在上一节中我们提到过的物体碰撞公式，在实践中很少能够直接应用。大多数情况下，被大致认为是“完全没有弹性”和“完全弹性”的物体是极少见的。绝大多数物体既不属于前者，也不属于后者：它们都属于“不是完全弹性的”物体。我们以皮球为例。我们不害怕古代寓言作家的嘲笑，要问自己：皮球是什么东西？从力学的角度看是完全弹性的或者不是完全弹性的？
检测皮球是否是弹性物体的方法很简单：只要让它从一定的高度落到一个坚硬的平面上就可以了。完全弹性的球落下后还应该弹回到它原来的高度。
利用弹性物体碰撞公式就能得出这样的结果：
y=2x-v1=[2×（m1×v1+m2×v2）/（m1+m2）]-v1
将这个公式应用于向静止的平面碰撞的球体情况下，我们可以认为平面的质量m2是无限大的，而它的速度几乎等于0：m2=∞，v2=0。把这个数值代入上面的公式中计算一下，分解m2的分子和分母：
y=2（m1/m2×v1+v2）/（m1/m2+1）-v1
代入数值后得出结果：
y=2（m1/∞×v1+0）/（m1/∞+1）-v1
因为m1/∞=0，那么分数公式变为：
y=-v1
如果皮球必须从平面上弹回到原有的高度，就应该达到那样的速度。从高度为H处落下，物体所具有的速度为：
用这样的速度v垂直向上弹起时，物体达到的高度为：
h=v2/2g
计算出，h=H：皮球与平面碰撞后应该弹起到它落下的地方。
不是完全弹性的皮球在碰撞后则不能弹回到原来的高度（从物理学意义上很容易得出这样的结论）。
那么，不是完全弹性的皮球的情形是什么样的呢？为了弄清这个问题，我们要研究一下弹性物体的碰撞情况。皮球落到平面后它的接触面会凹陷下去，这个使球面凹陷的力使皮球的速度降低。在此之前，皮球与没有弹性的物体情况相同，即这时它的速度为x，而减少了的速度为v1-x。但是受到压力而凹陷的部分立刻重新开始凸起，此时皮球会去挤压阻碍它凸起的平面，于是这股新的力量作用于球体后也降低了它的速度。此时，如果皮球完全恢复了原有的形状，也就是它重新经历了受到挤压变形时所经历的改变形状的阶段，那么它刚刚失去的速度应该等于前一阶段它所失去的速度，即：v1-x，总而言之，完全弹性的皮球的速度应该减少了2×（v1-x），等于：
v1-2（v1-x）=2x-v1
当我们说皮球“不是完全弹性”时，其实我们是想说，在外力作用下，这个球形状发生改变后，无法完全恢复到原来的形状。而且，在恢复原来形状的过程中，作用在球上的力已经比使它形状发生变化时的力小，如此一来，在恢复原来形状过程中，皮球所减少的速度也要比发生形状改变时的速度小。这个速度值不等于v1-x，而只是这个数值的一部分，用数e表示（也可以称为“恢复系数”）。这样一来，物体在弹性碰撞第一阶段失去的速度等于v1-x，在第二阶段失去的速度等于e×（v1-x）。总共失去的速度等于：（1+e）×（v1-x），而碰撞后剩余的速度y等于：
y=v1-（1+e）×（v1-x）=（1+e）x-ev1
至于被撞击物体的速度z（这里指地面），它在皮球的作用下根据反作用定律而后退，这个速度不难计算，应该等于：
z=（1+e）x-ev2
两个速度的差为z-y= ev1- e×v2=e（v1-v2），由此得出“恢复系数”:
e=（z-y）/（v1-v2）
对于向固定不动的平面上撞击的皮球而言，速度z=（1+e）x-ev2=0，v2=0，因此，e=-y/v1。
这样一来，我们就有办法计算出皮球的“恢复系数”e，“恢复系数”用来表示皮球的“不完全弹性”特质的“不完全”度。该系数等于皮球下落的高度和弹起的高度的比值的平方根。
第一个题目为：一个球从高H的空中落下，它第二次、第三次以及以后每次弹起来的高度分别为多少？
后面的计算以此类推。
假如这个球是从埃菲尔铁塔上落下来（高度H=300米），如果不计算空气的阻力，它第一次弹起的高度为168米，第二次弹起的高度为94米，等等，不再重复阐述。事实上，由于速度很大，所以空气的阻力也很大。
第二个题目：球从H高度落下后能保持多长时间的蹦跳？
我们知道，H=gT2/2；h=gt2/2；h1=gt12/2…
于是，每次弹起的时间总和等于：
T+2×t+2×t1+2×t2+…
代入数值：H=250厘米，g=9.8米/秒2，e=0.75，得出球蹦跳的总时间为5秒，即球会持续蹦跳5秒钟。
如果球是从埃菲尔铁塔的顶端落下，那么它会持续蹦跳大约1分钟，更准确地说是54秒，如果球仅仅作了碰撞运动。
从几米高的地方落下时速度不会很大，因而空气阻力也不会大。人们曾做了一个实验，让一个“恢复系数”为0.76的皮球从250厘米的高度落下，在真空的状态下它第二次弹起应该为84厘米，而事实上它弹起了83厘米。可见，空气阻力几乎没有产生什么影响。
图45 从埃菲尔铁塔上落下的球能弹起多高
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