动的因素全部纳入方程，这时的相关关系也可能转化为函数关系。另外，相关关系也具有某种变动规律性，所以，相关关系经常可以用一定的函数形式——回归方程去近似地描述。

二、相关关系的类型

就相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关。当一个现象的数量变化完全由另一个现象的数量变化所确定时，称这两种现象间的关系为完全相关。例如，在价格不变的条件下，某种商品的销售总额与其销售量总是成正比例关系。在这种场合，相关关系便成为函数关系，因此也可以说函数关系是相关关系的一个特例。当两个现象彼此互不影响，其数量变化各自独立时，称为不相关现象。例如，通常认为股票价格的高低与气温的高低是不相关的。两个现象之间的关系介于完全相关和不相关之间，称为不完全相关，一般的相关现象都是指这种不完全相关。

按相关的方向可分为正相关和负相关，当一个现象的数量增加(或减少)，另一个现象的数量也随之增加(或减少)时，称为正相关。例如，城市人口增加，妇女生育水平下降。当一个现象的数量增加(或减少)，而另一个现象的数量向相反方向变动时，称为负相关。例如老年人口增加，社会保险支出费用水平增加。

按相关的形式可分为线性相关和非线性相关，当两个相关现象之间的关系大致呈现为线性关系时，称之为线性相关。例如人均消费水平与人均收入水平通常呈线性关系。如果两种相关现象之间，并非表现为直线的关系，而是近似于某种曲线方程的关系，则这种相关关系称为非线性相关。例如，产品价格与产品销售量就是一种非线性相关。

按所研究的变量多少可分为单相关、复相关和偏相关。两个变量之间的相关，称为单相关。当所研究的是一个变量对两个或两个以上其他变量的相关关系时，称为复相关。例如，某种商品的需求与其价格水平以及收入水平之间的相关关系便是一种复相关。在某一现象与多种现象相关的场合，假定其他变量不变，专门考察其中两个变量的相关关系称为偏相关。例如，在假定人们的收入水平不变的条件下，某种商品的需求与其价格水平的关系就是一种偏相关。

三、相关分析与回归分析的关系

相关分析和回归分析是研究现象之间数量关系的两种基本方法。相关分析是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度；回归分析是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的对应变化关系。其间分析方法既有联系又有区别。

相关分析和回归分析有密切的联系，它们不仅具有共同的研究对象，而且在具体应用时，常常必须互相补充。相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。由于上述原因，回归分析和相关分析在一些统计学的书籍中被合称为相关关系分析。

相关分析与回归分析之间在研究目的和方法上是有明显区别的。相关分析研究变量之间相关的方向和相关的程度，但是相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况。回归分析则是研究变量之间相互关系的具体形式，它对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，确定一个相关的数学表达式，根据这个数学方程式可以从已知量来推测未知量，从而为估算和预测提供—个重要的方法。因此，相关分析可以不必确定变量中哪个是自变量，哪个是因变量，其所涉及的变量可以都是随机变量。而回归分析则必须事先研究确定具有相关关系的变量中哪个为自变量，哪个为因变量。一般认为，回归分析中因变量是随机的，而把自变量作为研究时给定的非随机变量。

相关与回归分析可以加深人们对客观现象之间相关关系的认识，因而是对客观现象进行分析的有效方法。但是，相关分析和回归分析只是定量分析的手段。通过相关与回归分析虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是无法准确地判断现象内在联系的有无，也无法单独以此来确定何种现象为因，何种现象为果。只有以实质性科学理论为指导，并结合实际经验进行分析研究，才能正确判断事物的内在联系和因果关系。对没有内在联系的事物进行相关和回归分析，不但没有意义，反而会导致荒谬的结论。因此，在应用这两种方法对客观现象进行研究时，一定要始终注意把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上开展定量分析。

相关图又称散点图或XY坐标图(如图10.1)。它是以直角坐标系的横轴代表变量x，纵轴代表变量y，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来。用来反映两变量之间关系的图形。相关图是研究相关关系的直观工具，一般在进行详细的定量分析之前，可以先利用它对现象之间存在的相关关系的方向、形式和密切程度作大致的判断。