有限元分析法

4.2.1 理论基础

有限元分析的方法起源于航空工程中的矩阵分析，随着计算机技术的普及和计算速度的提高，有限元分析在工程设计和分析中得到越来越广泛的应用。有限元分析方法主要用于结构仿真中的静力分析、动力分析、稳定性计算，特别是结构的线性、非线性分析、屈曲分析等。有限元分析法的功能主要有：可增强产品和工程的可靠性；有助于在产品的设计阶段发现潜在问题；经过分析计算，采用优化的设计方案，可降低原材料成本，缩短产品投向市场的时间；采用模拟试验的方案，可减少试验次数，从而减少试验经费。

有限元分析基于固体流动的变分原理，将一个原来连续的物体剖分成有限个数的单元体，各个单元体相互在有限个节点上连接，承受等效的节点载荷。它运用数学上平衡微分方程、几何上变形协调方程和物理上的本构方程作为基本的理论方程，结合圣维南原理和虚位移原理，通过求解离散单元在给定边界条件、载荷和材料特性下所形成的线性或非线性微分方程组，从而可得到结构连续体的位移、应力、应变和内力等计算结果。下面简单介绍这些理论基础。

1）常用物理量

（1）外力。作用于物体的外力可分为体力和表面力。体力是指分布在整个体积内的外力，如重力和惯性力，用符号px、py、pz表示。表面力是指作用于物体表面上的力，用符号qx、qy、qz表示。

（2）应力。描述物体的受力状态。从物体内取出一个边长分别为d x、d y、d z的微分体。每个面上的应力可分为一个正应力和两个剪应力。正应力记为σx、σy、σz，剪应力记为τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy。前一个脚标表示τ的作用面所垂直的坐标轴，后一个脚标表示τ的作用方向。根据剪应力互等定律有τxy＝τyx、τxz＝τzx、τyz＝τzy。

（3）应变。描述物体变形的程度。线段每单位长度的伸缩称为正应变，记为εx、εy、εz。线段之间夹角的改变量称为剪应变，记为Y xy、Y yz、Y xz。

（4）位移。描述物体变形后的位置。在载荷或温度变化等其他因素作用下，物体内各点之间的距离改变称为位移。它反映物体的变形大小，记为u、v、w，分别为X、Y、Z三个方向的位移分量。

2）基本方程

（1）平衡方程如下：

（2）应变和位移的关系。物体受力后变形，其内部任一点的应变和位移的关系如下：

（3）应力和应变的关系。用胡克定律表示为

式中，E为材料的弹性模量，μ为材料的泊松比。

（4）边界条件。研究物体上的全部边界条件可以分为力边界条件和位移边界条件。

在力边界条件上，作用着表面力。由弹性力学理论，下式成立：

qx＝σxx l＋σxym＋σxzn，qy＝σyx l＋σyym＋σyzn，qz＝σzx l＋σzym＋σzzn

式中，l、m、n为弹性体边界外法线与三个坐标轴夹角的方向余弦。

在位移边界条件上，位移已知，表示为

对于平面问题，可通过9个未知函数满足9个基本方程来求解。它们分别是2个平面微分方程，3个几何方程，4个物理方程及位移边界条件与力的边界条件。

对于空间问题，可通过15个未知函数满足15个基本方程来求解。它们分别是3个平面微分方程，6个几何方程，6个物理方程及位移边界条件与力的边界条件。

（5）虚位移方程。虚位移原理是力学中应用范围很广的原理之一，该原理表达了弹性体平衡的普遍规律。基于虚位移原理可以推导有限元公式。

假设一个弹性体在虚位移发生之前处于平衡状态，当弹性体产生约束允许的微小位移并同时在弹性体内产生虚应变时，体力与面力在虚位移上所做的虚功等于整个弹性体内各点的应力在虚应变上所做的虚功的总和，即外力虚功等于内力虚功：

式中，δu、δv、δw分别为受力点的虚位移分量，δεx、δεy、δεz、δY xy、δY yz、δYzx分别表示虚应变分量，A表示力作用的表面积。

4.2.2 基本原理和步骤

有限元法求解力学问题的基本思想是：将一个连续的求解域离散化，即分割成彼此用节点互相联系的有限个单元，一个连续弹性体被看做是有限个单元体的组合，根据一定的精度要求，用有限个参数来描述各单元体的力学特性，而整个连续体的力学特性就是构成其全部单元体的力学特性的总和。基于这一原理及各种物理量的平衡关系，建立起弹性体的刚度方程（即一个线性代数方程组），求解该刚度方程，即可得出欲求的参量。有限元方法提供丰富的单元类型和节点几何状态的描述形式来模拟结构，因而能适应各种复杂的边界形状和边界条件。

