平面力系和受力图

一、力的基本性质

1.力的概念

力是物体与物体之间的相互机械作用，这种作用的效果会使物体的运动状态发生变化（力的运动效应或外效应），或者使物体的形状发生变化（力的变形效应或内效应），如图7-1所示。

图7-1　力的作用效果

（a）砖在重力作用下坠落；（b）脚手板在砖块作用下弯曲

力不能脱离物体而单独存在，有受力物体，必定有施力物体。两物体之间力的作用方式有两种。一种是直接的、互相接触的，称为接触力，如塔吊吊装构件时，钢丝绳对构件的拉力使其上升；另一种是间接的、互相不接触的，称为非接触力，如建筑物所受的地心引力（也称重力）。

力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点三个要素，三个要素中的任何一个要素发生了改变，力的作用效果也会随之改变。要表达一个力，就要把力的三要素都表示出来。

1）力的大小

它反映物体间相互作用的强弱程度。通常用数量表示，力的度量单位，在国际单位制中为牛顿（N，简称牛）或千牛顿（kN，简称千牛）；在工程实际中有时为千克力（kgf）或吨力（tf），它们的换算关系为：

1kN＝1000N，1tf＝1000kgf；

1kgf＝9.80665N≈10N，1tf＝9.80665kN≈10kN。

2）力的方向

包括方位和指向两个含义。如说重力的方向是“铅垂向下”，“铅垂”是力的方位，“向下”则是力的指向。

3）力的作用点

指物体受力的地方。实际上，作用点并非一个点，而是一个面积。当作用面积很小时，可以近似看成一个点。通过力的作用点，沿力的方向的直线，称为力的作用线。

力是既有大小，又有方向的物理量，称为矢量。它可以用一个带有箭头的直线线段（即有向线段）表示，如图7-2所示。其中线段的长短按一定的比例尺表示力的大小，线段的方位和箭头的指向表示力的方向，而线段的起点或终点就表示力的作用点，通过力的作用点，沿力的矢量方位画出的直线就表示力的作用线，这就是力的图示法。

本书凡是矢量都以黑体英文字母表示，如力F；而以白体的同一字母表示其大小或名称，如F。

图7-2　力的图示法

2.平衡的概念

所谓平衡，就是指物体相对于地面处于静止状态或保持匀速直线运动状态。例如，我们不仅说静止在地面上的房屋、桥梁和水坝是处于平衡状态的，而且也说在直线轨道上做匀速运动的塔吊以及匀速上升或者下降的升降台等也是处于平衡状态的，但是，在书本中没有特殊说明时所说的平衡，系单指物体相对于地面处于静止状态。

3.力系和合力的概念

一群力同时作用在一物体上，这一群力就称为力系。作用在物体上的力或力系统称为外力。

如果有一力系可以代替另一力系作用在物体上而产生同样的机械运动效果，则两力系互相等效，可称为等效力系（图7-3），记为F1＋F2＋F3＝R1＋R2。

如用一个力来代替一力系作用在物体上而产生同样效果，则这个力称为该力系的合力，而原力系中的各力称为合力的分力（图74），记为R＝F1＋F2＋F3＝∑Fi。

图7-3　等效力系

图7-4　力系的合力

物体会沿着合力的指向做机械运动。所以有合力作用在物体上，该物体一定会做机械运动。如果要物体保持静止（或做匀速直线运动），则合力应该等于零，换言之，要使物体处于平衡状态，则作用在物体上的力系应是一组平衡力系，即合力为零的力系。合力为零称为力系的平衡条件。

