正弦电流电路中的功率

实际正弦电流电路的主要功能之一是实现电能生产、传输和分配。供给动力用电和照明用电的电力网络，一般都是正弦电流电路。因此，正弦电流电路中的功率计算具有十分重要的意义。

1.电阻中的功率

电阻所吸收的功率为

p为时间的函数，它表示电阻某一瞬间吸收的功率，故称为瞬时功率。

式（3-49）表明电阻吸收的瞬时功率包含两项，第一项是常量，第二项是以两倍电压频率变化的周期量。图3-36中画出了电压、电流和瞬时功率的波形图，由图看出电阻吸收的瞬时功率p≥0，这是因为电阻的电压电流实际方向总是相同的缘故。

瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率，以大写字母P表示，即

图3-36　电阻的u， i，p的波形

将式（3-49）代入式（3-50），则得电阻中的平均功率为

式（3-51）表明，用电压和电流有效值来计算电阻中的平均功率，其计算公式与直流电路中的对应公式完全一样，这是因为在3. 1节中就是根据这一原则定义的电压和电流的有效值。

2.电感中的功率

设电感中的电流，在关联的电压电流参考方向下，电感的电压为

电感吸收的瞬时功率为

p是时间的正弦函数，频率为电流频率的两倍。

图3-37画出了电感中的电流、电压和瞬时功率的波形。p＞0表明电感吸收功率，电感吸收电能并转变为磁场能量储存在磁场中；p ＜0表示电感在发出功率，电感是在放出磁场能量并返还给电源。所以，电感中能量过程是电感和电源之间能量的互相交换过程。

电感中瞬时功率的平均值为

图3-37　电感的u，i，p的波形

即电感吸收的平均功率等于零，说明电感不消耗能量。由于电感既有限制电流大小的作用，又不消耗电能。所以工程上常用它作限流元件，称为扼流圈或电抗器。

电感的瞬时功率的幅值，常被用作电感与电源之间能量交换规模的度量，称作电感的无功功率，用符号QL表示，即

电感的无功功率QL代表电感与电源之间能量交换的最大速率。其单位本应与平均功率一样，但它不作功，为了区别起见，把它的单位称为无功伏安，简称乏，记作Var。与无功功率相对应，平均功率常称为有功功率，简称功率。

3.电容中的功率

设电容的电压，在关联的电压电流参考方向下，电容电流为

电容吸收的瞬时功率为

p也是时间的正弦函数，频率为电压频率的两倍。图3-38所示为电容的电压、电流和瞬时功率的波形。p＞0表明电容在吸收功率，吸收电能并转换为电场能量储存在电场中；p ＜0表示电容在发出功率，电容是在放出电场能量返还给电源。所以，电容中的能量过程是电容和电源之间能量的互相交换过程。

图3-38　电容的u，i，p的波形

电容中的平均功率也为零，无功功率为

电容的无功功率QC代表电容与电源之间能量互换的最大速率，单位为乏（Var） 。

4.二端网络中功率

图3-39所示为一不含独立源的二端网络，端口电压和电流的参考方向为关联的，它们分别为

图3-39　二端网络

式中：φ是端口电压超前端口电流的相位差。

则此二端网络吸收的瞬时功率为

p也包含两项，第一项是常量，第二项是以两倍电流频率变化的周期量。因此二端网络吸收的平均功率为

由式（3-57）知，二端网络的端口电压和电流的有效值乘积UI不等于它吸收的平均功率（有功功率），因此称为视在功率，用符号S表示，即

视在功率的主单位为伏安（V· A），工程上常用的十进倍数单位为千伏安（kV·A）和兆伏安（MV·A）。

把式（3-58）代入式（3-57），则有

可见平均功率一般小于视在功率，也就是要在视在功率的基础上要打个折扣。这个折扣就是端口电压与电流的相位差之余弦，称它为功率因数，用符号λ表示，即

λ是一个无量纲的参数。由于λ等于端口电压与电流相位差φ的余弦，故φ有时又称作功率因数角。端口电压与电流的相位差φ决定于电路的参数和频率。对于纯电阻其功率因数等于1，对于纯电抗电路其功率因数为零，一般情况下0≤λ≤1。

工程实际中，视在功率常用于表示发电和变电设备的容量。如560kV·A的变压器，就是指这台变压器的额定视在功率为560kV· A。那么变压器为什么要用视在功率表示其容量呢？因为工厂在生产变压器时为其规定了一个额定电压和一个额定电流，两者乘积恰恰决定了额定视在功率。而它实际运行时的输出功率还决定于负载的功率因数。当负载功率因数λ=1时，560kV· A的变压器输出功率为560kW；当负载功率因数λ=0.5时，560kV· A的变压器的实际输出功率则为280kW。所以其容量只能用视在功率来表示。