图4-1　三角形单元的位移描述

有限元法的具体分析步骤为：①连续体的离散化；②选择单元位移函数；③建立单元刚度矩阵；④求解代数方程组，得到所有节点位移分量；⑤由节点位移求出内力或应力。下面就以三角形等参单元的求解过程为例，来介绍有限元分析计算方法，而对于其他的杆、梁、四边形、曲边四边形、四面体等空间的单元类型，可以用继承的方式加以实现。

1）选择位移函数

图4-1所示为由结构连续体离散化后的任一三角形单元，设单元三节点和单元内任一点A的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）、（x，y），它们各自的小位移分别为（r1，s1）、（r2，s2）、（r3，s3）、（r，s）。

现在三角形单元内选定一个线性函数，保证点A的坐标和小位移存在下列关系：

r＝α1＋α2 x＋α3y，s＝α4＋α5 x＋α6y

或者表示为以下的矩阵形式：

根据有限元法的基本假设，单元三节点处的坐标和小位移之间同样也存在着下列的线性关系：

r1＝α1＋α2 x 1＋α3 y 1，s1＝α4＋α5 x 1＋α6 y 1

r2＝α1＋α2 x 2＋α3 y 2，s2＝α4＋α5 x 2＋α6 y 2

r3＝α1＋α2 x 3＋α3 y 3，s3＝α4＋α5 x 3＋α6 y 3

矩阵表示为：

对于一个给定的三角形单元，三节点的坐标和位移是已知的，则由上式可以求出

α＝X－1d

将α代入式（4-1），并设N＝MX－1为形函数矩阵，得

Ψ＝MX－1d＝Nd

2）应变与位移之间的关系

根据变形协调方程，有

将α代入式4-3中，并设B＝M′X－1，则

ε＝M′X－1＝Bd

3）应力与应变间的关系

应力的计算公式为

式中，D是弹性矩阵，有两种形式：

（1）对平面应力而言，有

（2）对平面应变而言，有

4）单元刚度矩阵的求解

利用最小势能原理，可以得出典型常应变三角形单元的刚度矩阵。单元总势能自然是三角形三节点位移（r1，s1）、（r2，s2）、（r3，s3）的函数，形式为

πp＝πp（r1，s1，r2，s2，r3，s3）＝U－d Tf＝U＋φb＋φP＋φS

式中，U为应变能，φb为体力势能，φP为集中力P的势能，φS为分布载荷T S沿表面位移场ψS的势能，f为作用在单元上的总的载荷，它们分别表示为：

对πP取一次微分，整理后得

式中，k表示单元的刚度矩阵，对于厚度t不变的常应力单元，k又可表示为

从上式可以看出，B和单元面积A是单元节点坐标x 1、y 1、x 2、y 2、x 3、y 3的函数，故k又可扩展为

5）整体刚度矩阵的组装

设离散单元的数目为N，则由所有的单元刚度矩阵k（e）组装而成的整体刚度矩阵K为

整体刚度矩阵是个稀疏矩阵，即是零元素占绝大多数的带状对称矩阵和奇异矩阵。

6）通过边界条件的求解

对满足胡克定律的线弹性物体来说，有

式中，F代表整体载荷的系统向量，为所有节点在各个方向上的载荷结合，是完全已知的；δ代表整体位移向量，为所有节点在各个方向的位移，它是部分已知、部分未知的，要求解的就是那些未知量，而已知的部分就是所谓的约束。

7）单元应力与应变的计算

通过以上的步骤已经求得了每个节点的位移，并代入应变与位移的关系公式和通过数值高斯积分就可以得出应变，再由应变与应力的关系算出应力。

4.2.3 有限元分析软件简介

1）ANSYS软件简介

ANSYS软件是美国ANSYS公司研制的大型通用有限元分析（FEA）软件，是世界范围内增长最快的计算机辅助工程（CAE）软件，能与多数计算机辅助设计软件接口，实现数据的共享和交换。ANSYS软件是融结构力学分析、热力学分析、流体力学分析、电磁学分析、声学分析于一体的大型通用有限元分析软件。在核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等领域有着广泛的应用。ANSYS功能强大，操作简单方便，现在已成为国际最流行的有限元分析软件，在历年的FEA评比中都名列第一。目前，中国100多所理工院校采用ANSYS软件进行有限元分析或者将其作为标准教学软件。

