常用数理统计工具简介

12.4　常用数理统计工具简介

在质量管理和质量控制中，需要利用大量数据和资料，并对它们进行科学的整理，才能作出科学的判断，以便找出原因、解决问题。目前为进行质量管理和质量控制所收集和整理数据的常用数理统计工具有如下7种：①直方图；②排列图；③因果图；④调查法；⑤分层法（或称分类法）；⑥控制图；⑦相关图。下面只对前面五种简单地介绍它们的要点或基本原理，而对控制图将用专门章节进行介绍。

12.4.1　直方图

在质量管理和质量控制工作中，直方图能将产品质量特性值分布情况直观地表示出来，因此，它是一种常用的有效工具。

直方图有频数直方图和频率直方图两种，其中又以频数直方图使用较多（图12-2）。样本数据频数直方图，是指将样本观测值X₁，X₂…，X_n进行适当的分组，然后计算每一组中数据的个数（频数），以样本取值范围为横坐标，以频数为纵坐标，将按样本序列划分的组及其频数的柱状图连续画在图中而得。

图12-2　频数分布直方图

1.直方图的作图方法及计算

下面，以实例说明直方图的作图方法及有关统计特征值的计算。

【例】某沥青混凝土拌和场，连续拌和100天，每天抽提一次油石比，将其记录列于表12-6，设计油石比6.0％，施工允许偏差±0.5％，作频数分布直方图并计算有关特性值。

【解】①收集数据。一般应不少于50～100个数据，本例的100个数据见表12-6。

表12-6　数据表

注：表中画*者为最大，画△者为最小。

②数据分析与整理。从100份沥青混凝土油石比抽提试验报告单中找出最大值、最小值，并计算其极差，即全体数据中：

最大值　　　　　　　　　 X_max＝6.43

最小值　　　　　　　　　 X_min＝5.53

极差值　　　　　　　　　 R＝X_max－X_min＝6.43－5.53＝0.9

③确定组数与组距。通常先定组数，后定组距。组数用B表示，应根据收集数据总数而定（表12-7），组距用h表示，其计算公式为：

h＝R/（B-1）　　　　（12-11）

表12-7　组数表

本例中取组数B＝11，则组距h＝0.9/10＝0.09。

④确定组界。为避免数据恰好落在组界上，组界值的数据要比原数据的精度高一位。其中第一组组界值可由下式求出：

（X_min－h/2）～（X_min＋h/2）　　　　（12-12）

本例中第一组界值为（5.53－0.09/2）～（5.53＋0.09/2）＝5.485～5.575。

第二组的组界下限等于第一组的上限组界值，第二组的上限组界值则等于下限值加上组距，即为

5.575＋0.09＝5.665

余后各组的组界依次类推。

⑤编制频数分布统计表。组界值确定后，按组号、统计频数、频率（相对频数）列表，见表12-8。

表12-8　频数分布统计表

⑥画频数分布直方图。如图12-2所示。显然在直方图中，如果产品数量不断增加，分组越来越细，直方图就转化为一条光滑的曲线，即正态分布曲线（图12-3）。

⑦几个特性值的计算。若需对两个以上频数分布进行比较，用数值定量地表示差异时，应将频数分布直方图所显示的特性予以数量化，在画出频数直方图后，还要计算以下几个统计特征值。

ⅰ.平均值。

由式（12-1）得

ⅱ.标准偏差

由式（12-5）得：

图12-3　分布中心与公差中心偏离

ⅲ.变异系数

由公式（12-6）得：

C_V＝（S/X^„）×100％＝0.180/5.948×100％＝3.06％

ⅳ.工序能力指数

工序能力指数是指工序处于稳定状态下的实际生产合格产品的能力，是公差标准范围（或施工允许偏差）与该工序施工精度的比值。在一般情况下（即公差带中心与分布中心重合时）用字母C_P表示，其计算公式为：

C_P＝T/6S　　　　（12-13）

式中：T——公差标准范围。

本例为5.5％～6.5％，即T₁＝5.5％，T_U＝6.5％

得T＝T_U－T₁值代入式（12-13）得：

C_P＝（6.5－5.5）/（6×0.182）＝0.916≤1

按判断标准（表12-9）说明本例工序能力不够，需要从人、机器、材料和工艺方法等方面去查找影响工序能力的因素进行改进。

表12-9　C_p值的判断标准

当分布中心偏离标准公差中心时（图12-8）对C_p值须作修正。C_p值的修正就是把计算所得的C_p值乘一个修正系数：

K'＝1－K　　　　（12-14）

　　　　(12-15)

