几何体的轴测图

几何体的正投影图，能准确真实地表达其结构形状，如图3－13（a）所示。但这种图样缺乏立体感。而轴测图是用单面投影来表达物体三维空间结构形状的投影图，如图3－13 （b）所示。轴测图富有立体感，但度量性差，作图较繁，因此，在机械工程中常用其作为辅助图形来表达机器的外观效果和内部结构，多用于结构设计、技术革新、产品说明书及广告等方面。

图3－13 正投影图与轴测图的比较

3.3.1 轴测图的基本概念

1.轴测图的形成

将物体连同其所在的直角坐标系，沿不平行于任何投影面的方向，用平行投影法向单一投影面P（即轴测投影面）进行投射，把物体长、宽、高三个方向的形状都表达出来，得到具有立体感的图形，这种投影图称为轴测投影图，简称轴测图，如图3－14所示。

图3－14 轴测图的形成

（1）轴测轴。直角坐标系中的坐标轴OX、OY、OZ在轴测投影面上的投影O1X1、O1Y1、O1Z1称为轴测轴。

（2）轴间角。轴测图中相邻两轴测轴之间的夹角∠X1O1Y1、∠X1O1Z1、∠Y1O1Z1称为轴间角。

（3）轴向变形系数。沿轴测轴方向，线段的投影长度与其在空间的真实长度之比，称为轴向变形系数，分别用p、q、r表示OX、OY、OZ轴的轴向变形系数，即p＝O1A1／OA， q＝O1B1／OB，r＝O1C1／OC。

2.轴测图的性质

由于轴测图是用平行投影法绘制的，所以具有平行投影的特性。

（1）物体上平行于坐标轴的线段，在轴测图上平行于相应的轴测轴。

（2）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍然互相平行。

画图时，平行于轴测轴的线段可按规定的轴向变形系数度量其长度，不平行于轴测轴的线段，不能直接度量其长度，而应分别作出线段两端点的轴测图，然后连接得到直线的轴测图。

轴测图中一般只画出可见部分的轮廓线，必要时可用细虚线画出其不可见的轮廓线。

画轴测图时，轴测轴位置的设置，可选择在物体上最有利于画图的位置上，如图3－15所示为设置轴测轴位置的示例。

图3－15 轴测轴位置设置示例

3.轴测图的种类

由轴测图的形成过程可知，轴测图可以有很多种，每一种都有一套轴间角及相应的轴向变形系数，国家标准规定了三种轴测图，即正等轴测图 （简称正等测）、正二等轴测图 （简称正二测）和斜二等轴测图 （简称斜二测）。常用正等轴测图和斜二等轴测图。

3.3.2 正等轴测图

1.正等轴测图的形成

使三直角坐标轴与轴测投影面具有相同的倾角，用正投影法在轴测投影面上所得的图形称为正等轴测图。图3－16所示为正等轴测图的形成过程。先将该正方体从图3－16（a）的位置绕Z轴旋转45°，变成图3－16（b）的位置，再向前倾斜到正方体的对角线垂直于投影面P，变成图3－16（c）的位置，此时向投影面投射得到正等轴测图，如图3－16（d）所示。

图3－16 正等测图的形成

2.正等轴测图的轴测轴、轴间角和轴向变形系数

正等轴测图的轴间角均为120°，如图3－17（a）所示。轴测轴的画法如图3－17（b）所示，由于物体的三坐标轴与轴测投影面的倾角均相同，因此，正等轴测图的轴向变形系数也相同，p＝q＝r＝0.82。为了作图、测量和计算方便，常把正等轴测图的轴向变形系数简化成1，这样在作图时，凡是与轴测轴平行的线段，可按实际长度量取，简捷方便，不必进行换算。这样画出的图形，其轴向尺寸均为原来的1.22倍（1∶0.82≈1.22），但形状没有改变，如图3－17（d）所示。

