“机械能”知识与方法

“机械能”知识与方法

袁培耀

【作者机构】中国石油天然气管道局中学

【来      源】《高中数理化》 2016年第19期P32-35页

【分 类 号】G633.7

【分类导航】文化、科学、教育、体育->教育->中等教育->各科教学法、教学参考书->物理

【关 键 字】动能定理 弹性势能 滑动摩擦力 动摩擦因数 竖直方向 平抛运动 相互作用力 重力势 耗散力 物理模型

【摘     要】“机械能”知识,概念多、实验多、规律多,从规律的理解到知识的应用,它既概括和综合了全部的力学知识,又是理解和解决电磁知识的基础和工具,在高中物理知识中具有承上启下的作用.

“机械能”知识,概念多、实验多、规律多,从规律的理解到知识的应用,它既概括和综合了全部的力学知识,又是理解和解决电磁知识的基础和工具,在高中物理知识中具有承上启下的作用．理解和应用“机械能”知识,通过提纲携领,就可化繁为简、化难为易;通过归纳比较,就可灵活应用、升华能力．

1　抓实物理量“+”“-”的3种情况,实现对物理量分类比较,理解物理性质

“机械能”知识,从功、功率到动能、势能、机械能、能量变化,都有数值的“+”“-”之说,辨析“+”“-”,就可从矢量和标量、状态量和过程量,相对性和系统性等方面理解物理量．

功和功率的“+”“-”表示对应做功的力的效果是动力还是阻力,通过公式W=Fxcos α、P=Fvcos α中的角度α加以明确.重力势能、弹性势能、机械能的“+”“-”表示能量的大小,体现了势能和机械能的相对性——相对于零势能参考面.能量变化(ΔEk、ΔEp、ΔE)的“+”“-”表示增、减,在变化量为“末减初”的约定下,表现为“+” 增“-”减,揭示了物理状态和物理过程的特征关系．

图1

例1　(原创)如图1所示,用轻质刚性绳和轻弹簧连接质量相同的小球,悬挂于等高的悬点,轻弹簧的原长与乙绳等长,释放点与悬点等高,释放后摆到最低点时轻弹簧的长度与甲绳等长,以下说法中正确的是(　　).

A　从释放到最低点的过程,3球的机械能都守恒;

B　从释放到最低点的过程,3球重力的功率一直增大;

C　以悬点为重力零势能点,3球在任何位置的机械能都等于0;

D　在最低点时,甲、乙2绳拉力相等,大于弹簧的拉力

由题意可知，甲、乙球的机械能守恒,丙球机械能减少(减少量等于轻弹簧弹性势能增加量);在3球运动过程中,小球的速度方向与重力方向间的夹角不断增大,所以重力功率最大的位置应在到达最低点前的某位置;因丙球机械能不守恒,故丙球在悬点以下的机械能为负值;甲、乙2球运动过程由机械能守恒有mgl=mv2/2,在最低点由圆知识和牛顿定律有FT-mg=mv2/l,联立2式可知2绳拉力相等.丙球运动至最低点时动能小于甲球在最低点时,故拉力小于甲绳的拉力．正确选项为D．

拓展　动能没有负值,但有相对性——相对于参考系;功率一般不涉及负功率之说,尤其是机械功率(机械牵引力的功率)一定是正值;如果一个力做负功,也可说成物体克服这个力做功．

2　比较典型力的功和典型的功能关系,突破知识、规律建立与理解上的难点

功是过程量,能是状态量;功是能量转化的量度,能量转化必须通过做功实现;能量名称不同,发生转化时对应做功的力就不同．

1) 重力(或弹力)做功的多少量度物体重力势能(或弹性势能)的变化,即WG=-ΔEp;若物体系统内只有重力或弹力做功,系统的机械能守恒;若除重力、弹力做功之外,有其他外力做功,机械能一定变化,且其他外力做功多少量度机械能的变化,即W外=ΔE．

2) 物体合力所做的总功的多少量度物体动能的变化——动能定理,即W总=ΔEk．求解总功时,根据问题特点,可通过求合力功完成,也可求各力功的代数和或各阶段功的代数和．

图2

例2　如图2所示,长度为l=1 m的细绳,一端固定于O点,另一端竖直悬吊50 kg的重物,若用水平恒力F=375 N拉物体,当悬绳拉到与竖直方向成37°角时,撤去拉力,g取10 m·s-2,以下说法正确的是(　　).