4.刚体的概念

在外力作用下，形状、大小均保持不变的物体称为刚体。工程实际中许多物体的变形都很微小，对物体平衡问题的研究影响不大，在本节讨论中可以忽略不计，视为刚体。

必须注意：“刚体”的概念在以后各节中将不再适用，因为在计算结构的内力、应力、变形时，结构的变形在所研究的问题中处于主要地位，不能忽略不计了。

5.静力学的基本公理

静力学基本公理是人们在长期的生产活动和生活实践中，经过反复观察和实践总结出来的客观规律，它正确地反映了作用在物体上的力的基本性质。

1）二力平衡公理

作用于同一刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上，如图7-5所示。

图7-5　二力平衡原理

2）加减平衡力系公理

可以在作用于刚体上的任一力系上，加上或减去任意的平衡力系，而不改变原力系对刚体的作用效果。

应用这个公理可以推导出静力学中一个重要的定理——力的可传性原理，即作用在刚体上的力，可沿其作用线移动，而不改变该力对刚体的作用效果，如图7-6所示。

3）力的平行四边形法则

作用于刚体上一点的两个力的合力亦作用于同一点，且合力可用以这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。

利用力的平行四边形法则可以简化为力的三角形法则，即用力的平行四边形的一半来表示。如图7-7所示，据此可以进一步将作用于同一点的两个以上的力的合力简化为多边形法则。

图7-6　力的可传性原理

F1、F2为大小与F相等的一平衡力系

图7-7　力的平行四边形法则和三角形法则

利用力的平行四边形法则，可以将作用于刚体上同一点的两个力合成为一个合力；反过来利用平行四边形法则也可以将作用于刚体上的一个力分解为作用于同一点的两个相交的分力。

4）作用力与反作用力公理

当一个物体给另一个物体一个作用力时，另一物体也同时给该物体以反作用力。作用力与反作用力大小相等，方向相反，且沿着同一直线。作用力与反作用力同时出现，同时消失，说明了力总是成对出现的，如图7-8所示。

应用上述静力学基本公理和力的可传性原理可以证明静力学的一个基本定理——三力汇交定理：

在刚体上作用着三个相互平衡的力F1、F2和F3，如其中两个力F1和F2的作用线相交于点A，则第三个力F3的作用线一定通过汇交点A，如图7-9所示。

图7-8　作用力与反作用力

图7-9　三力汇交定理

二、力矩、力偶的性质

1.力矩的概念和性质

1）力矩的概念

力对物体的作用可以使物体的运动状态发生两种改变，既能产生平动效应，又能产生转动效应。一个力作用在具有固定转动轴的刚体上，如果力的作用线不通过该固定轴，那么刚体将会发生转动，例如用手推门、用扳手转动螺母等。

力使刚体绕某点（轴）旋转的效果的大小，不仅与力的大小有关，而且与该点到力的作用线的垂直距离有关，如图7-10所示。

图7-10　力矩的概念

这时称力F对某点O的转动效应为力F对O点的矩，简称力矩，点O称为矩心，点O到力F作用线的距离称为力臂，以字母d表示。力F对点O的力矩可以表示成MO（F），则

MO（F）＝±Fd

力使物体绕矩心转动的方向就是力矩的转向，转向为逆时针方向时力矩为正，反之为负。力矩是一个代数量。

力矩的单位是牛顿·米（N·m）或千牛顿·米（kN·m）。

由力矩的定义可知，当力的大小为零或者力的作用线通过矩心时，力矩为零。当力沿作用线移动时，它对某一点的矩不变。

【例】已知F1＝2kN，F2＝10kN，F3＝5kN，作用方向如图7-11，求各力对O点的矩。

图7-11　力矩计算

【解】由力矩的定义可知：

MO（F1）＝F1d1＝2×1＝2kN·m

MO（F2）＝F2d2＝－10×2×sin30°＝－10kN·m

MO（F3）＝F3d3＝5×0＝0

2）合力矩定理

合力对平面内任意一点的力矩，等于各分力对该点力矩的代数和。即

如果　　　　　　　　　R＝F1＋F2＋F3＋…＋Fn

则　　　MO（R）＝MO（F1）＋MO（F2）＋MO（F3）＋…＋MO（Fn）＝∑MO（Fi）

于同一平面内的各力作用于某一物体上，该力系使刚体绕某点不能转动的条件是，各力对该点的力矩代数和为零（合力矩为零）。

即力矩平衡方程为　　　　　　∑MO（Fi）＝0

2.力偶的概念和性质

力使物体绕某点转动的效果可用力矩来度量，然而在生产实践和日常生活中，还经常通过施加两个大小相等、方向相反，作用线平行的力组成的力系使物体发生转动。例如，司机操纵汽车的方向盘时，两手加在方向盘上的一对力使方向盘绕轴杆转动；木工师傅用麻花钻钻孔时，加在钻柄上的一对力，如图7-12所示。