图3－17 正等测轴测图的轴测轴、轴间角、轴向变形系数

3.正等轴测图的画法

（1）平面立体正等轴测图的画法。画平面立体的正等轴测图常用坐标法（适用于基本几何体）和切割法 （适用于基本几何体被平面截切后的立体）。

①坐标法：先按坐标画出立体上各点的轴测图，将各点连接起来，得到立体的轴测图。

例3.6 图3－18（a）所示为正六棱柱的三视图，根据三视图绘制其正等轴测图。

由于正六棱柱前后、左右对称，故可选顶面的中点为坐标原点，顶面的两条对称线分别为X、Y轴，对称轴线为Z轴，作图步骤如下：

作轴测轴O1X1、O1Y1、O1Z1，使三个轴间角均为120°，如图3－18（b）所示。

根据轴测图的性质，作正六棱柱顶面各顶点的正等轴测图，如图3－18（c）所示。

自各个顶点沿O1Z1轴向下量取高度h，得底面正等轴测图，如图3－18（d）所示。

整理描深，得正六棱柱的正等轴测图，如图3－18（e）所示。

图3－18 正六棱柱正等测的作图步骤

例3.7 如图3－19所示为三棱锥的三视图，根据三视图，绘制其正等轴测图。

为使作图方便，将坐标原点选在三棱锥底面的B点，并使OX轴与AB重合。作图步骤如图3－19（b）、（c）、（d）所示。

图3－19 三棱锥正等轴测图的作图步骤

②切割法：画切割体的轴测图时，可先画出基本体的轴测图，再在图中按切割的顺序逐块切去被切割部分，从而完成切割体的轴测图，这种方法称为切割法。

例3.8 如图3－20（a）所示立体的主、俯、左视图，应用切割法画出其正等轴测图。

作图步骤：

设置主、俯视图的直角坐标轴，如图3－20（a）所示。

画轴测轴，如图3－20（b）所示。

在平行轴测轴方向上依题意进行比例切割，如图3－20（c）所示。

擦去多余的线，整理描深完成轴测图。

切割法在基本体轴测图的画图过程中非常实用，它方便、灵活、快速。只要坐标位置选择适当，按照比例可随意进行切割，读者不妨多试几例。

图3－20 切割法画正等轴测图的步骤

（2）回转体正等轴测图的画法。绘制回转体的正等轴测图，首先要画出平面圆的正等测图。平行于各坐标面的圆的正等轴测图均为椭圆，如图3－21所示。作图时，通常采用近似画法。它们除了长短轴的方向不同外，其画法相同。

图3－21 不同方向圆的正等轴测图

现以平行于H面的圆为例，绘制圆的正等轴测图，如图3－22所示。

①确定平面图形的直角坐标轴，并作圆外切四边形，如图3－22（a）所示。

图3－22 平面圆的正等轴测图的作图过程

②作出轴测轴O1X1、O1Y1，并按轴测投影的特性作出平面圆外切四边形的轴测投影，如图3－22（b）所示。

③分别以图3－22（b）中A、B点为圆心，以AC为半径在CD间画大圆弧，再以BE为半径在EF间画大圆弧，如图3－22（c）所示。

④连接AC和AD交长轴于Ⅰ、Ⅱ两点，如图3－22（d）所示。分别以Ⅰ、Ⅱ两点为圆心，ⅠD、ⅡC为半径画两小圆弧，在C、F、D、E处与大圆弧相切，即完成平面圆的正等轴测图，如图3－22（e）所示。

例3.9 根据图3－23（a）给出的两个视图，绘制圆台的正等轴测图。

①由给定的两面投影图，分析该圆台表面的平面圆是平行于W面的侧平面，所以确定平面圆上的直角坐标轴位置，如图3－23（a）所示。

②作出两平面圆的轴测轴，并作出两平面圆的正等轴测图，如图3－23（b）所示。

③作出两椭圆的公切线，并擦去不可见以及多余的作图辅助线，描深完成，如图3－23 （c）所示。

图3－23 圆台正等轴测图的作图过程

如图3－24所示为圆柱的正等轴测图的作图过程。

图3－24 圆柱正等轴测图的作图过程

（a）圆柱的视图；（b）画轴测轴，定上下底圆中心，画上下底椭圆；（c）作出两边轮廓线（注意切点）；（d）描深并完成全图

3.3.3 斜二轴测图

1.斜二轴测图的形成

当物体上的两个坐标轴OX和OZ与轴测投影面平行，而投射方向与轴测投影面倾斜时，所得的轴测图称为斜二轴测图，如图3－25所示。

2.斜二轴测图的轴测轴、轴间角和轴向变形系数

斜二轴测图的轴间角：∠X1O1Z1＝90°，∠X1O1Y1＝∠Y1O1Z1＝135°，轴向变形系数：p＝r＝1，q＝1／2，如图3－26所示。

图3－25 斜二轴测图的形成

图3－26 斜二轴测图的轴间角和轴向变形系数

3.斜二轴测图的画法

由于斜二轴测图在平行于X1O1Z1坐标面上反映实形，因此，画斜二轴测图时，应尽量把形状复杂的平面或圆及圆弧放在与X1O1Z1平行的位置上。

例3.10 根据图3－27（a）所给出的两个视图，绘制圆台的斜二轴测图。

图3－27 圆台斜二轴测图的作图过程

①由给定的两面投影图，分析该圆台表面的平面圆是平行于V面的正平面，所以确定平面圆上的直角坐标轴位置，如图3－27（a）所示。

②作出前后两平面圆的轴测轴，并作出两平面圆的斜二轴测图，如图3－27（b）所示。

③作内孔的斜二轴测图。作出前后两圆的公切线，如图3－27（c）所示。

④擦去不可见以及多余的作图辅助线，描深完成，如图3－27（d）所示。

例3.11 作出图3－28所示正面形状复杂立体的斜二轴测图。

图3－28 正面形状复杂立体的斜二测画法

①选择正投影图的坐标位置，如图3－28（a）所示。

②画轴测轴，作正面特征平面的斜二轴测图（与正投影完全相同），再从特征面的各点作平行于O1Y1轴的直线，如图3－28（b）所示。

③将圆心后移0.5Y作出后面圆及其他可见轮廓线，描深，完成轴测图，如图3－28 （c）所示。