地基的极限荷载

地基的极限荷载指的是地基在外荷载作用下产生的应力达到极限平衡时的荷载。作用在地基上的荷载较小时,地基处于压密状态。随着荷载的增大,地基中产生局部剪切破坏的塑性区也越来越大。当荷载达到极限值时,地基中的塑性区已发展为连续贯通的滑动面,使地基丧失整体稳定而滑动破坏,相当于载荷试验结果p-s曲线上第二阶段与第三阶段交界处b点所对应的荷载pu。计算极限荷载的公式有很多种,下面主要介绍几种常用的计算公式。

1.普朗特尔地基极限承载力公式

假定条形基础置于地基表面(d＝0),地基土无重量(γ＝0),且基础底面光滑无摩擦力时,如果基础下形成连续的塑性区而处于极限平衡状态时,普朗特尔(L.Prandtl,1920)根据塑性力学得到的地基滑动面性状如图5-14所示。地基的极限平衡区可分为3个区:在基底下的Ⅰ区,因假定基底无摩擦力,故基底平面是最大主应力面,基底竖向压力是大主应力,对称面上的水平向压力是最小主应力(即朗肯主动土压力),两组滑动面与基础底面间成(45°＋)角,也就是说Ⅰ区是朗肯主动状态区;随着基础下沉,Ⅰ区土楔向两侧挤压,因此,Ⅲ区因水平向应力成为大主应力(即朗肯被动土压力)而为朗肯被动状态区,滑动面也是由两组平面组成,由于地基表面为最小主应力平面,故滑动面与地基表面成(45°－ );Ⅰ区与Ⅲ区的中间是过渡区Ⅱ区,Ⅱ区的滑动面一组是辐射线,另一组是对数螺旋曲线,如图5-14中的CD及CE,其方程式为:

式中 r——从起点O到任意m的距离(图5-15);

　　r0——沿任一所选择的轴线On的距离;

　　θ——On与Om之间的夹角,任一点m的半径与该点的法线成φ角。

针对以上情况,普朗特尔地基极限荷载的理论公式如下:

若考虑基础的埋深d,则将基底平面以上的覆土以压力q＝γd代替,雷斯诺(H.Reissner,1924)在普朗特尔公式假定的基础上,得到当不考虑土重力时,埋置深度为d的条形基础的极限承荷载公式如下:

图5-14　普朗特尔公式的滑动面形状

图5-15　对数螺旋线

上述公式均假定土的重度γ＝0,但由于土的强度很小,内摩擦角也不等于零,因此不考虑土的重力作用是不妥当的。若考虑土的重力,普朗特尔导得的滑动面Ⅱ区就不再是对数螺旋线了,其滑动面形状很复杂,目前尚无法按极限平衡理论求得其解析解。

2.太沙基公式

太沙基(K.Terzaghi,1943)提出了条形浅基础的极限荷载公式。太沙基从实用考虑认为,当基础的长宽比≥5及基础的埋置深度d≤b时,就可视为是条形浅基础。基底以上的土体看作是作用在基础两侧地面上的均布荷载q＝γ0d。

太沙基假定基础底面是粗糙的,地基滑动面的形状如图5-16所示,也可以分成3个区:Ⅰ区是在基底底面下的土楔ABC,由于基底是粗糙的,具有很大的摩擦力,因此,AB面不会发生剪切位移,也不再是大主应力面,Ⅰ区内土体不是处于朗肯主动状态,而是处于弹性压密状态,它与基础底面一起移动,并假定滑动面AC(或BC)与水平面成φ角。Ⅱ区假定与普朗特尔公式一样,滑动面是一组通过A、B点的辐射线,另一组是对数螺旋曲线CD、CE。前面已指出,如果考虑土的重度时,滑动面就不会是对数螺旋曲线,目前尚不能求得两组滑动面的解析解,太沙基忽略了土的重度对滑动面的影响,是一种近似解。由于滑动面AC与CD之间的夹角应该等于(＋φ),所以,对数螺旋曲线在C点切线是竖直的。Ⅲ区是朗肯被动状态区,滑动面AD及DF与水平面成( －φ 2)角。

图5-16　太沙基公式滑动面形状

太沙基公式不考虑基底以上基础两侧土体抗剪强度的影响,以均布荷载q＝γ0d来代替埋深范围内的土体自重。根据弹性土楔ABC的静力平衡条件,可求得太沙基极限承载力公式:

式中q——基底面以上基础两侧荷载(kPa),q＝γ0d;

　　b,d——分别为基底宽度和埋置深度(m);

　　Nc,Nq,Nr——承载力系数,它与土的内摩擦角φ有关,可查表5-1得到。

表5-1　太沙基公式承载力系数表

式(5-25)适用于条形基础,对于圆形或方形基础,太沙基提出了半经验的极限荷载公式如下:

