轴向拉伸和压缩

一、强度问题和构件的基本变形

1.强度问题

建筑结构要正常安全地使用，不仅要做到在外力（荷载和支座反力）作用下满足平衡条件，即不能倒，还要做到结构中的构件，如梁、板、柱等在外力作用下不发生破坏，即不能塌。以下几节所要讨论的是物体的破坏问题，也就是强度问题，主要是构件抵抗破坏的能力和承载能力，同时涉及抵抗变形的能力（刚度）和保持平衡的能力（稳定性）问题。

在研究强度问题时，构件不再是刚体，而是变形体，静力学中的某些基本公理，如力的可传性原理、力的平移定理、加减平行力系公理以及等效力系的代换均不再适用。

2.构件的基本变形

变形是强度问题不可回避的主要问题，构件的变形可分为基本变形和组合变形。基本变形有以下四种：轴向拉伸与压缩、剪切、弯曲、扭转。本书重点介绍前三种变形的强度问题。

二、轴向拉伸和压缩的内力和应力

1.轴向拉伸与压缩的内力——轴力

当作用于杆件上的外力作用线与杆的轴线重合时，杆件将产生轴向伸长或缩短变形，这种变形形式就称为轴向拉伸或压缩。产生轴向拉伸或压缩变形的杆就称为拉杆或压杆。也可以称为受拉构件或受压构件。

在建筑结构中，拉杆和压杆是最常见的结构构件之一，例如桁架中的各杆均是拉杆或压杆，还有门厅的柱子是压杆等。

1）内力的概念

工程结构在工作时，组成结构的杆件将受到外力作用，由于制作杆件的材料是由许多分子组成的，分子间的距离便发生改变，因此杆件产生变形，而分子之间为了维持它们原来的距离，就产生一种相互作用的力，力图阻止距离变化。这种相互作用的力叫内力。杆件受的外力越大，则变形越大，内力也越大。当内力达到一定限度时，分子就不能再维持它们间的相互联系了，于是杆件就发生破坏。因此，内力是直接与构件的强度相联系的，为了解决强度问题，必须算出杆件在外力作用下的内力数值。

2）轴向拉伸和压缩的内力

现在来讨论杆件在轴向拉伸或压缩时产生的内力。为了便于观察它的变形现象，以图728所示橡皮棒受拉为例。

当橡皮棒两端沿轴线加上拉力P后，可以看到所有的小方格都变成了矩形格子，即橡皮伸长了，也就是说产生了伸长变形。同时，在橡皮内部产生了内力。为了研究内力的大小，假设用M-M截面将杆件分成两部分（这种方法称为截面法），它的左段受到右段给它的作用力N，而右段受到左段给它的反作用力N。由于构件在外力作用下是平衡的，所以左段和右段也各自保持平衡，即必须满足平衡条件，由：∑Fx＝0，得：N－P＝0，N＝P。

这种通过杆件轴线的内力称为轴力。一般规定：拉力为正，压力为负。内力的单位通常用牛顿（N）或千牛顿（kN）表示。

图7-28　轴向内力示意

2.轴向拉伸和压缩的应力

由实践而知，两根由同一材料制成的不同截面的杆件，在受相等的轴向拉力时，截面小的杆件容易破坏。因此，杆件的破坏与否，不但与轴力的大小有关，还与截面的大小有关。所以必须进一步研究单位截面面积上的内力，即应力。

从橡皮棒拉伸试验中可以看到，如果外力通过橡皮棒的轴线，则所有的格子变形都大致相同，即基本上是均匀拉伸，这说明横截面上的应力是均匀的。这种垂直于横截面的应力称为正应力（或称法向应力），以σ表示，如图7-29所示。

图7-29　轴向内应力示意

若用F代表横截面面积，正应力公式可表达为

σ＝N/F

当轴力为拉力时，σ为拉应力，用正号表示；当轴力为压力时，σ为压应力，用负号表示。

正应力常用的单位是帕斯卡，中文代号是帕，国际代号是Pa，1Pa＝1N/m2。在工程实际中，应力的数值较大，常用兆帕（MPa）或吉帕（GPa）表示，1MPa＝106Pa，1GPa＝109Pa。