A　重物摆回经过最低点时,绳的拉力是950 N;

B　重物能摆到的最大高度是0.45 m;

C　重物从最低点到最高点的过程中,动能先增加后减小,机械能先增加后减小;

D　若施加水平拉力使物体缓慢到达37°角的位置后撤去拉力,重物摆回最低点,整个过程中,机械能守恒

从初始到摆回最低点的过程,由动能定理有Flsin θ=mv2/2,最低点由牛顿定律有FT-mg=mv2/l,解得拉力FT=950 N;从最低点到最高点,由动能定理有Flsin θ-mgh=0,得h=0.45 m.撤去拉力前,重物机械能增加,撤去拉力后,重物机械能守恒,由功能关系知,动能先增加后减小,机械能先增加后守恒;当用水平拉力使物体缓慢移动时,动能不变,重力势能增加,机械能增加,撤去拉力后机械能守恒,整个过程,机械能不守恒．选项A、B正确．

3) 相互作用力做功与系统机械能守恒及变化. 若研究对象是由相互作用的2个或2个以上的物体组成,则物体间的一对相互作用力做功,可使系统机械能变化或守恒．当作用力是滑动摩擦力类的耗散力时,系统的机械能有损失——摩擦生热;当作用力是弹力类的非耗散力时,系统的机械能守恒;当作用力是化学爆炸力、库仑力时,系统机械能增加．

图3

例3　如图3所示,长为l的轻杆可绕A端在竖直面内无摩擦转动,在杆的C端和距C端l/3的B处各固定质量为m的小球,现将杆拉到水平位置后释放,以下说法正确的是(　　).

A　杆转动到竖直方向的过程中,C端小球的机械能减小2mgl/13;

B　杆转到竖直方向时,C端的小球受到轻杆的拉力为3mgl;

C　杆转动到竖直方向的过程中, B处的小球克服轻杆的作用力做功为2mgl/13;

D　杆转到竖直方向的过程中,轻杆对球的弹力总是沿杆的方向,所以每个球的机械能都守恒

杆在转动过程中,杆对2球分别做正、负功,但总和为0,故2球的机械能守恒,有

,

其中,解得．设杆对C球做功为WC,由动能定理得,得WC=2mgl/13,说明杆对B球做功为-2mgl/13,结合牛顿定律可知,选项C正确．

拓展　一对相互作用力做功: 1) 都做正功(如爆炸力),使系统机械能增加; 2) 都做负功或一个做负功、一个不做功或一个做负功、一个做正功,但总和为负(如一对滑动摩擦力),系统机械能减少; 3) 一个做正功一个做负功,总和为0(如一对弹力),系统机械能守恒．

变力功与因果思维方法: 当做功的力因大小、方向变化时,就不能直接应用公式W=Fscos α求解变力做的功,而应根据实际情况灵活应用物理思想方法解决．

图4

例4　(原创) 如图4所示,某人通过滑轮装置将一质量为m的重物从距地面H深的井底升到地面上,滑轮距地面高度也为H,不考虑人的身高、绳与滑轮及轮轴间的摩擦,重力加速度为g,他采用以下方式中正确的是(　　)

A　将绳的端头拴结在输出功率恒为P的电机带动的轮轴上,开启电机后经时间t物体升到地面,则电机拉绳做的功为Pt-mgH;

B　将绳的端头拴结在输出功率恒为P的电机带动的轮轴上,开启电机,物体升到地面时速度为v,则电机拉绳做的功为mv2;

C　若他直接拉着绳头以速度v匀速向右行走,重物从井底升至地面的过程中,人拉绳做的功为mv2;

D　若他直接拉着绳头向右行走,重物以加速度a匀加速从井底升至地面的过程中,人拉绳做的功为(mg-ma) H

电机输出功率恒定时,对绳的拉力随速度增大而减小,电机输出功率即为牵引力的功率,故电机拉绳做的功为Pt;由因果关系,电机拉绳做功产生的效果是重物机械能增加,因而电机拉绳做的功为mv2;当人拉着绳头向右匀速运动,人对绳拉力大小、方向都在变化,重物升高H时,由几何关系知,绳拉方向与竖直方向夹角为60°,将速度分解，得物体到达井口时的速度为v物=vsin 60°,重物机械能增加量为mv2;当人拉着绳头使重物匀加速上升时,人对绳拉力方向不断变化,但绳上拉力大小恒为(mg+ma),故拉力对重物做功为(mg+ma)H．故选项B、C正确．

拓展　解决变力做功的主要思维方法有平均力法(当力与距离成线性关系时)、因果关系法(如上题中选项B、C所述)、转换对象法(如上题中选项D所述),此外还可灵活应用图象求解,如F-x图象、P-t图象,图象与横轴所围面积即为对应力做的功．

3　用好典型物理模型,实现对知识和规律的综合、熟练应用

用功、能知识结合牛顿运动定律及数学知识,可综合解决多过程问题与多对象问题.