式中 R——圆形基础的半径(m);其余符号意义同前。

式(5-25)、式(5-26)、式(5-27)只适用于地基土是整体剪切破坏情况,即地基土较密实,其p-s曲线有明显的转折点,破坏前沉降不大等情况。对于松软土质,地基破坏是局部剪切破坏,沉降较大,其极限荷载较小。太沙基建议将c和tanφ值均降低1/3,即

根据φ

－值从表5-1中查承载力系数,并用c－代入公式计算。

【例5-4】 某办公楼采用砖混结构条形基础。设计基础底宽b＝1.5m,基础埋深d＝1.4m。地基为粉土,天然重度γ＝18.0kN/m3,内摩擦角φ＝30°,黏聚力c＝10kPa。地下水深7.8m。计算此地基的极限荷载。其余条件不变,土的内摩擦角φ＝20°时,试计算其极限荷载。

【解】 应用太沙基条形基础极限荷载式(5-28)pu＝γbNr＋qNq＋cNc,根据地基土的内摩擦角φ＝30°查表5-1得Nr＝21.8,Nq＝22.5,Nc＝37.2,带入上式可得地基极限荷载:pu＝×18×1.5×21.8＋18×1.4×22.5＋10×37.2＝1233.3(kPa)

当φ＝20°时,查表5-1得Nr＝4.0,Nq＝7.42,Nc＝17.6,带入公式可得地基极限荷载:pu＝×18×1.5×4.0＋18×1.4×7.42＋10×17.6＝417.0(kPa)

由计算结果可知,基础的形式、尺寸与埋深相同,地基土的天然重度与黏聚力不变,只是内摩擦角由30°减小为20°,极限荷载降低为原来的33.8%。由此可知,地基土的内摩擦角的大小,对极限荷载pu的影响很大。

【例5-5】 某住宅采用砖混结构,设计条形基础。基底宽度2.4m,基础埋深d＝1.5m。地基为软塑状态粉质黏土,内摩擦角φ＝12°,黏聚力c＝24kPa,天然重度γ＝18.6kN/m3。计算此地基的极限荷载。

【解】 因住宅地基为软塑状态粉质黏土,应用太沙基的松软地基极限荷载公式(5-25),根据地基土的内摩擦角φ′＝×12°＝8°查表得Nr＝0.924,Nq＝2.27,Nc＝8.676

带入公式可得地基极限荷载

pu＝×18.6×2.4×0.924＋18.6×1.5×2.27＋×24×8.676＝223.9(kPa)

极限荷载为地基开始滑动时的破坏荷载。在进行建筑物基础设计时,当然不能采用极限荷载作为地基承载力,必须有一定的安全系数K。K值的大小,应根据建筑工程的等级、规模与重要性及各种极限荷载公式的理论、假定条件与适用情况确定。通常取安全系数K＝1.5～3.0,用太沙基极限承载力公式计算地基承载力时,其安全系数一般取3.0。

3.影响极限荷载的因素

地基的极限荷载与建筑物的安全与经济密切相关,尤其对重大工程或承受倾斜荷载的建筑物更为重要。各类建筑物采用不同的基础形式、尺寸、埋深,置于不同地基土质情况下,极限荷载大小可能相差悬殊。影响地基极限荷载的因素很多,具体可归纳为以下几个方面:

(1)地基的破坏形式。在极限荷载作用下,地基发生破坏的形式有多种,通常地基发生整体滑动破坏时,极限荷载大,发生冲切剪切破坏时,极限荷载小。

(2)地基土的指标。地基土的物理力学指标很多,与地基极限荷载有关的主要是土的强度指标γ、c、φ,地基土的γ、c、φ越大,则极限荷载相应也越大。

(3)基础的尺寸。地基的极限荷载大小不仅与地基土的性质优劣密切相关,而且与基础尺寸大小有关,这是初学者容易忽视的问题。在建筑工程中,遇到地基承载力不够,但相差不多时,可在基础设计中加大基底宽度和基础埋深来解决,不必加固地基土。

(4)荷载作用方向。荷载为竖直方向,则极限荷载大,荷载倾斜角越大,则极限荷载也越小,倾斜荷载为不利因素。

(5)荷载作用时间。若荷载作用时间很短,如地震荷载,则极限荷载可以提高;若荷载长时间作用,如地基为高塑性黏土,呈可塑或软塑状态,在长时间荷载作用下,使土产生蠕变降低土的强度,即极限荷载降低。例如,伦敦附近威伯列铁路通过一座17m高的山坡,修筑9.5m高挡土墙支挡山坡土体,正常通车13年后,土坡因黏土强度降低而滑动,将长达162m的挡土墙移滑大6.1m。