三、轴向拉伸和压缩的变形

1.弹性变形与塑性变形

杆件在外力作用下发生的变形分为弹性变形与塑性变形两种。

外力卸除后杆件变形能完全消除的叫弹性变形。材料的这种能消除由外力引起的变形的性能，称为弹性。常用的钢材、木材等建筑材料可以看成是完全弹性体，材料保持弹性的限度称为弹性范围。

如果外力超过弹性范围后再卸除外力，杆件的变形就不能完全消除，而残留一部分。这部分不能消除的变形，称为塑性变形或残余变形。材料的这种能产生塑性变形的性能称为塑性。人们利用塑性可将材料加工成各种形状的物品。

材料发生塑性变形时，常使构件不能正常工作。所以，工程中一般都把构件的变形限定在弹性范围内。这里介绍的也就是弹性范围内的变形情况。

2.绝对变形与相对变形

取一根矩形截面的橡皮棒。如在它的两端加一轴向拉力P，可以看到，棒的纵向尺寸沿轴线方向伸长，而横向尺寸缩短；纵向尺寸由原来的长度l，伸长为l1，横向尺寸a缩短为a1，b缩短为b1。如在棒的两端加轴向压力，则情况相反，纵向尺寸缩短，横向尺寸增大，如图7-30所示。

图7-30　拉伸和压缩变形

拉伸时纵向的总伸长Δl＝l1－l，称为绝对伸长；压缩时纵向的总缩短称为绝对缩短。绝对伸长和绝对缩短与杆的原来长度有关。在其他条件相同的情况下，直杆的原来长度l越大，则绝对伸长（或缩短）Δl越大。为了消除原来长度对变形的影响，改用单位长度的伸长或缩短来量度杆件的变形，用ε来表示。实验证明，等截面直杆的纵向变形沿杆长几乎是均匀的，故有：

ε＝Δl/l

其中　　　　　　　　　　　　Δl＝l1－l

比值ε称为相对伸长或相对缩短，也叫纵向应变，它在拉伸时为正，压缩时为负。

同样横向应变用ε′表示：

ε′＝Δb/b或ε′＝Δa/a

其中，Δb＝b1－b，Δa＝a1－a，它在拉伸时为负，压缩时为正。

应变ε和ε′都是比值，是无量纲的量。

3.弹性定律

实验证明材料在弹性范围内应力σ与应变ε之比是一常数，通常用E表示：

E＝σ/ε

称为弹性定律，又称胡克定律（Hooke'slaw）。

E称为材料的拉压弹性模量。如果应力σ不变，E越大，则应变ε越小。所以，E表示了材料抵抗弹性变形的能力。弹性模量E的单位与应力的单位相同，E的数值随材料而异，通过试验测定，可查有关的手册得到。

四、材料在拉伸和压缩时的力学性质

材料的力学性质是指材料受力时在强度和变形方面表现出来的各种特性。在对构件进行强度、刚度和稳定性计算时，都要涉及材料在拉伸和压缩时的一些力学性质。这些力学性质都要通过力学实验来测定。

工程上所使用的材料根据破坏前塑性变形的大小可分为两类：塑性材料和脆性材料。这两类材料的力学性质有明显的差别。低碳钢和铸铁分别是工程中使用最广泛的塑性材料和脆性材料的代表。下面主要介绍这两种材料在拉伸和压缩时的力学性质。拉伸试验一般将材料做成标准试件，常用标准试件都是两端较粗而中间有一段等值的部分，在此等值部分规定一段作为测量变形的标准，称为工作段，其长度l称为标距。

1.材料在拉伸时的力学性质

1）低碳钢拉伸时的力学性质

如图7-31所示为低碳钢在拉伸时的应力应变曲线。

图7-31　低碳钢拉伸应力应变曲线

该曲线可分为以下四个阶段：

（1）弹性阶段（ob段）。

从图中可以看出，ob是直线，说明在ob范围内应力与应变成正比，材料服从胡克定律，即：

σ＝Eε

与a点所对应的应力值，称为材料的比例极限，用σp表示。

应力超过比例极限后，应力与应变已不再是直线关系。但只要应力不超过b点，材料的变形仍然是弹性的。b点对应的应力称为弹性极限，用σe表示。由于a、b两点非常接近，工程上对弹性极限和比例极限不加严格区分，常认为在弹性范围内应力和应变成成正比。

（2）屈服阶段（bc段）。

当应力超过b点所对应的应力后，应变增加很快，应力仅在很小范围内波动。在应力-应变图上呈初出接近水平的锯齿形线段，说明材料暂时失去了抵抗变形的能力。这种现象称为屈服（或流动）现象。此阶段的应力最低值称为屈服极限，用σs表示。

