动态过程的模型

动态过程一般采用微分方程或差分方程来描述. 连续过程采用微分方程描述，离散过程采用差分方程描述.

(1)生物的种群

第一章曾讲了马尔萨斯人口论. 马尔萨斯认为人口增长率p'(t)应该与人口的规模p(t)成正比，就是

p'(t) =ap(t)(a＞0) (4.35)

其中a称为增长比例系数，解方程(4.35)得到

p(t)=p(t0)ea(t-t0)

此处p(t0) =p0为初始条件，由于a＞0，因而随着时间的增长p(t)将趋向无穷大，这种情形显然与事实不符，于是德国生物学家费尔哈斯(Verhust)提出了形如

p'(t) =ap(t) -bp2(t) (4.36)

的修正模型，其中ap(t)显然是式(4.35)的右边部分，第二项是根据“当生物的种群达到一定规模的时候，环境将会对生物的进一步增长起明显的抑制作用”的判断加上去的，其中b＞0，且a≫b＞0. 费尔哈斯在1845年用这个模型对比利时和法国在1930年的人口进行了预测，他采用a=0.029和2.941×10-12，结果对法国的预测还非常准确的(尽管其中经历了第一次世界大战).

如果有两种生物A与B，生物B是生物A的天敌，即B以捕食A为生，假设A和B在t时刻的种群规模分别为x(t)和y(t)，那么A和B相遇的机会与x(t)·y(t)成正比，因而A的增长率

x'=ax-bxy，a，b＞0 (4.37)

x，y都是t的函数，此处略写，B的增长也与A和B相遇的机会(即与x(t)·y(t)) 成正比，且B能得到食物，但B会因A的逐渐减少，而影响繁殖，因此

y'=cxy-dy，c，d＞0. (4.38)

式(4.37)、式(4.38)联立称为“捕食-猎物”方程组. 这个方程组是意大利数学家伏尔特拉(Volterra)提出的，描写了一种以另一种为食的两种生物种群规模之间的关系. 生物学家早就注意到了海里大鱼和小鱼呈周期变化的状况，在式(4.37)和式(4.38)中，令

其非零解(x=，y=)称为式(4.37)和式(4.38)的中心，取不同的a、b、c、d的值就可得到不同的(x，y)的值，取定某(x0，y0)当作初始值，就可画出式(4.37)、式(4.38)的相图，这些图像都是围绕着中心，且为逐渐向中心靠拢的曲线，在一定时间内有着周期运动的趋势，正好像海里大鱼与小鱼的关系一样，当小鱼多时，大鱼繁殖就快，到了一定程度，小鱼太少，大鱼食物不足，大鱼种群也就萎缩了.

上述三个数学模型是经验的，道理上说得通但不严格的，我们无法证明这样解析式. 它们之所以能得到认可，首先在假设上合符常理，这是良好的开端. 还必须得到证实. 马尔萨斯人口模型短时期还行，长期趋势就不成立了，因此要做修改. 总的来说，要建一个数学模型，要从合理的假设出发，大胆地确立框架，然后进行实验证实，再根据实验数据进行修改.

微分方程是描绘连续动态过程的数学模型，它的一般形式是:

其中y表示过程的输出(结果)，u称为输入(原因)，y的最高阶导数称为这个微分方程的阶，也称为过程的阶，含t0的各阶的值称为初始条件. 求解n阶微分方程需要有n个初始条件. 数学上根据初始条件求解(常和偏)微分方程称为柯西问题. 这里仅作为引子，足以表明动态过程的数学模型是很复杂的.

(2)Logistic(阻滞)方程

客观世界中还存在一类对象，如蚕、蝉蜕这类生命周期为一年的昆虫的数量变化，它们上下代之间不交叠，成虫在第一年的夏季产卵后死亡，第二年春天虫卵孵化成幼虫，虫口是个离散变量，用Pn表示第n年的虫口量，可以假定第n+1年的虫口量Pn+1与Pn之间应存在简单的比例关系: Pn+1=c Pn但由于食物和种间竟争等因素，昆虫的配对总数为0.5Pn(Pn-1)，当Pn很大时，可近似表达为0.5，所以在种群生态学中采用的虫口模型一般是

这个模型与费尔哈斯模型很相似.设xn=bc Pn，上述方程转化为

xn+1=cxn(1-xn) (4.41)

方程式(4.41)称为Logistic方程. 这个方程在当前引起了广泛的兴趣，是因为它的混沌特性. 混沌是一种对参数不连续的依赖现象，而式(4.41)的不动点对于参数c又很敏感. 对于自治离散过程

xn+1=f(xn)

满足方程x=f(x)的解x称为过程的不动点. 因为一且xn=x，xp≅x，p≥n. 又若xn≠x，那么xn+1≠xn，表明xn只是数量特征的临时的值，在下一个周期，数量特征就一定会离开它. 如果过程最后稳定下来的话，它的稳定状态必定是不动点，对于Logistic方程，参数c起着重要的作用. 不同的c值会使方程呈现不同的性态: 定态、周期循环和混沌.

把式(4.41)改写为y=cx(1-x)，显然是个二次函数，由

为便于讨论，我们总假定c是0到4的常数，x∈［0，1］.

当c=2时，f(x) =2x(1-x)，取x0=0.1，反复迭代得下述结果: x0=0.1，x1=0.18，x2=0.2952，x3=0.4161，x4=0.4859， x5=0.4996，x6=0.4999，x7=0.5，x8=0.5. 从x7之后，迭代就停止在0.5，认为x=0.5处有一个吸引子. 这是一个稳定的状况，称为定态.

取其他的初始值，例如x0=0.2，0.3，0.6等，作迭代运算，所得结果也一样，总以0.5告终. 因此把x=0.5为方程的不动点.

f(0.5) =2×0.5(1-0.5) =0.5

当c=3，4时，方程图形呈拉长效应. 而c＜2时，呈压缩与折叠状; 若c＞4，则迭代结果超出［0，1］区间，多次迭代会使有的x值很快趋于无穷.

当c＞3时，取c=3.2，这里f(x) =3.2x(1-x). 再取x0=0.5反复迭代有x1=0.8，x2=0.512，x3=0.7995，x4=5130， x5=0.7995，x6=0.5130，x7=0.7995，x8=0.5130，…，从x3以后出现循环，x交替地取0.7995和0.5130两个值. 这是一个周期为2的循环. 取其他的初始值，如x0=0.2，0.3，0.6等，作迭代运算，结果也得到周期为2的循环.

取c=3.5. 周期为2的吸引子失稳，出现了周期为4的循环;取c=3.56作迭代出现周期为8的循环; 当c=3.567时，周期达到16，此后周期迅速加倍: 32，64，128，…. 当c=3.58左右时，逻辑斯蒂方程变成混沌. 我们可以画一张图(见图4.17) 来展示上述迭代过程与参数c的关系，这里取c为横坐标，x为纵坐标，对每个c找出c所对应的吸引子，即为相应的周期点.

当c=3时，一条曲线分成两条，出现第一个分岔，随着c值的增加，分岔加倍，再加倍，…，就形成了一个美丽的树状结构.通常叫做无花果树，如图4.18所示.

图4.17

图4.18

上述两个模型在建立模型的理论上很相似，区别就是，一个是导数，一个是差分.对于连续系统，种群的规模会稳定在左右.而离散情形，则对参数a和b非常敏感.

[1] 基本可行解必须满足两个条件: 一是不能违反任何约束条件，且在不退化的情况下，非零变量的个数等于约束条件方程数; 二是解中基变量的系数列向量构成的基矩阵为单位阵