式中：K'——修正系数；

K——相对偏移量；

M——标准公差范围的中心值，M＝（T/2）＋T_L，本例中M＝（0.5＋5.5）％＝6.0％；

X„——实际标准质量分布范围的中心值；

T——标准公差范围，T＝T_u－T_L，本例中T＝1.0％。

图12-8中，ξ为分布中心与公差中心绝对偏移量，按下式计算：

　　　　（12-16）

本例ξ＝| 6.0－5.947|％＝0.053％。

工序能力指数C_P值，用C_PK'表示：

C_PK'＝C_P（1－K）＝（T/6S）（1－K）＝0.916×（1－0.053/0.5）＝0.82＜1

由此更说明本例施工工序能力不足。

2.频数分布直方图的用途

（1）估算可能出现的次品率。

首先明确工程标准质量要求（包括标准的计量单位和上下界限值）；根据平均值X„和标准偏差值S；计算不合格率（P），公式为:

P＝P_u＋P_L　　　　（12-17）

式中：P_u——超出上限（上界限P_u）的不合格率；

P_L——超出下限（下界限P_L）的不合格率。

P_u及P_L由相应系数K_α上及K_α下在正态分布概率系数表查附表Φ（K_α），再由［1－Φ（K_α）］计算而得K_α上和K_α下的计算为：

K_α上＝| T_u－X„ | / S　　　K_α下＝|T_L－X„|/S　　　　（12-18）

【例】仍用前例表12-6数据。确定标准质量要求的油石比为6.00％，允许上下波动0.5％。

已知X„＝5.947％，S＝0.182％，T_u＝（6.00＋0.50）％＝6.50％ T_L＝（6.00－0.50）％＝5.50％

【解】由式（12-18）得：

K_α上＝| T_u－X^„| / S＝| 6.50－5.947| / 0.182＝3.04

查附表概率表，当K_α上＝3.04相应超出的概率［1－Φ（3.04）］为0.0012。

K_α下＝| T_L－X„ | / S＝| 5.50－5.947| / 0.182＝2.46

当K_α下＝2.46相应超出的概率［1－Φ（2.46）］为0.0069，

故不合格率P＝0.0012＋0.0069＝0.0081即0.81％。

本例也可认为是全部合格。

（2）判断质量分布状态。

作完频数直方图后，可以从图形判断工程质量是否正常。

正常的质量分布状况通常呈正态分布图形，即近似于左右对称的山峰型。异常的质量分布状况呈孤岛型、折齿型、双峰型，左（右）侧缓坡型、绝壁型（图12-4）。

（3）可观察标准公差中心与实际生产分布中心的偏离情况。

如图12-5所示，图中T是公差标准范围；PL是产品实际质量分布范围。

（4）考察工序能力。

通过频率分布直方图计算工序能力指数（C_p），可以正确决定工程产品质量指标的公差界限为设计和施工部门制定各种规范、规程及规定质量检查方案提供数据；可以实事求是地反映工序实际的加工能力，用数据表示出来，客观而充分地反映生产操作者的努力程度，有利于提高工程质量。

图12-4　直方图（判断质量分布）

图12-5　直方图（判断施工能力）

12.4.2　排列图

排列图又称巴雷特图，简称巴氏图。巴雷特（Uibrado Pareto）是意大利经济学家，他在研究社会财富分配时，发现少数富人占有国家绝大多数的财富，提出所谓“关键的少数和次要的多数”的关系。后来美国质量管理专家朱兰（J.M Juran）将巴氏法则应用于质量管理，作为在改善质量活动中寻找主要问题的一种工具，即分析从哪里人手解决质量问题以提高经济效益。巴氏图是找出影响质量主要因素的一种有效工具。

巴氏图中有两个纵坐标，一个横坐标，几个矩形和一条曲线。左边的纵坐标表示频数（件数、点数、金额等），亦即表示各种影响质量因素发生或出现的次数；右边的纵坐标表示频率，亦即各影响因素占诸因素的比率（以百分比表示）。横坐标表示影响质量的各种因素，按其影响程度的大小从左到右依次排列。每个影响因素都用一个矩形表示，矩形的高度表示频数（频率）的大小。再根据各种影响因素的频率作累计频率曲线，这条曲线即巴雷特曲线。

