地基表面反力及内部应力解答

1　地基表面反力及内部应力解答

本文作者曾将交通荷载简化为移动荷载，将路堤系统简化为Euler－Bernoulli梁，将地基简化为弹性半空间，得到了交通荷载引起的地基表面接触力和地基内部动应力的解答^［4］。这里直接给出动应力的表达式，具体推导过程请参阅参考文献［4］。

梁-地基表面接触力的表达式为^［4］

（1）　　　　

式中，D（ξv₀，ξ）＝－E_bIξ4＋ρbAξ2，描述了梁的自由振动特；E_b为梁的弹性模量；I＝ab³/6为梁横截面的惯性矩；a和b分别是梁宽度的一半和梁的高度；ρ_b和A＝2ab分别为梁的质量密度和截面面积；c为黏性系数；μ为半空间的剪切模量；x_v＝（x－v₀t）是移动坐标；2πμχ（ξv₀，ξ）为半空间等效刚度，等效刚度的推导及表达式请参见参考文献［5］；ξ为荷载移动方向（x方向）的波数；i为单位复数。

需要说明的是，公式（1）的推导过程中假设梁与半空间接触面光滑，则表面的剪应力为0；假设接触面上的法向应力沿梁宽度方向上（y方向）均匀分布。

列车荷载简化为一系列移动的轮轴荷载，所引起的地基表面接触反力，可以对单个轮轴荷载的表达式叠加而成

f_t（x，t）＝f_i（x－x_i，t）　　　　　　　　　　　　　　　（2）　　　　

式中，f_i（x－x_i，t）是第i个列车轮轴荷载引起的地基表面接触反力，同公式（1）；x_i是第i个列车轮轴荷载的x坐标（列车行驶方向）。移动荷载引起的梁－地基表面接触力是一种分布形式不变，以荷载速度向前移动的面荷载^［6］。所以在该接触反力作用下半空间的响应，可以通过对移动荷载作用下的半空间响应基本解，在反力的长度和宽度方向进行空间积分得到。公式（3）是地基内部任意一点处的应力公式^［4］

（3）　　　　

式中，σ^＊（x₀－x，y₀－y，z₀，t）为半空间表面作用单位移动荷载时引起的地基内部应力解，参见参考文献［7］。L是接触力的有效长度，公式（3）计算的应力以压为正，拉为负。需特别说明的是公式（3）只适用于荷载移动速度小于地基内的Rayleigh波速的情况，这也是实际工程中最常见，最重要的一种情况。