图7-12　力偶的概念

将大小相等、方向相反，作用线互相平行而不共线的力F和F′，称为力偶，记为（F、F′），两力作用线的距离，称为力偶臂，记为d，力偶所在的平面，称为力偶的作用面。

力偶不可能用更简单的一个力来代替它对物体的作用效果，所以力偶和力都是构成力系的基本元素。

力偶使物体发生转动的效果的大小，不仅与力的大小有关，而且与力偶臂的大小有关。

称力偶（F、F′）的转动效应为力偶矩，可以表示为m（F、F′）＝m＝±Fd。

力偶使物体转动的方向就是力偶矩的方向，转向为逆时针时力偶矩为正，反之为负。力偶是一个代数量。

力偶矩的单位也是牛顿·米（N·m）或千牛顿·米（kN·m）。

根据力偶的性质和特点，今后在研究一个平面内的力偶时，只考虑力偶矩，而不必论及力偶中力的大小和力偶臂的长短，今后一般用一带箭头的弧线表示力偶，并在其附近标记m、m′等字样，其中m、m′表示力偶矩的大小，箭头表示力偶的转向，如。

三、受力图和结构计算简图

1.荷载及其简化

1）荷载的概念

作用在建筑结构上的外力称为荷载。它是主动作用在结构上的外力，能使结构或构件产生内力和变形。

确定作用在结构上的荷载，是一项细致而复杂的工作，在进行结构或构件受力分析时，必须根据具体情况对荷载进行简化，略去次要和影响不大的因素，突出本质因素。在结构设计时，需采用《建筑结构荷载规范》（GB50009—2012）的标准荷载，它是指在正常使用情况下，建筑物等可能出现的最大荷载，通常略高于其使用期间实际所受荷载的平均值。

2）荷载的分类

（1）按作用时间分类。

①恒载：指长期作用在结构上的不变荷载，如结构自重、土的压力等。结构的自重，可根据其外形尺寸和材料密度计算确定。

②活载：指作用在结构上的可变荷载。如楼面活动荷载、屋面施工和检修荷载、雪荷载、风荷载、吊车荷载等。在规范中，对各种活载的标准值都作了规定。

（2）按分布情况分类。

①集中荷载：在荷载作用面积相对于结构或构件的尺寸较小时，可将其简化为集中地作用在某一点上，称为集中荷载。如屋架传给柱子的压力，吊车轮传给吊车梁的压力，人站在脚手板上对板的压力等。单位是牛顿（N）或千牛顿（kN）。

②分布荷载：连续地分布在一块面积上的荷载称为面荷载，用p表示，其单位是牛顿每平方米（N/m2）或千牛顿每平方米（kN/m2）；当作用面积的宽度相对于其长度较小时，就可将面荷载简化为连续分布在一段长度上的荷载，称为线荷载，用q表示，其单位是牛顿每米（N/m）或千牛顿每米（kN/m）。

根据荷载分布是否均匀，分布荷载又分为均布荷载和非均布荷载。

均布荷载指在荷载的作用面或作用线段上，每个单位面积或单位长度上的作用力都相等。如等截面混凝土梁的自重就是均布线荷载，等截面混凝土预制楼板的自重就是均布面荷载，如图7-13所示。

图7-13　均布荷载示意

（a）均布线荷载；（b）均布面荷载

非均布荷载指在荷载的作用面上或作用线段上，每单位面积或单位长度上都有荷载作用，但不是平均分布而是按一定规律变化的。例如挡土墙、水池壁都是承受这类荷载，如图7-14所示。

