基本割集矩阵

1.基本割集矩阵

在一个有向图中，基本割集就是单树支割集。在图8-7中，实线表示树支，虚线表示连支。与每个单树支割集相切割的封闭面的部分界线已画在图中。以树支穿过切割封闭面的方向作为该单树支割集的参考方向，并用箭头标在切割封闭面上。

如果为图8-7中（n-1）个单树支割集编号并标出参考方向，则支路与割集的关联关系可用一个（n-1）×b矩阵Qf描述，Qf称为单树支割集矩阵或基本割集矩阵。矩阵Qf的元素qik定义如下：

图8-7　说明基本割集矩阵的图

为了使写出的基本割集矩阵有规律性，将支路按先树支后连支的次序编号，并且基本割集的编号与相应树支的编号相同。图8-7所示有向图的基本割集矩阵为

基本割集矩阵Qf中分为两个并列子阵：左边的子阵是基本割集与树支的关联子阵，因为每一树支属于一个基本割集，并且两者编号相同，故该子阵为（n-1）阶单位阵，用1n-1表示。右边的子阵是基本割集与连支的关联子阵，用F表示。于是矩阵Qf可记为

由于矩阵Qf含有（n-1）阶单位阵，故矩阵Qf的秩为（n-1）。

2.基本割集矩阵Qf表示KCL和KVL

以图8-7对应的网络为例，ib表示支路电流的列向量，并使ib中各支路电流的排列次序与矩阵Qf中各列所对应的支路排列次序相同，用Qf左乘ib，则得

由于矩阵Qf的每一行非零元素表示与该行对应的基本割集所关联的支路和关联形式，故Qf左乘ib所得列向量的每个元素必是相应基本割集所属支路电流的代数和，令其等于零构成的方程即为将KCL应用于与该基本割集相切割的封闭面所得的电流方程。因此有

式（8-4）是用矩阵Qf表示的KCL方程。

用uc1 、 uc2 、 uc3分别表示图8-7所对应网络的树支电压，把它们按矩阵Qf各行所对应的基本割集的次序排列写成列向量，用uc表示，称为树支电压向量，即

上式右端列向量各元素是图8-7对应网络中的各支路电压，所以有

其中ub=［ u1　 u2　u3　u4　u5　u6 ］T是图8-7对应网络的支路电压列向量。式（8-5）就是用表示的KVL方程。