离散系统的冲激响应和阶跃响应

3．3　离散LTI系统的冲激响应和阶跃响应

3.3.1　单位冲激序列δ(n)

单位冲激序列δ(n)定义为

δ(n)在n =0时取值为1，n≠0时取值为0，如图3-7所示。

图3-7　单位冲激序列

离散时间线性时不变系统(用T(·)表示)的冲激响应h(n)定义为输入为δ(n)时系统的响应，即

h(n)= T(δ(n))．

3.3.2　单位阶跃响应

单位阶跃序列u(n)定义为

u(n)的图像如图3-8所示。

δ(n)与u(n)之间的关系为

δ(n)= u(n)－u(n－1)，

这就是u(n)的后向差分。

当离散时间线性时不变系统的输入为单位阶跃u(n)信号时，离散时间线性时不变系统的单位阶跃响应s(n)为

由上式有h(n)= s(n)－s(n－1)，这就是s(n)的后向差分。

图3-8　单位阶跃序列

3.3.3　冲激响应与阶跃响应的MATLAB实现

1．单位冲激序列

在MATLAB中，可以利用函数zeros(1， N)产生一个有限区间上的单位冲激序列δ(n)，在2．2节中我们已经采用了这种方法。然而，逻辑关系式n = =0是实现δ(n)的一种绝妙方法。例如:要实现在区间n₁≤n₀≤n₂上

可以用下面的函数:

2．单位阶跃序列

在MATLAB中，可以利用函数ones(1， N)产生一个有限区间上的单位阶跃序列u(n)，在2．2节中我们已经采用了这种方法。然而一种更好的途径是利用逻辑关系式n＞=0。例如:要实现在区间n₁≤n₀≤n₂上

可以用下面的函数:

function［x， n］= stepseq(n0， n1， n2)

%构造x(n)= u(n－n0)

%调用形式:［x， n］= stepseq(n0， n1， n2)

n =［n1:n2］ ;

x = ［(n－n0)＞=0］ ;

例3.7　在给出的区间上产生并画出下面序列:

(a)x(n)=2δ(n+2)－δ(n－4)，－5≤n≤5;

(b)x(n)= n(u(n)－u(n－10))+10e^{－0．3(n－10)}(u(n－10)－u(n－20))， 0≤n≤20。

MATLAB求解:

%imseq为构造序列x(n)= delta(n－n0)的函数

%stepseq为构造序列x(n)= u(n－n0)的函数

%先求序列(a)

%再求序列(b)

运行结果如图3-9所示。

例3.8　对一个线性时不变系统，设其输入序列为矩形冲激信号

x(n)= u(n)－u(n－10)，

图3-9　例3．7中的序列(a)和(b)

而冲激响应为h(n)= 0．9ⁿu(n)，输出信号是二者的卷积，试在区间［－5， 50］上产生并画出输入、冲激和输出序列。

MATLAB求解:

%stepseq为构造序列x(n)= u(n－n0)的函数

运行结果如图3-10所示。

图3-10　例3．8运行结果

3．单位冲激响应和单位阶跃响应的MATLAB求解

MATLAB中， filter函数可以用来计算单位冲激响应和单位阶跃响应，而impz函数可用来直接计算单位冲激响应， stepz函数可用来直接计算单位阶跃响应。

(1)filter函数

filter函数是利用递归滤波器或非递归滤波器对数据进行滤波。因为一个离散系统可以看做一个滤波器，系统的输出就是输入经过滤波器滤波的结果。filter函数有两种格式:

y = filter(b， a， x);

［y， zf］= filter(b， a， x， zi);

格式y = filter(b， a， x)是由b和a组成的系统对输入x进行滤波，如果输入为单位冲激信号δ(n)，那么输出y就是系统的单位冲激响应h(n);如果输入为单位阶跃信号u(n)，那么输出y就是系统的单位阶跃响应。

(2)impz函数

impz函数的调用格式为

impz(b， a);

impz(b， a)可直接给出系统的单位冲激响应，并且画出系统的单位冲激响应的图形。

(3)stepz函数

stepz函数的调用格式为

stepz(b， a);

stepz(b， a)可直接给出系统的单位阶跃响应，并且画出系统的单位阶跃响应的图形。

例3.9　计算下式的单位冲激响应和单位阶跃响应:

MATLAB求解:

图3-11　单位冲激响应和单位阶跃响应

运行结果如图3-11所示。

由图3-11可知，用filter函数和用impz函数求得的单位冲激响应结果完全相同，而用filter函数和用stepz函数求得的单位阶跃响应结果也完全相同。

例3.10　(M点移动平均滤波器的实现)实际检测到的信号往往受到了噪声的污染，设信号用s(n)表示，噪声用d(n)表示，x(n)是实际检测到的信号，它们满足

x(n)= s(n)+d(n)．

这时，可采用如下M点移动平均滤波器进行平滑滤波:

M点移动平均滤波器的MATLAB实现:

运行结果如图3-12所示。

图3-12　M点移动平均滤波器的实现