数学，仅仅是语法！

数学，仅仅是语法！

一代天骄阿兰·图灵简陋的办公室

1939年，20世纪乃至人类有史以来最伟大的两位天才：49岁的路德维希·维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）和27岁的阿兰·图灵（Alan Turing）分别在剑桥大学开设了两门同名不同质的专业讲座：数学基础。

尽管这两门课程拥有一致的名称，但是内容却完全不同。图灵致力讲授的数学基础是理性世界中的博弈游戏，即通过选取一组严密而简洁的公理作为逻辑出发点，按照一定的规则使其经过推导发展成为数学结构，并试图寻找出这个过程在技术上存在哪些局限性。而维特根斯坦愿意讨论的“数学基础”却貌似是一种鄙视数学的哲学原理，至少在剑桥大学钻研数学的师生们都倾向于这样认为。(www.guayunfan.com)阿兰·图灵认为自己的资历较浅，于是决定去旁听维特根斯坦所开设的课程。为了让性情古怪的维特根斯坦允许自己旁听，图灵不得不先行前往三一学院拜访维特根斯坦教授——在这一年，维特根斯坦刚刚获得了剑桥大学的教授头衔。两位百年一遇的天才谈论了某些数学哲学和逻辑学的繁琐问题后，维特根斯坦认为图灵具备了参与该门课程的“资格”——这绝不是一般学者能享受的待遇！而两人间的这次数学思想大碰撞亦被载入了史册。五十年后出版的《维特根斯坦：天才的职责》（Ludwig Wittgenstein: The Duty of Genius），为今天的人们讲述了当时的有趣故事。作者雷·芒克（Ray Monk）在这部作品当中写道：

维特根斯坦的数学讲座是对科学界的偶像崇拜发起的一场总攻。而且他视这一特定的战役为那场斗争中最为重要的一部分。维特根斯坦的做法不是重新解读数学证明，而是对数学的整体进行重新描述。其结果是数学逻辑看起来更像他所认为的哲学意义上的偏差，在某种程度上甚至完全消除了数学作为一门科学的愿景，这种数学的功能是发现有关数学实在的事实。他说：“我要一次又一次地说明，所谓的数学发现称为数学发明更为确切。”在此人看来，其实没有什么东西可以供数学家们去发现。一个数学证明并不能够确立一个结论是真理：其只能确定一些数学符号的意义。因此，数学上“板上钉钉”的东西并不是关于数学真理的某些知识，而是这样一个事实：数学命题仅仅是一种语法而已。

……

维特根斯坦曾这样设想，他若是能说服图灵依照这样一种方法来看待数学，他就可以说服任何人。可是图灵不是他能说服的人。正如罗素和大多数职业数学家一样，图灵认为数学之美以及数学真正的“魅力”就在于其有能力在这个捉摸不定的世界当中去揭示坚不可摧的真理。有人问他是否懂得维特根斯坦所讲的内容，图灵答道：“我懂。但是我不认为数学仅仅是给词语赋予新意义的问题。”对此，维特根斯坦有点怪异地谈到：“图灵对我所讲述的东西都不反对，他赞成每一个字。他所反对的是他认为隐含在其中的思想。他觉得我们在试图损害数学，将布尔什维克主义引入数学当中。其实根本不是那么回事！”

事实上，维特根斯坦触及了一个数学家不愿意正视的话题：所谓数学和逻辑的严谨性——有些人愿意称之为理性，仅是人类的一种语言结构！古人创造数学这门语言的目的是尝试描述藏在现象世界背后的物质实体，然而人类能否最终找到这种物质实体，或是精确描述该实体，却和我们使用的语言本身的严谨性没有直接关系。况且数学毕竟是一门语言——语言在传达核心信息时，其精确性和有效性反而不如感觉！正如俗语中所说的那样：真相往往可意会而不可言传！

非常可惜的是：现代人却错误地认为加强这门语言的严谨性可以导致人类对于实体的接近。于是一名17岁以前除了拉丁语和希腊语什么都没学过，17岁以后才正式地接触数学并使用语言学方法重新阐释微积分的（其实应该理解为破坏了牛顿微积分的玄学美）法国人奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy）成为了所谓的分析数学大师。