ANSYS有限元软件主要包括三个部分：前处理模块、分析计算模块和后处理模块。

前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造三维几何模型和有限元模型。几何建模采用了两种可交叉使用的实体建模方法。网格划分提供了多种方法，可实现对网格密度及形态的精确控制。其中包括拉伸网格、智能自由网格划分、映射网格和自适应网格等。ANSYS还提供了参数化设计分析语言，可以将几何模型及有限元模型参数化，进行产品的系列设计和分析。

分析计算模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力。

后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示（可看到结构内部）等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。

2）Altair Hyper Works软件简介

Hyper Mesh是由Altair公司研发的Hyper Works软件的一个重要模块，主要用来建立几何模型或导入外部几何模型处理成有限元模型，还能导入结果文件进行后处理分析；和大多数建模软件接口良好，它导出的有限元信息也完整无缺，使用各种导出模板或用户定义的模板可以和有限元计算软件衔接得天衣无缝。

在CAE工程技术领域，Hyper Mesh最著名的特点是它所具有的强大的有限元网格划分前处理功能功能。一般来说，CAE分析工程师80%的时间都花费在了有限元模型的建立、修改和网格划分上，而真正的分析求解时间是消耗在计算机工作站上，所以采用一个功能强大，使用方便灵活，并能够与众多CAD系统和有限元求解器进行方便的数据交换的有限元前后处理工具，对于提高有限元分析工作的质量和效率具有十分重要的意义。

使用Hyper Mesh进行网格划分可以有效进行几何结构修补，拓扑关系连接处理，多种网格划分，如直接由节点建立单元、几何划分生成单元、曲线或面单元拉伸形成单元、实体网格直接产生等。网格划分时，Hyper Mesh可以有效控制网格划分密度和质量；通过质量控制标准、边界、表面、重复单元等检查网格的连接和质量；有多种修改方法可用来修改单元，保证网格质量，提高计算精度；还可以根据有限元模型直接转化为几何模型，或者修改有限元模型后几何结构也会相应转变。Hyper Mesh有很多单元类型和材料供选择，界面操作方便快捷；同时，它提供了界面操作的命令语言，可以采用命令流方式来代替界面操作，并支持建立宏命令以及进行界面的二次开发。另外，它还有一些高级功能，如多种焊接单元创建法、后处理可以通过多种方法对结果进行显示和分析，梁截面的定义方法和复合材料层参数的界面显示定义等。

3）ABAQUS软件简介

ABAQUS是一套功能强大的工程模拟有限元软件，其解决问题的范围从相对简单的线性分析到许多复杂的非线性问题。ABAQUS包括一个丰富的、可模拟任意几何形状的单元库；并拥有各种类型的材料模型库，可以模拟典型工程材料的性能，其中包括金属、橡胶、高分子材料、复合材料、钢筋混凝土、可压缩超弹性泡沫材料以及土壤和岩石等地质材料等。作为通用的模拟工具，ABAQUS除了能解决大量结构（应力/位移）问题，还可以模拟其他工程领域的许多问题，如热传导、质量扩散、热电耦合分析、声学分析、岩土力学分析（流体渗透/应力耦合分析）及压电介质分析。

ABAQUS有两个主求解器模块——ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit。ABAQUS还包含一个全面支持求解器的图形用户界面，即人机交互前后处理模块——ABAQUS/CAE。ABAQUS对某些特殊问题还提供了专用模块来解决。

ABAQUS被广泛地认为是功能最强的有限元软件，可以分析复杂的固体力学结构力学系统，特别是能够驾驭非常庞大复杂的问题和模拟高度非线性问题。ABAQUS不但可以做单一零件的力学和多物理场的分析，同时还可以做系统级的分析和研究。ABAQUS的系统级分析的特点相对于其他的分析软件来说是独一无二的。由于ABAQUS优秀的分析能力和模拟复杂系统的可靠性使得ABAQUS被各国的工业和研究广泛采用。ABAQUS产品在大量的高科技产品研究中都发挥着巨大的作用。