此外根据荷载随时间的变化，还可将荷载分为静力荷载和动力荷载两种。前者指缓慢施加的荷载，后者指大小、方向、位置急骤变化的荷载（如地震、机器振动、风荷载等）。

2.约束和约束反力

1）约束和约束反力的概念

图7-14　非均布荷载示意

在工程实践中，如塔吊，房屋结构中的梁、板，吊车钢索上的预制构件等物体的运动大都受到某些限制而不能任意运动，阻碍这些物体运动的限制物就称为该物体的约束，如墙对梁、轨道对塔吊等，都是约束。

物体沿着约束所能限制的方向运动或有运动趋势时，约束对该物体必然有力的作用，这种力称为约束反力，它是一种被动产生的力，不同于主动作用于物体上的荷载等主动力。

工程上的物体，一般都同时受荷载等主动力和约束反力等被动力的作用。主动力通常是已知的，约束反力是未知的，它的大小和方向随物体所受主动力的情况而定。

2）工程中常见约束及约束反力的特征

约束反力的确定，与约束的类型及主动力有关，以下是常见的几种典型的约束。

（1）柔体约束。

钢丝绳、皮带、链条等柔性物体用于限制物体的运动时都是柔体约束。由于柔体约束只能限制物体沿柔体中心线伸长的方向运动，故其约束反力的方向一定沿着柔体中心线，背离被约束物体。即柔体约束的反力恒为拉力，通常用T表示，如图7-15所示。

（2）光滑接触面约束。

物体与光滑支承面（不计摩擦）接触时，不论支承面形状如何，这种约束只能限制物体沿接触面公法线指向光滑面方向的运动。故其约束反力方向必定沿着接触面公法线指向被约束物体，即为压力，通常用N表示，如图7-16所示。

（3）固定铰支座。

图7-15　柔体约束

在工程实际中，常将一支座用螺栓与基础或静止的结构物固定起来，再将构件用销钉与该支座相连接，构成固定铰支座，用来限制构件某些方向的位移。其简图及约束反力如图7-17所示。

图7-16　光滑接触面约束

图7-17　固定铰支座的简图及约束反力示意

支座约束的反力称为支座反力，简称支反力。以后将会经常用到支座反力这个概念。

（4）可动铰支座。

在固定铰支座下面用几个滚轴支承于平面上构成的支座。这种支座只能限制构件垂直于支承面方向的移动，而不能限制物体绕销钉轴线的转动和沿支承面方向的移动。故其支座反力通过销钉中心，垂直于支承面，指向未定。其简图及支反力如图7-18所示。

（5）固定端支座。

构件的一端被牢固地嵌在墙体内或基础上，这种支座称为固定端支座。它不仅限制了被约束物体任何方向的移动，而且限制了物体的转动。所以，它除了产生水平和竖向的支座反力外，还有一个阻止转动的支座反力偶mA，其简图及支座反力如图7-19所示。

图7-18　可动铰支座的简图及支座反力示意

图7-19　固定端支座的简图及支座反力示意

上面介绍的几种约束是比较典型的约束。工程实际中，结构物的约束不一定都做成上述典型的形式。例如柱子插入杯形基础后，在杯口周围用沥青麻丝作填料时，基础允许柱子在荷载作用下产生微小转动，但不允许柱子上下左右移动。因此这种基础可简化为固定铰支座，如图7-20所示。

又如屋架的端部支承在柱子上，并将预埋在屋架和柱子上的两块钢板焊接起来。它可以阻止屋架上下左右移动，但因焊缝长度有限，不能限制屋架的微小转动。因此，柱子对屋架的约束可简化为固定铰支座，如图7-21所示。

