基本回路矩阵

1.基本回路矩阵Bf

在有向图中，基本回路就是单连支回路。通常以连支的参考方向作为该连支所属基本回路的参考方向。对应于一种树的各基本回路与各支路的关联情况，可用基本回路矩阵Bf来描述，它的元素bik定义如下：

为了使写出的基本回路有规律性，各支路可按先树支后连支的次序编号，并且使各基本回路的编号1、2、3、…分别与相应连支的编号次序相对应。将图8-7重画于图8-8中，在图中标出的参考方向下，其基本回路矩阵Bf为

基本回路矩阵Bf是一个（b-n+1）×b矩阵，它可分为两个并列子阵：左边的子阵是基本回路与树支的关联子阵，用E表示，它是（b-n+1）×（n-1）阶矩阵；右边的子阵是基本回路与连支的关联子阵，因为每个连支只属于一个相应基本回路，并且两者编号次序相同，所以该子阵是一个（b-n+1）阶单位阵，用1l表示。于是矩阵Bf可记为

由于矩阵Bf含有一个（b-n+1）阶单位阵，故矩阵Bf的秩是（b-n+1）。

2.基本回路矩阵Bf表示KCL和KVL

以图8-8所对应的网络为例，用ub表示该网络支路电压的列向量，且ub中各支路电压的排列次序与矩阵Bf中各列对应的支路排列次序相同。用Bf左乘ub，则得

图8-8　说明基本回路矩阵的图

由于矩阵Bf每一行的非零元素表示与该行对应的基本回路所关联的支路及关联形式，故Bf左乘ub所得列向量的每一元素必定是相应基本回路所属支路电压的代数和，令其等于零所构成的方程就是KVL应用于该基本回路所得的电压方程。因此

式（8-7）是用Bf表示的KVL方程。

用分别表示图8-8所对应网络的基本回路l1、l2、l3的回路电流，并按矩阵各行对应的基本回路次序写成列向量，用il表示，称为回路电流列向量，即

上式右端列向量的各元素分别表示图8-8所对应网络的支路电流，因此有