应力达到屈服极限时，由于材料出现了显著的塑性变形，就会影响构件的正常使用。

（3）强化阶段（cd段）。

这一阶段，曲线在缓慢地上升，表示材料抵抗变形的能力在逐渐加强。强化阶段最高点d所对应的应力是材料所能承受的最大应力，称为强度极限，用σb表示。应力达到强度极限时，构件将被破坏。

若在强化阶段内任一点f卸去荷载，应力-应变曲线将沿着与Oa近似平行的直线回到O1点。图中O1g代表消失的弹性变形，OO1代表残留的塑性变形。如果卸载后立即重新加载，应力-应变关系将大致沿O1f直线变化。到达f点后又沿着fde变化。这表明经过加载、卸载处理的材料，其比例极限和屈服极限都有所提高，这种现象称为冷作硬化。

工程中常利用冷作硬化来提高材料的承载能力，如冷拉钢筋、冷拔钢丝等。但另一方面，这样做降低了材料的塑性。

（4）颈缩阶段（de段）。

应力达到强度极限后，试件局部显著变细，出现“颈缩”现象，如图7-32所示。因此，试件继续变形所需的拉力反而下降。到达e点，试件被拉断。

图7-32　拉伸试件“颈缩”现象

试件拉断后，弹性变形消失，只剩下塑性变形。工程上用塑性变形的大小来衡量材料的塑性性能。

常用的塑性指标有两个，一个是延伸率，用δ表示：

δ＝（l1－l）/l×100%

式中，l是试件标距原长，l1是拉断后的长度。δ＞5%的材料，工程上称为塑性材料；δ＜5%的材料，称为脆性材料。低碳钢的δ＝20%～30%。

另一个塑性指标是截面收缩率，用ψ表示：

ψ＝（A－A1）/A×100%

式中，A为试件原横截面积，Al为试件拉断后颈缩处的最小横截面积。低碳钢的ψ＝60%。

2）铸铁拉伸时的力学性质

铸铁是典型的脆性材料，其δ＝0.4%。铸铁拉伸时的应力-应变图如图7-33所示。图中没有明显的直线部分，但应力较小时接近于直线，可近似认为服从胡克定律，以割线的斜率tanα为近似的弹性模量值。铸铁拉伸时没有屈服和颈缩现象，断裂是突然的。强度极限是衡量铸铁强度的唯一指标。

2.材料在压缩时的力学性质

1）低碳钢压缩时的力学性质

低碳钢压缩时的应力-应变曲线如图7-34所示。图中虚线为低碳钢拉伸时的应力-应变曲线，两条曲线的主要部分基本重合。低碳钢压缩时的比例极限σp、屈服极限σs、弹性模量E都与拉伸时相同。故在实用上可以认为低碳钢是拉压等强度材料。

图7-33　铸铁拉伸应力-应变曲线

图7-34　低碳钢压缩应力-应变曲线

当应力到达屈服极限后，试件越压越扁；横截面积逐渐增大，因此试件不可能被压断，故得不到压缩时的强度极限。

2）铸铁压缩时的力学性质

脆性材料在拉伸和压缩时的力学性能有较大差别。如图7-35所示为铸铁压缩时的应力应变曲线。其压缩时的图形与拉伸时相似，但压缩时的强度极限为拉伸时的4～5倍。一般脆性材料的抗压能力显著高于其抗拉能力。

3.两类材料力学性质比较

塑性材料抗拉强度和抗压强度基本相同，有屈服现象，破坏前有较大塑性变形，材料可塑性好；脆性材料抗拉强度远低于抗压强度，不宜用作受拉杆件，无屈服现象，构件破坏前无先兆，材料可塑性差。总的来说，塑性材料优于脆性材料。但脆性材料最大的优点是价廉，故受压构件宜采用脆性材料。这样，既发挥了脆性材料抗压性能好的特长，又发挥了它价廉的优势。