图7-20　沥青麻丝填料杯形基础对柱子的约束

图7-21　支承柱对屋架的约束

3.受力图

为能清晰地表示物体的受力情况，通常将要研究的物体（称为受力体）从与其联系的周围物体（称为施力体）中分离出来，单独画出其简单的轮廓图形，把施力物体对它的作用分别用力表示，并标于其上。这种简单的图形，称为受力图或分离体图。物体的受力图是表示物体所受全部外力（包括主动力和约束反力）的简图。

【例】重量为W的球置于光滑的斜面上，并用绳系住，如图7-22a所示。试画出圆球的受力图。

【解】取球为研究对象，把它单独画出。与球有联系的物体有斜面、绳和地球。球受到地球的引力W，作用于球心，垂直于地球表面，指向地心；绳对球的约束反力TA通过接触点A沿绳作用，方向背离球心；斜面对球的约束反力NB通过切点B，垂直于斜面指向球心。于是便画出了球的受力图，如图7-22b所示。

【例】图7-23a所示为一支管道支架，其自重为W，迎风面所受的风力简化成沿架高均匀分布的线荷载为q，支架上还受有由于管道受到风压而传来的集中荷载P，以及由于管道重量而造成的铅垂压力W1和W2。试画出支架的受力图。

图7-22　置于光滑斜面上的球的受力图

图7-23　管道支架的受力图

【解】取管道支架为研究对象。

（1）单独画出管道支架的轮廓。

（2）管道支架受到荷载或主动力有自重W，风压q，管道重量压力W1和W2，以及管道传给支架的风压力P，将这些力按规定的作用位置和方向标出。

（3）管道支架在其根部A受固定端支座的约束，有一对正交垂直的反力XA、YA，以及一个反力偶MA，于是画出管道支架的受力图如图7-23b所示。

通过上面两个例子不难看出，画物体的受力图可分为以下三个步骤：画出受力物体的轮廓；将作用在受力物体上的荷载或主动力照抄；根据约束的性质，画出受力物体所有约束的反力。

4.结构计算简图

实际的建筑结构比较复杂，不便于力学分析和计算。因此，在对建筑结构进行分析和计算时，需要略去次要因素，抓住主要矛盾，对其进行简化，以便得到一个既能反映结构受力情况，又便于分析和计算的简图。根据力学分析和计算的需要，从实际结构简化而来的图形，称为结构计算简图。

确定结构计算简图的原则是：能基本反映结构的实际受力情况；能使计算工作简便可行。

简化过程一般包括三个方面：

（1）构件简化：将细长构件用其轴线表示。

（2）荷载简化：将实际作用在结构上的荷载以集中荷载或分布荷载表示。

（3）支座简化：根据支座和结点的实际构造，用典型的约束加以表示。

【例】图7-24a所示为钢筋混凝土楼盖，它由预制钢筋混凝土空心板和梁组成，试作出梁的计算简图。

图7-24　钢筋混凝土楼盖梁的计算简图

【解】（1）构件的简化。梁的纵轴线为C-C，在计算简图中，以此线表示梁AB，由板传来的楼面荷载，以及梁的自重均简化为作用在通过C-C轴线上的铅直平面内。

（2）支座的简化。由于梁端嵌入墙内的实际长度较短，加以砂浆砌筑的墙体本身坚实性差，所以在受力后，梁端有产生微小松动的可能，即由于梁受力变弯，梁端可能产生微小转动，所以起不到固定端支座的作用，只能将梁端简化成为铰支座。另外，考虑到作为整体，虽然梁不能水平。移动，但又存在着由于梁的变形而引起其端部有微小伸缩的可能性。因此，可把梁两端支座简化为一端固定铰支座，另一端为可动铰支座。这种形式的梁称为简支梁。

（3）荷载的简化。将楼板传来的荷载和梁的自重简化为作用在梁的纵向对称平面内的均布线荷载。

经过以上简化，即可得图7-24b所示的计算简图。

四、平面力系的平衡方程及应用

1.平面一般力系的平衡条件

平面一般力系处于平衡的必要和充分条件是：向任一简化中心A简化后，合力R＝0，合力矩MA＝0，即力多边形闭合，各力对任一点A的合力矩为零。

如果力系中的各个力或它们的分力分别平行于水平轴x或垂直轴y的话，则平面一般力系的平衡条件也可以为：平行于x轴各力的代数和∑Fx＝0，平行于y轴的各力的代数和∑Fy＝0，各力对任一点A的合力矩∑MA＝0，我们称之为平面一般力系的平衡方程式。