由式（3-57）知，对于功率因数一定的电气设备，如果确定了额定电压和额定电流，则平均功率也就确定了，因此这类电气设备的容量则用平均功率表示，例如异步电动机在额定状态下工作时，其功率因数为定值，所以异步电动机的额定容量用平均功率表示。

图3-39所示二端网络吸收的无功功率定义如下：

Q只是一个计算量。对于感性电路，φ ＞0，sinφ ＞0，无功功率为正值；对于容性电路，φ ＜0，sinφ ＜ 0，无功功率为负值。

无功功率的正负可赋以一定的能量含义，本书以RLC并联组成的二端网络来说明。

图3-40所示为RLC并联电路，其吸收的无功功率为

式中：φ′为电流超前电压的相位差。

由RLC并联电路的相量图（图3-24（b））知

图3-40　RLC并联电路

所以，RLC并联电路吸收的无功功率为

即RLC并联电路吸收的无功功率等于电感与电容无功功率之差。由于式（3-61）中QC前带有负号，必须区别电感和电容的无功功率，为此认为电感是无功功率的吸收者，电容是无功功率的发出者。

在图3-41中，画出了图3-40所示电路的电容电压u和电感电流iL的波形，并参考图3-36与图3-37画出了电感和电容吸收的瞬时功率pL和pC的波形。由于pL和pC总是符号相反，所以在RLC并联电路内部自行交换了一部分能量，其差值再与电源进行交换。这就是RLC并联电路吸收的无功功率等于电感与电容无功功率之差的原因所在。根据这个道理，可在感性负载上并联电容器，以改善负载端的功率因数。

把图3-39所示二端网络吸收的平均功率作实部，吸收的无功功率作虚部，构成一个复量，即

图3-41　图3-40电路中PL、pC的波形

称为二端网络吸收的复功率。只是个用于计算的普通复数，不代表任何正弦量，因此不能看成相量。复功率与端口电压电流相量关系如下：

式（3-63）表明二端网络吸收的复功率等于端口电压相量和电流相量的共轭复量的乘积。因此，可直接用端口电压相量和电流相量计算复功率，进而求得有功功率和无功功率。

由于图3-39所示二端网络内部不含有独立源，有，其中Z和Y分别为二端网络的等效阻抗和等效导纳。则其吸收复功率可表示为

式中：Y*为等效复导纳的共轭复量。

当二端网络内部含有独立源时，其端口电压和电流的参考方向规定为非关联的，则其发出的平均功率、无功功率、视在功率和复功率仍为P=UIcosφ、Q=UIsinφ、S=UI =P+jQ=，φ角是端口电压超前端口电流的相位差。

在第8章将证明，正弦电流电路中的复功率是守恒的，即

因此有

即对任何正弦电流电路，有功功率是守恒的，无功功率也是守恒的，但视在功率不守恒。

例3-17　把3个负载并接到220V的正弦电压源上，各负载取用的功率和电流分别是P1 =4.4kW，I1 =44.7A（感性）；P2 =8.8kW，I2=50A（感性）；P3 =6.6kW，I3 =60A（容性），如图3-42所示。试求电源供给的总电流和总功率因数。

图3-42　例3-17图

解　（1）相量法。取

根据KCL，有

所以电源供给的总电流为91. 8A，总功率因数为0.98 。

（2）功率法。各负载吸收的无功功率为

根据电路中有功功率和无功功率的守恒性，电源供给的有功功率和无功功率为

电源供给的总电流为

功率法避免了复数运算，在电力网的计算中应用较多。

例3-18　图3-43所示电路中，求两电源发出的复功率。

解　采用回路电流法。

（1）列出回路电流方程：

图3-43　例3-18图

则回路电流方程为

代入数据，则为

（2）解回路电流方程

（3）计算支路电流

（4）计算电源发出的复功率

电流源两端电压为

电流源发出的复功率为

电压源发出的复功率为

图3-44　例3-19图

例3-19　有一感性负载，功率为5kW，功率因数为0.65，接在50Hz，220V的正弦交流电源上。 （1）求电源供给的电流和无功功率；（2）要把功率因数提高到0.95（感性），需并联多大的电容？这时电源供给的电流和无功功率又为多少？

解　（1）当λ1 = cosφ1=0.65时，电源供给的电流为

电源供给的无功功率为

（2）并联电容提高功率因数，不影响负载本身的工作状态，因此感性负载本身吸收的平均功率和无功功率都不改变。设电容的无功功率为QC，则电源供给的无功功率为

而并联电容后负载端的功率因数λ = cosφ=0.95，φ=18.19°，则电源提供的无功功率为

电容的无功功率为

所需电容为

此时电源提供的电流为

由此可见，并联电容使负载端功率因数由0.65提高到0.95，电源提供的电流由34.97A下降到23.92A。因此，通过改善功率因数可以提高电源容量的利用率。