图7-35　铸铁压缩应力-应变曲线

五、许用应力和安全系数

构件正常工作时应力所能达到的极限值称为极限应力，用σo表示。其值可由实验测定。

塑性材料达到屈服极限时，将出现显著的塑性变形；脆性材料达到强度极限时会引起断裂。构件工作时发生断裂或出现显著的塑性变形都是不允许的。

由于在设计计算构件时，有许多实际不利因素无法预计，为保证构件的安全和延长使用寿命，杆内的最大工作应力不仅应小于材料的极限应力，而且还应留有必要的安全度。因此，规定将极限应力缩小K倍作为衡量材料承载能力的依据，称为许用应力，用［σ］表示。

［σ］＝σo/K

式中，K为大于1的数，称为安全系数。

根据工程实践经验和大量的试验结果，对于一般结构的安全系数规定如下：

钢材K＝1.5～2.0，铸铁、混凝土K＝2.0～5.0，木材K＝4.0～6.0。

六、拉伸和压缩时的强度计算

1.拉（压）杆的强度条件

拉（压）杆横截面上的正应力σ＝N/A，是拉（压）杆工作时由荷载引起的应力，称为工作应力。为保证构件安全正常工作，杆内最大工作应力σmax不得超过材料的许用应力。即

σmax＝N/A≤［σ］

上式称为轴向拉（压）杆的强度条件。

对于作用有几个外力的等截面直杆，最大应力σmax在最大轴力所在的截面上；对于轴力不变而截面面积变化的杆，最大应力σmax在截面面积最小处。这些发生最大正应力的截面，称为危险截面。

2.拉（压）杆强度条件的应用

利用拉（压）杆强度条件，可以解决工程实际中有关构件强度的三类问题。

1）校核强度

已知构件的横截面面积A，材料的许用应力［σ］及所受荷载，可检查构件的强度是否满足要求。

【例】已知钢拉杆受轴向拉力P＝21.9kN作用，杆由直径d＝14mm的圆钢制成，许用应力［σ］＝170MPa，试校核拉杆强度。

【解】（1）计算轴力。

N＝P＝21.9kN

（2）校核拉杆强度。

由强度条件

σmax＝N/A≤［σ］

代入已知数据得

σmax＝N/A＝21.9×103×106/（×π×142）＝142.3×106N/m2

　　＝142.3MPa＜［σ］＝170MPa

故满足强度要求。

2）设计截面尺寸

已知构件所受的荷载及材料的许用应力［σ］，则构件所需的横截面面积可按下式计算

A≥N/［σ］

【例】已知钢拉杆用圆钢制成，其许用应力［σ］＝120MPa，受轴拉力为P＝8kN，试确定钢拉杆的直径。

【解】（1）计算轴力。

N＝P＝8kN

（2）确定截面面积。

由强度条件得：

A≥N/［σ］＝8×103/（120×106）＝0.667×10－4m2

（3）确定钢拉杆直径

d≥（4A/π）0.5＝（4×0.667×10－4/π）0.5

＝0.92×10－2m＝9.2mm　　　　　　　　　

鉴于安全，取d＝10mm即可。

3）设计许可荷载

已知构件的横截面面积A及材料的许用应力［σ］，则构件所能承受的许可轴力为：

N≤［σ］A

然后根据轴力与荷载的关系，即可确定许可荷载的大小。

【例】已知钢拉杆用圆钢制成，其直径为d＝20mm，其许用应力［σ］＝160MPa，求该拉杆的许可荷载。

【解】由强度条件得

N≤［σ］A＝160×106×（π/4）×（20×10－3）2

＝50240N＝50.24kN　　　　　　　　　　　　　

该圆钢拉杆能承受的最大许可荷载为Pmax＝50.24kN。

七、压杆的稳定性概念

人们在生活中，短而粗的物体置于地上不易倾倒，这时它是“稳定的”；小而细长的杆件置于地上稍受横向外力则容易倾斜，这时它是“不稳定的”。

如图7-36a所示，一细长直杆两端铰支，在杆件一段作用一纵向压力P，当力P较小时，杆件AB将保持原来直线状态。若在杆的横向作用一个较小的水平力Q，如图7-36b所示，则直杆将发生微小弯曲变形。将水平力移去，杆件又恢复到原来的直线状态，此时称压杆AB是稳定的。若将力P逐渐增大，且压杆AB恢复原来状态一次比一次缓慢。当P增加到某值时，在水平力Q作用下，杆件发生弯曲后再也不能恢复原来直线状态，继续增加力P，压杆AB的变形速度加剧，此时杆件的平衡是不稳定的，并会很快弯折破坏，造成严重的事故。

图7-36　压杆稳定性示意