半机理半经验模型

图4−7 动力电池模型封装接口

在电池系统中，SOC涉及电池充放电控制策略和电池能量管理，温度影响电池的性能和安全性，开路电压和内阻关联电池的输出电压。本书根据电化学反应机理、热力学特性和观测到的实验现象，导出了荷电状态SOC、温度T、开路电压U0和内阻 Ri 这些变量的状态方程式和相关的工作电压方程式（输出方程），构建了以 SOC子模块、开路电压子模块、工作电压子模块和内阻子模块以及热力学子模块组成的电池系统半机理半经验模型，本书称为Gassing模型（图4−7）。模型中工况电流current、热量交换Qextem和环境温度T_amb为输入信号，电池工作电压Uclamp为系统输出信号。电池的内部状态变量如开路电压U0、内阻Ri、温度T和SOC等也作为模型输出。MATLAB/Simulink仿真模型通过数据总线的形式获取各子模块的输入量、输出量及系统的状态变量，用于各个子模块的计算。

整个模型的输入和输出映射关系可用下式表述：

可以看出，这个模型的功能是尽可能准确地描述在输入激励下的输出动态响应，这其中也包括SOC计算问题。动力电池Simulink模型结构如图4−8所示。

图4−8 动力电池Simulink模型结构

下面分别介绍动力电池模型中的五个子模块。

1. SOC子模块

SOC值本身是电池状态的一个重要参数，又涉及其他变量的计算，因此， SOC计算模型是整个模型中最重要的子模块。本书的SOC子模块以安时法为基础，并考虑了电化学反应中的析气现象。

析气现象指的是，当电极电位超过某一特定值时，电解液便会发生电化学反应，表现为负极发生析氢，正极发生析氧。这个特定的电压值称为析气电压。发生析气现象时，电流损失增加，利用率降低，同时由于发生析气现象，温度变化明显，出现温度升高的现象，温度作为锂电池系统的一个状态变量，其变化影响到这个系统的各个变量。再者，由于析气现象的发生，电池性能有所下降。

铅酸电池的析气现象很明显，一度被科研人员所关注。锂离子电池在放电和充电非临界情况时（SOC＜85%）并不会发生析气现象，因此在锂离子电池模型中，人们也很少考虑析气现象对SOC的影响。但是，若要研究电池充电的临界状态特性，则必须考虑析气现象。

充电临界情况下，电池的析气现象较为明显。当锂离子电池正、负极两端的电压超过析气电压时，进入充电临界情况，开始出现析气现象。析气现象发生时，充电电能有一部分用于析气反应，没有全部用来充电。电极电位越高，析气现象越严重，电流的利用率越低。因此，本书在SOC子模块中引入了析气现象对SOC值的影响因素。

根据析气现象的机理，引入析气系数η描述充电电流对SOC变化的影响。图4−9所示为松下某一款镍氢电池的析气系数与SOC和温度T的关系示意图。析气系数η的确定与产生析气现象的诸多因素有关。有文献指出，析气电压受电解液含碱度、温度和放电深度等因素的影响。因此，为突出主要影响因素，本书把析气系数定义为SOC和温度T的函数：

η=f 1(SOC,T) 　（4.27）

一般来讲，SOC随时间的变化率与电流成比例关系，应用安时法可得到以下SOC动态方程：

这里定义充电时电流为正，放电时为负。

图4−9 析气系数示意图

2. 开路电压子模块

开路电压（Open Circuit Voltage，OCV）是指在外电路中没有电流流过时电极之间的电位差。OCV的重要性表现在它与SOC存在着一定的关系。这个关系取决于电池内部的电化学反应机理，它与电池本身的正负极材料有关，更确切地说，它与正负极材料的标准电极电位相关，因此OCV与SOC之间存在着相对稳定的一一映射关系。大量的实验证明，在标准温度下，开路电压的稳态值通常可用以下关系式表达：

实验数据表明（图 4−10），开路电压的变化是一个动态过程，达到稳态值需要一定的时间。本书用一阶惯性环节来近似地模拟这一动态过程：

式中，为标准温度下的开路电压值，τ1为开路电压时间常数。

考虑到温度对于开路电压的影响，根据吉布斯自由能的表达式：

d G=−Sd T+Vdp 　 （4.31）

在定压条件（dp=0）下，对于单位摩尔反应量，有

图4−10 电压脉冲响应曲线

吉布斯自由能的变化量与电动势的关系为

Δ g=−n FE 　 （4.33）

联合式（4.32）和式（4.33）可得

因此，电动势随温度的变化率与温度成比例关系。开路电压在数值上等于电动势，所以，开路电压随温度的变化率同样与温度成比例关系。令 k T=Δs/n F，得开路电压的表达式为

U 0=U0,std+k Ti(T−Tstd)　 （4.35）

3. 工作电压子模块

电池的工作电压又称负荷电压，是指在有电流流过时电池两极之间的电位差。电池的工作电压受放电规则影响，即放电时间、放电率、环境温度等。一般开路电压和工作电压存在以下关系：

U i=U0+Ri i I 　 （4.36）

式中， iU为工作电压，U0为开路电压， iR为电池内阻。其中电流具有方向性，规定充电为正，放电为负。

这个计算公式主要基于开路电压OCV子模块和内阻子模块，根据工作电流I就可以方便地获得工作电压值。

4. 内阻子模块

内阻应该分为两大部分，但是极化内阻很难解析表达。电化学反应的极化现象导致极化内阻，可分为活化极化和浓差极化两种形式。在标准温度下，本书假定内阻的稳态值是SOC的函数f3（SOC），可得表达式：

内阻的变化亦为一动态过程，与开路电压子模块类似，这里也用一阶惯性环节来近似地模拟这一动态过程：

式中，Ri,std为标准温度下的内阻值，τ2为内阻时间常数。

欧姆内阻和极化内阻都会受温度的影响，由文献可知，其解析表达的公式中，温度因子的影响作用比较复杂，其中电导率的表达式为

γ i=(B/T)exp[−K/(k T)] 　 （4.39）

式中，B为常数，K为平衡常数，k为波尔兹曼常量。工程上通常不使用上式，这里引入温度补偿系数ηT（可由实验数据获取）表征温度对内阻的影响，得到内阻表达式：

R i=Ri,stdiηT(T)　 （4.40）

5. 热力学子模块

在实际锂离子电池系统中，温度T对SOC、开路电压U0及内阻Ri都有影响。然而迄今很少有模型将温度作为一个动态变量纳入模型之中，通常只是利用温度修正模型。根据热力学第一定律，可得以下温度动态方程：

式中，cbatt为电池的比热容，为外界流入的热流量，为温差产生的热流量，为析气反应所生成的热流量，为熵变产生的热流量，为电流通过内阻产生的热流量。

式中，α为散热系数，Sbatt为电池散热表面积，δs为熵变系数，其他参数同上。

式（4.41）描述的动力电池热力学模型考虑了外界输入热量、充/放电、析气现象和电池物理参数等对温度过程的影响，相应的Simulink模型模块输出为电池的温度以及式（4.41）中等号右边后四项热流量之和。

综上所述，本书介绍的半机理半经验动力电池模型（亦称为Gassing模型）是一个典型的状态空间描述形式，其中表征系统的子模块如SOC模块可以根据研发需要嵌入不同的内容（如进行SOC估计等）。Gassing模型引入了与析气现象相关的气化因子矩阵，特别是引入了气化矩阵，可以比较真实地模拟电池临界工作状态。