3.1　组合运动模型

图5

例5　如图5所示,水平桌面上有一轻弹簧,左端固定在A点,弹簧原长时右端位于B点,桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP,其形状为半径R=0.8 m的圆环剪去了左上角135°的圆弧,MN为竖直直径,P点到桌面的竖直距离为R．用质量为m1=0.4 kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点,释放后弹簧恢复原长时物块恰好停在B点．用同种材料、质量为m2=0.2 kg的物块将弹簧也缓慢压缩到C点释放,物块经过B点后其位移与时间的关系为x=6t-2t2,物块从桌面右边缘D点飞离桌面后,由P点沿圆轨道切线落入圆轨道．g取10 m·s-2,求:

(1) BP间的水平距离;

(2) 判断m2能否沿圆轨道到达M点;

(3) 释放后m2运动过程中克服摩擦力做的功.

(1) 设物块由D点以初速度vD做平抛运动,落到P点时其竖直分速度为,因vy=vDtan 45°,解得vD=4 m·s-1.设物块做平抛运动的时间为t,水平位移为x1,有,解得x1=1.6 m．

由题意可知,小球过B点后以初速度v=6 m·s-1,加速度a=4 m·s-2,减速到vD,设B、D间位移为x2,有,解得BP水平间距为x=x1+x2=4.1 m.

(2) 若物块能沿轨道到达M点,设其速度为vM,由动能定理有,解得,故物块不能到达M点．

(3) 设弹簧长为AC时的弹性势能为Ep,物块与桌面间动摩擦因数为μ,m2在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为Wf,由能量守恒可知，物块m1从C到B有Ep=μm1gxCB; m2从C到B有; m2从C到D有,综合解得Wf=5.6 J．

拓展　物理问题就是状态问题和过程问题,对于多过程组合运动,首先,要重视处理2个运动衔接点处的速度关系,另外,要善于对过程建立功能方程,对过程对应的始末状态建立牛顿定律方程,结合关联速度就能顺利解决问题．

3.2　传送带模型

图7

例6　如图6所示,一质量m=2.0 kg的小物块以某一速度滑上正在运行的足够长的传送带上,

图6

地面观察者记录了物块速度随时间变化的关系如图7所示(图中取向右运动的方向为正方向),已知传送带的速度保持不变(g取10 m·s-2).以下说法正确的是(　　).

A　物块与传送带间的动摩擦因数为0.2;

B　0～3s内传送带对物体做的功为12 J;

C　0～3s内物体对传送带做的功为-24 J;

D　0～3s内物块与传送带摩擦生热为36 J

由图象可知传送带速度大小为2 m·s-1,方向向右,物体在滑动摩擦力作用下做匀变速运动,由动能定理μmgx1=0-mv0/2,x1为0～2 s内的位移(对应图中三角形面积),解得动摩擦因数μ=0.2．

物体先向左减速后向右加速,故传送带对物体先做负功后做正功,全程做功为

W=W1+W2=

J.

因物体对传送带的摩擦力始终与传送方向相反,故物体对传送带做功为W3=-μmg×vt=-24 J;全程摩擦生热为

Q=Q1+Q2=

正确选项为A、C、D．

3.3　连接体模型

图8

例7　(原创)如图8所示,一半径为R的光滑圆柱体固定在桌面上,与圆柱体等高处跨过同一高度处的光滑定滑轮的细线连着质量分别为m1、m2的小球A和B(均可看作质点),A套在光滑竖直杆上处于使细线水平的位置,此时B刚好悬垂于桌面．从静止释放A,当细线与水平方向的夹角为θ=60°时,B到达圆柱体最高点且刚好对圆柱体无压力,求:

(1) B球到达最高点时A球的速度,

(2) 此过程绳的拉力对A球做的功,

(3) 要使B球到达最高点时对圆柱体有压力,2球质量关系如何?

(1) B球在圆柱体最高点时,对B球由牛顿定律有

.

由几何关系及绳连体的速度分解原理可知,A球在绳方向的分速度大小等于B球的速度,即

vB=vAsin θ,

故

(2) 因无摩擦力做功,系统机械能守恒,B球机械能增加量

,

则A球机械能减少量为m2gR,故绳的拉力对A球做功为

(3) B球到达最高的过程中,对系统由机械能守恒有

,

其中A物下落高度h由几何关系知为,要使B球到达最高点时对圆柱体有压力，需满足这一条件，由此联立各式得

系统机械能守恒的典型连接体有轻绳连接体、轻杆连接体、轻弹簧连接体等,解题中通常要建立系统的机械能守恒方程和个体的动力学状态方程;而对于系统机械能有损失的传送带模型、滑块-木板模型,解题中则是对个体分别建立动能定理方程,通过位移关系进行联系．