【例】已知简支梁AB承受荷载如图725所示。均布荷载q＝2kN/m，集中力P＝3kN，力偶矩MD＝3kN·m。试求A、B处的支座反力。

【解】（1）选坐标轴x、y。

（2）考虑梁AB为平衡对象，绘梁的受力图。支座A是固定铰支座，反力RA的方向未知，可分解为一个水平分力RAx和一个垂直分力RAy。支座B是滚动铰支座。反力RB垂直地面，指向可以假定如图所示。

图7-25　简支梁的受力图

（3）列平衡方程式。

这里应注意力偶中两力在任何轴上的投影的代数和为零；力偶中两力对任一点的力矩代数和等于力偶矩。另外，求支座反力时，均布荷载的作用可用它的合力（集中于AC的中点，大小为q·AC）来代替。

∑Fx＝0RAx＝0

∑MA＝04RB－MD－2P－q×2×1＝0

　　　　　4RB＝MD＋2P＋2q＝3＋2×3＋2×2＝13

　　　　　RB＝13/4＝3.25kN（↑）

∑Fy＝0RAx＋RB－P－2q＝0

　　　　　RAy＝P＋2q－RB＝3＋2×2－13/4＝15/4＝3.75kN（↑）

所以RAx＝0

　　　　　RAy＝3.75kN（↑）

　　　　　RB＝3.25kN（↑）

从本例可以看出，水平梁在竖向荷载作用下铰支座只产生竖向反力，而水平反力等于零。今后画受力图时，可以不画实际上等于零的水平反力。

2.平面平行力系的平衡条件

平面平行力系是平面一般力系的一个特例。设物体受平面平行力系F1、F2、…、Fn的作用（图7-26），如果x轴与各力垂直，y轴与各力平行，由平面一般力系的平衡条件可推出：

平面平行力系平衡的必要和充分条件是力系中各力的代数和∑Fy＝0；各力对于平面内任一点A的力矩的代数和∑MA＝0。

图7-26　平面平行力系示意图

【例】某雨篷（当作悬臂梁考虑）受力如图7-27所示。挑出长度l＝0.8m，雨篷自重q＝4000N/m，施工时的集中荷载P＝1000N。试求固定端的支座反力。

图7-27　雨篷的受力图

【解】（1）选定坐标轴x和y。

（2）以雨篷板（悬臂梁）AB为平衡对象，并画受力图。

在竖向荷载q和P的作用下，固定端A不产生水平反力，只有竖向反力RAy和反力偶矩MA。

（3）列平衡方程式：

∑Fy＝0　　RAy－P－ql＝0

RAy＝P＋ql＝1000＋4000×0.8＝4200N（↑）

RAy和MA的计算结果均为正值，表明实际方向与假定的方向相同。

3.重心和形心的概念

物体的重力就是地球对物体的引力，设想把物体分割成无数微小部分，则物体上每个微小部分都受着地球引力的作用，这些引力可认为是一空间平行力系，此力系的合力R，称为物体的总重量。通过实验知道，无论物体怎样放置，合力R总是通过物体内的一个确定点C，这个点就叫物体的重心，当该物体由均质材料组成时，这个点又称为该物体所代表几何体的形心。

当物体为一厚度一致的平面薄板，并且由均质材料组成时，其重心在其平面图形中投影位置就称为该平面图形的形心。

在工程实践中，经常遇到具有对称轴、对称平面或对称中心的均质物体，这种物体的重心一定在对称轴、对称面或对称中心上，并且其重心与形心相重合。

表7-1给出了简单几何图形的形心位置。

表7-1　几何图形的形心位置