通常把各影响因素累计频率分为三区：0～80％为A区，此区域内的因素为主要影响因素；80％～90％为B区，是次要因素；90％～100％为C区，为一般因素。质量工作应重点抓住A类因素，采取对策，提高产品质量。

【例】某港口工程的构件预制场，在一段时间内，质量问题较多，经抽样调查，发现138个样品质量问题见表12-10。试绘制排列图并分析主要因素。

表12-10　质量问题调查汇总表

【解】①将调查的数据进行分类。

②按分类进行统计，计算频数、频率和累计频率并汇总成表（见表12-10）。

③以各影响因素（从大到小）为横坐标，左右两边画两个纵坐标，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率（以百分比表示）作出各因素的直方图。

④作第一个直方图从左下到右上的对角线（图12-6），从该线段终点作第二个直方图对角线的平行线段，再在终点作第三个直方图的对角线平行线段，直至所有直方图对角线的平行线段均连接完成。这条连线是各影响因素的累计频率曲线，也就是巴雷特曲线。

⑤观察排列图。其中，“强度不足”和“蜂窝麻面”两项的累计频率为0～80％，故判“强度不足”和“蜂窝麻面”为影响预制构件质量的主要因素，应采取措施，加以改善。

图12-6　排列图

12.4.3　因果图

因果图就是对质量问题（即观测结果）有影响的一些重要的因素加以分析和分类，并在同一张图上把它们的关系用箭头表示出来，以对因果作出明确系统的整理。由于因果图形如鱼骨状或树枝状，故又称“鱼骨图”、“树枝图”。因果分析图的具体形式如图12-7所示，它是某工程混凝土质量不合格的因果分析。

图12-7　某工程混凝土强度不足的因果分析图

12.4.4　调查表

在质量控制中，常用的统计分析调查表是一种收集数据的方法。为了质量控制，必须要利用来自实际生产过程中的数据，这就需要在生产实际中收集。统计分析用的调查表就是利用统计表进行数据收集、整理和原因分析的一种工具。

采用调查表收集数据，首先要明确其目的是什么：是为了控制工序或是为了弄清原因和结果的关系，还是为了调查材料强度？因为目的不同，采用调查表的格式和内容也不同。常用的格式有：①调查缺陷位置的统计分析调查表；②工序内质量特性分布统计分析调查表；③按不合格项目分类统计分析调查表等。

表12-11为质量调查表的例子。

表12-11　港区道路基层填筑质量调查表（调查长度200m）

12.4.5　分层法

分层法又称分组法、分类法，是分析工程质量最基本的方法之一。它是将所收集的数据按不同的目的分门别类地加以归纳，再按其他方法将分类后的数据加工成图表。在统计分析工程质量时，常按如下方法进行分类:

1.按工程组成部分分类

可分为疏浚工程、整治工程、渠化工程、港口工程、排水工程、通信导航工程，其他人工构筑物工程、附属设施安装工程等。

2.按施工检查项目分类

这种分类可在按组成部分分类的基础上细分。

（1）在疏浚工程中，有设计通航水域内的水深、宽度、超欠挖等；

（2）在渠化通航建筑物工程中，有基础开挖、墙后回填、混凝土工程或砖石砌筑、钢结构及金属构件制作安装工程等；

（3）在港口工程中，有基槽开挖、码头建筑、起重运输、设备安装、陆域回填、港区道路和仓库堆场等。

对于港口航道工程的建筑或构筑物可根据工程的不同要求，提出各种检查项目，均可采用分层法进行质量问题的检查分析。

3.按施工时间分类

水运工程施工属野外作业，施工质量常受季节和时间的影响，因此，做好施工记录、载明各种施工项目的不同施工时间，对分析质量问题很重要，故施工记录应注明项目，工序的施工年、月、旬、日、昼夜等，以便分别进行统计，从统计资料中找出质量的规律性。

4.按施工时期或施工班组分类

水运工程施工常以工程项目配置施工队伍或以班、组承建某一工程项目。在进行统计分析时，可按不同的施工工艺和操作方法分类，或按工人的技术等级、性别、年龄分类，或按料场、材质分类，或按检测手段、质量事故分类。

上述各种逐次分层、逐次分解的分析统计数据的方法，可使质量管理和质量控制工作层层深入、层层解剖，进而层层解决问题。