简谐信号是最简单的和最重要的周期信号，只有一种频率成分，正／余弦信号是简谐信号。而锯齿波、三角波、方波等都是非简谐信号。任何非简谐周期信号都可以利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号的线性叠加。两者之间联系的桥梁是傅里叶级数。
傅里叶级数是周期信号分析的理论基础。从数学分析可知，对于以T为周期的函数x（t），若满足Dirichlet（狄里赫利）条件（即在一个周期内满足：函数或者为连续的，或者具有有限个第一类间断点；函数的极值点有限；函数是绝对可积的；工程测试技术中的周期信号，大都满足该条件），则x（t）可以在一个周期内展开成傅里叶级数。
（1）傅里叶级数的三角展开式
式（2．51）和式（2．52）中，ω0为基波角频率，ω0＝2π／T；a0为常值（直流）分量；an为余弦分量的幅值；bn为正弦分量的幅值；An为各频率分量的幅值；φn为各频率分量的初相位。
例2．7 求图2．13周期方波x（t）的傅里叶级数。
解 周期方波在一个周期内可表达为
由图2．13可知，该信号为奇函数，根据式（2．3）可得
因此，周期性方波的傅里叶级数可写成为
由式（2．53）可知，利用傅里叶级数的表达式能确切地表达信号分解的结果，但是不够直观。为了既简单又明了地表示一个信号中包含了哪些频率分量及各分量占的比例大小，通常用频谱图来表示：以角频率ω为横坐标，以bn、an（或cn的实部和虚部）为纵坐标画图，称为实频-虚频谱图；以ω为横坐标，以An、φn为纵坐标画图，则称为幅频图和相频谱，图2．13（b）和图2．13（c）分别为周期方波的幅频图和相频图，其幅频谱仅包含信号的基波和奇次谐波，各次谐波的幅值以1／n收敛，信号的相频谱中，基波和各次谐波的相角φn均为－π／2；以ω为横坐标，A2n为纵坐标画图，则称为功率谱图。图2．14为一个幅值为5的正弦信号的频谱图例。
图2．13 周期方波信号的时域波形与频域图
图2．14 正弦信号频谱图例
（2）傅里叶级数的指数函数展开式
使用欧拉公式，可将式（2．51）和式（2．52）写成复指数形式，即
式中 Cn——复数傅里叶系数。
傅里叶级数的复指数函数表达式表明：周期信号x（t）可分解成无穷多个指数分量之和；而且傅里叶系数Cn完全由原信号x（t）确定，因此包含原信号x（t）的全部信息。Cn又称为x（t）的复振幅，是关于nω0t的复变函数。它的模｜Cn｜和相角φn表示第n次谐波的幅值和相位信息。复指数函数表达式与三角展开式的关系为
例2．8 求图2．15（a）周期矩形脉冲x（t）的频谱。
解 若定义sinc（x）函数：
根据式（2．54）可得
式中 ω0＝2π／T0为角频率。
由式（2．56），可画出如图2．15（b）所示的周期矩形脉冲的频谱图。
图2．15 周期矩形脉冲及其频谱图
周期信号的频域描述清楚地表明了信号的频率成分构成及其幅值、相位信息——这在动态测试中非常重要。
（3）周期信号频谱的特点
由图2．13和图2．15可知，周期信号的频谱具有如下3个特点：
①离散性：周期矩形脉冲的频谱是离散的，谱线间隔为基波角频率ω0，即信号周期T0越大，谱线越密，同时直流分量的幅值越小。
②谐波性：每个谱线只出现在基波频率ω0的整数倍上。
③收敛性：周期信号展开成傅里叶级数后，在频域上是无限的，但从总体上看，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小。因此，在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。
（4）信号频带宽度的概念
由式（2．51）和式（2．54）可知，一个周期信号由无限多个谐波分量组成，但是在实际工程应用中，只能用包含有限项的傅里叶级数近似表示，因此存在误差。
信号频带宽度与允许误差大小有关。由频谱的收敛性可知，周期信号的能量主要集中在低频分量，谐波次数过高的分量所占能量少，可忽略不计。通常将频谱中幅值下降到最大幅值的10%时所对应的频率定义为信号的频宽，称为1／10法则。
工程应用中可根据时域波形估计信号频宽：有突跳的信号，如周期方波和锯齿波，所取频带较宽，可取10ω0为频宽。无突跳的信号变化较缓（越缓越接近简谐），如三角波，所取频带较窄，可取3ω0为频宽。
如图2．16所示为使用周期方波的前5次谐波进行合成所得到的波形，可以看出波形已经和方波比较接近。需要注意的是，因为周期方波为奇函数，因此其谐波频率都为基波的奇数倍，例如图2．16中的第5次谐波频率为9ω0，幅值为基波幅值的1／9。
合理选择信号的频宽是非常重要的，测量仪器的工作频率范围必须大于被测信号的频宽，被测信号的高频分量经过测量仪器后会产生很大的衰减，从而引起信号失真，造成较大的测量误差，因此，在设计或选用测试仪器前必须了解被测信号的频带宽度。
图2．16 周期方波的分解与合成
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