综合问题解题方法

3.4　综合问题解题方法

从工程实际中抽象出来的几何问题，如距离、角度的度量，点、直线、平面的定位等等，一般都是较复杂的综合问题，其突出特点是往往要受若干条件的限制，也就是问题的最终解答要满足两个或两个以上的条件。综合问题的求解过程能训练学习者运用不同的思维方法来思考如何解决几何问题，这对培养和提高其思维的发散水平具有显著的效果。

解综合题时，一般要经过空间分析、确定解题方法步骤和具体作投影图三个过程。

空间分析是十分重要的。首先运用发散思维法将问题引向空间，分析已知元素和所求元素间的空间几何关系，进行空间思维想象；再应用迁移思维法，结合前面所学的有关知识，确定解题方法步骤；最后用收敛思维法将在空间的构思设想进行有目的的筛选，直至解决问题。具体解题时，常用轨迹法求解，即将综合要求分解成若干个简单的问题，先找出满足某一个条件的求解范围，它往往形成一定的轨迹(如直线、平面、甚至某一曲面如球面等)，然后再寻求能满足第二个条件的轨迹，多个条件则形成多个轨迹，这些轨迹相交即为所求结果。

【发散思维法思维原理与提示】

发散思维法是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式，是对同一个问题，从不同的方向、不同的方面进行思考，从而寻找解决问题的正确答案的思维方法。具有这种思维模式的人在考虑问题时一般会比较灵活，能够从多个角度或多个层次去看问题和寻求解决问题的方法。

在学习和科学研究中，运用发散思维方法，有助于拓宽思维范围，发展创造性思维能力。因为，思维只有广泛发散，才能摆脱习惯思维的束缚，找到开拓前进的新途径和解决问题的新方法，从已知导致未知，发现新事物，创造新理论。

【收敛思维法思维原理与提示】

收敛思维法即以已有的若干事实或命题为起点，把问题所提供的各种信息聚合起来，遵循传统逻辑形式，沿着单一或归一的方向进行推导，集向某一中心点，找到合意答案或最好答案的思维。这种思维方式能帮助我们从平时纷繁复杂的现象中去粗取精、去伪存真、提纲挈领、收拢梳理，可以使思维逐步清晰，慢慢理顺，本质渐次显露，最终在一点上取得突破。

【迁移思维法思维原理与提示】

迁移思维法是将已学得的知识、技能或态度等，对学习新知识、技能施加影响的思维方法。

我们常说的“举一反三”、“触类旁通”、“由此以知彼”，都是在学习过程中运用迁移法的生动体现。这种方法所施加的影响可能是积极的，也可能是消极的。积极的迁移又称正迁移，它对学习具有促进作用，学习者必须充分运用这种迁移。

例3-12　过点A作一直线，与交叉两直线BC、DE都相交(见图3-28)。

分析　首先作满足过点A与其中一条线BC相交的直线，这一问题的解答有无穷多个，形成一轨迹平面，如图3-28(a)所示的平面△ABC；再使它满足与另一条直线DE相交，求出直线DE与平面△ABC的交点K，连接A、K并延长交BC于点L，直线AKL即为所求。

作图　(1)由点A和直线BC组成平面△ABC。正面投影连接a'、b'，a'、c'，水平投影连接a、b，a、c，得平面△ABC的两面投影(见图3-28(c))。

(2)求直线DE与平面△ABC的交点K(见图3-28(d)、(e))。

①包含DE直线作辅助铅垂面P，其水平迹线P_H与de重合，12即为辅助平面P_H与平面△ABC交线的水平投影。

②由1、2作投影线，在a'b'、a'c'上分别得1'、2'，连线1'2'即为辅助交线的正面投影。

③1'2'与d'e'的交点为k'，由k'作投影线，在水平投影de上得k。k'、k即为直线DE与平面△ABC交点的两面投影。

(3)连接a'、k'并延长使其与b'c'交于点l'，连接a、k并延长使其与bc交于l，则a'l'、al即为所求直线的两面投影(见图3-28(f))。

请读者应用发散思维法思考其他的解法，并比较哪种简便。

图3-28　例3-12图

例3-13　求点A到直线BC的距离(见图3-29)。

分析　求点A到直线BC的距离，首先应作出点A到直线BC的垂线AK，再求AK的实长。

由于已知直线BC是一般位置直线，而在空间相互垂直的两条一般位置直线的投影并不反映垂直关系，因此，不能直接作出垂线AK，但直线AK一定在过点A并垂直于BC的平面Q上(见图3-29(a))。所以，首先作出满足垂线AK所有解答的轨迹平面Q，并求出直线BC与Q面的交点K，则AK的实长就是所求点A到直线BC的距离。

作图　(1)过点A作平面Q垂直于BC，平面Q用水平线AE和正平线AD表示(见图3-29(c))。

①过a作ad//OX，作a'd'⊥b'c'；

②过a'作a'e'//OX，作ae⊥bc；

③连接d'、e'，d、e，△a'd'e'与△ade即为BC垂面Q的两投影。

(2)求出平面Q与直线BC的交点K(见图3-29(d))。

①包含BC作正垂辅助面P_V；

②求P_V与平面Q(△ADE)的辅助交线MN;

③求出辅助交线MN与BC的交点K,即为直线BC与平面Q之交点。

图3-29　例3-13图

(3)连接点A、K，并求其实长。连接a'、k'，a、k，即为AK的两投影，用直角三角形法求得AK实长,即为点A到直线BC的距离。

例3-14　已知矩形ABCD一边BC的两面投影b'c'、bc及邻边AB的水平投影ab，完成矩形的两面投影(见图3-30)。

分析　矩形的邻边相互垂直，对边相互平行且相等。BC是一般位置直线，通常AB也是一般位置直线，所以，投影图不反映它们的垂直关系，但AB必在过点B并垂直于直线BC的平面内。

作图　(1)过点B作平面BMN垂直于直线BC。过点B作水平线BN⊥BC，即b'n'//OX，bn⊥bc；过点B作正平线BM⊥BC，即bm//OX，b'm'⊥b'c'。

(2)作出AB的正面投影。直线AB在平面BMN上，连接M、N(即连接m、n，m'、n')，mn与ab相交于点e，由e在m'n'上得e'，连接b'、e'并延长，与点a的投影连线相交得a'。

(3)完成矩形ABCD的两面投影。作a'd'//b'c'，ad//bc，作c'd'//a'b'，cd//ab，那么abcd、a'b'c'd'即为矩形ABCD的两面投影。

图3-30　例3-14图

例3-13、例3-14的解法并不唯一，请读者再联想构思其他解题途径，并比较之。