压电方程及压电常数

时间：2022-10-11 百科知识版权反馈

【摘要】：它是压电传感器原理、设计和应用技术的理论基础。具有压电性的压电材料，通常都是各向异性的。由压电材料取不同方向的切片（切型）做成的压电元件，其机电特性也各不相同。前已提及，压电方程是压电效应的数学描述。对于各向异性的压电材料，方程必须能反映出材料机电特性的方向性。dij——j方向应力引起i面产生电荷时的压电常数（C/N）。对于压电陶瓷，通常将极化方向定义为z轴，垂直于z轴的平面内则各向同性。

6.2　压电方程及压电常数

压电方程是对压电元件压电效应的数学描述。它是压电传感器原理、设计和应用技术的理论基础。具有压电性的压电材料，通常都是各向异性的。由压电材料取不同方向的切片（切型）做成的压电元件，其机电特性（弹性性质、介电性质、压电性质和热电性质等）也各不相同。因此，下面以石英晶体为例，首先讨论压电元件的切型及符号。

6.2.1　石英晶片的切型及符号

所谓切型，就是在晶体坐标中取某种方位的切割。如图6-5所示，图（b）为在左旋石英晶体坐标图（a）中，对应x方向切割成长、宽、厚分别为l、w、t的六面体晶片——x切片。由于不同方向的切片（切型）其物理性质各不相同，因此必须用一定的符号来表明不同的切型。

图6-5　石英切片

（a）左旋石英晶体坐标；（b）x切片

切型的表示，目前有互相对应的两种方法:习惯符号表示法和IRE^[1]标准规定的符号表示法如表6-3所示。IRE法是一种以厚度取向为切型的表示法:它是由晶体坐标x、y、z，切片尺寸t、l、w和旋转度角φ、θ、ψ（逆时针为正、顺时针为负）组合而成（有时还附注晶片尺寸值）。

表6-3　石英晶体两类切型符号对应关系

举例说明:如切型（xyltw）40°/30°/15°；t＝0.80±0.01mm；l＝40.0±0.1mm；w＝9.03±0.03mm，表示:

（1）首两位字母xy表示晶片的原始方位；且首位x表示厚度t方向，y表示长度l方向。如不作旋转切型，xy（即X0°）就构成了X切族［如图6/6（a）］。

图6-6　（xyltω）40°/30°/15°切型的形成

（2）以原始方位为基准，依次分别绕l、t、w棱边逆时针方向相应旋转40°、30°、15°［如图6-6（b）～（d）］。

实际应用中，时常用两种符号结合表示切型，如AC（yxl）30°，DT（yxl）-52°，NT（xytl）5°/-50°等。

6.2.2　压电方程及压电常数矩阵

前已提及，压电方程是压电效应的数学描述。它反映了压电介质的力学行为与电学行为之间的相互作用（即机-电转换）的规律。为简明起见，我们的分析基于如下的前提:在讨论正压电效应时，暂不考虑外界附加电场的作用；在讨论逆压电效应时，暂不考虑外界附加力场的作用；并忽略磁和温度场的影响。

图6-7　X0°切型石英晶片的力电分布

6.2.2.1　石英晶体的压电方程

首先必须指出，压电效应式（6-1）只适用于各向同性的电介质材料。对于各向异性的压电材料，方程必须能反映出材料机电特性的方向性。因此，式（6-1）应表示为矢量矩阵形式。

设有一如图6-5（b）中X0°切型的正六面体左旋石英晶片，在直角坐标系内的力-电作用状况如图6-7所示。图中:T₁、T₂、T₃分别为沿x、y、z向的正应力分量（压应力为负）T₄、T₅、T₆分别为绕x、y、z轴的切应力分量（顺时针方向为负）；σ₁、σ₂、σ₃分别为在x、y、z面上的电荷密度（或电位移D）。

因此，各向异性的石英晶片，其单一压电效应可用下式表示:

σ_ij＝d_ijT_j　　　　　　　　（6-3）

式中，i——电效应（场强、极化）方向的下标，i＝1，2，3；

j——力效应（应力、应变）方向的下标，j＝1，2…6；

T_j——j方向的外施应力分量（Pa）；

σ_ij——j方向的应力在i方向的极化强度（或i面上的电荷密度）（Cm²）；

d_ij——j方向应力引起i面产生电荷时的压电常数（C/N）。当i＝j时，为纵向压电效应；当i≠j时，为横向压电效应。

推广到一般情况，即石英晶片在任意方向的力同时作用下的压电效应，可由下列压电方程表示:

写成矩阵形式:

或简写成

σ＝d　T　　　　　　　　　（6-6）

式中，σ₁、σ₂、σ₃——分别为在x、y、z轴面上产生的总电荷密度。

因此，完全各向异性压电晶体的压电特性——即机械弹性与电的介电性之间的耦合特性，可用压电常数矩阵表示如下:

对于不同的压电材料，由于各向异性的程度不同，上述压电矩阵的18个压电常数中，实际独立存在的个数也各不相同，这可通过测试获得。如X0°切型石英晶体的压电常数矩阵，具体为

可见，由于石英晶体结构的较好对称性，它是介于各向同性和完全各向异性之间的晶体，因此它独立的压电常数只有两个:

d₁₁＝±2.31×10^-12（C/N）

d₁₄＝±0.73×10^-12（C/N）

其中，按IRE规定，左旋石英晶体的d₁₁和d₁₄在受拉时取“＋”，受压时取“-”；右旋石英晶体的d₁₁和d₁₄在受拉时取“-”，受压时取“＋”。

图6-8　右旋石英晶体的几种压电效应

（a）纵向压电效应；（b）横向压电效应；（c）（d）剪切压电效应＊图（c）中（）内的符号表示y切型剪切压电效应

综上所述可见:

（1）压电晶体的正压电效应和逆压电效应是对应存在的，哪个方向上有正压电效应，则在此方向上必定存在逆压电效应，而且力-电之间呈线性关系。

（2）由式（6-8）可见，石英晶体不是在任何方向上都存在压电效应。图6-8清楚地表明了这一点:

①在x方向:只有d₁₁的纵向压电效应［图（a）］、d₁₂的横向压电效应［图（b）］和d₁₄的剪切压电效应［图（c）］。

②在y方向:只有d₂₅和d₂₆的剪切压电效应［图（c）（d）］。

③在z方向:无任何压电效应。

还应当指出，（1）式（6-8）是对X0°切型而论，若经旋转后的x切型，或对其他压电晶体的［d_ij］表达式，请参阅文献［26］［27］。（2）既然压电常数是反映压电材料弹性性质与介电性质相互耦合的参数，而材料的弹性性质联系着应力T和应变S，介电性质联系着电场强度E和电荷密度σ，因此，我们可以从这些不同的参量关联来反映这种机-电耦合关系。详析请阅文献［27］。

6.2.2.2　压电陶瓷的压电方程

图6-9　极化压电陶瓷

由前述知，压电陶瓷经人工极化处理后，保持着很强的剩余极化。当这种极化铁电陶瓷受到外力（或电场）的作用时，原来趋向极化方向的电畴发生偏转，致使剩余极化强度随之变化，从而呈现出压电性。对于压电陶瓷，通常将极化方向定义为z轴（见图6-9），垂直于z轴的平面内则各向同性。因此与z轴正交的任何方向都可取作x轴和y轴，且压电特性相同。

以钛酸钡（BaTiO₃）压电陶瓷为例，由实验测试所得的压电方程为