不过更加令人感到遗憾的地方就在于：柯西以后的数学家们竟然以为完善这门语言的逻辑性和严谨性才是数学的旨趣，因而彻底遗忘了祖先们发明数学工具的本意。这种观点直接导致了证明过程凌驾于结论，对这门语言严谨性的关注超过了语言所描述之事物本身。同时，这也创造了一套极其荒谬的数学史：人们习惯性地认为数学源自古希腊，因为数学在此前无尽漫长的岁月里从未要求过证明。发明数学的古人理所应当地认为最终结果较之一系列证明过程要显得重要得多！

英国学者罗伊·索伦森（Roy Sorensen）在畅销作品《悖论简史：哲学和心灵的迷宫》（A Brief History of the Paradox: Philosophy and the Labyrinths of the Mind）当中曾经举出过罗素和维特根斯坦的好例子。学生时代的维特根斯坦总是喜欢在某个问题上猛想一阵子，然后宣布他的答案，“就好像其解答是沙皇颁布的告令似的”。导师罗素责备他没有提供出其结论背后的根据，维特根斯坦却惊嚷道：送给别人玫瑰花时难道也要将玫瑰花的根和茎一并送上吗？既然有玫瑰花，那么就一定会有生长出玫瑰花的根和茎。过程仅仅应该为了服务于结论而存在。索伦森还打趣地写道：

埃及数学是不讲证据的。这一点让很多学者，尤其是那帮数学家感到困惑。而这一点对于古代社会来说就是常理，而绝不是某种例外。巴比伦人、玛雅人和古印度人对结论的证明只是有某种附带的兴趣。导向发现的步骤仅是达到目标的工具。古代人并不会把数学推理过程看作是应该加以公开展示的支柱性结构。一名建筑师无需非使用透明的玻璃墙，以便让所有观众们确信房梁是牢固的。早期的数学家只满足于报道他们的发现。古希腊人改变了数学思维。其后代希望生活在玻璃房子里。

房子不仅仅是为了住人，更应该负责保护居住者的隐私。如果单纯是为了遮风避雨，而没有任何保护隐私的考虑，人类或许根本不需要建造房子。因此将房子建造成透明的并不符合人类建造房子的初衷。数学所面临的尴尬问题恰是这一种情况。当然了，一定会有数学家指出：为了确保最终的结果是真实准确的，我们有必要检查其证明过程。此类说法确实有道理。但是问题在于：如果有某些事情实在难以证明，我们是不是就应该继续僵持下去，等待一个或许永远不可能给出的所谓证明，而不去考虑这件事情其本身的重要性？我们能不能再换种更加灵活的方式，暂时忽略那些过分苛刻的逻辑性，而直接通过许多并不太严谨但是很可靠的手段，先行搞清楚现象世界背后的物质实体究竟是什么样子，然后再来诉诸数学这套语言工具？或者让我们表达得再简洁一点：获得真理更加重要还是获得真理的过程？数学这门语言的出现，或者应该说是现代人对于数学这门语言的误解，使得人类尝试探知宇宙的努力本末倒置。

而更加致命的问题在于：无论数学这门语言的结构多么工整严谨，其基础却并非出自理性的推导。正如思想深邃的哥德尔揭示的那样：最基本的公理假设反倒不能够被证明。发明语言是一种感性的结果，因为人类需要借助于语言实现彼此沟通。故而无论一种语言在其成长过程中最终磨砺出了怎样的理性和严谨，她都拥有着非理性的血统。世间不存在纯粹的理性。维特根斯坦有句名言：

我们所谓的理性基础其实并不比画中之石作为画中之塔的基础更加可靠。

理性在一位真正懂得何为理性的理性人眼中，就和灵魂以及上帝在科学家眼中一样，俨然都是已经“死去”的事物。不过，理性人和科学家有着本质的不同：他们愿意继续探索真理，因而能够接受最新奇的可能。既然理性本身已经变得不再可靠，人类也仅剩下求助直觉和祖先。而我们的祖先亦确实拥有超凡直觉。

【注释】

[1]本节引自哈佛大学教授Owen Gingerich在美国非营利性组织“真理论坛”（Veritas Forum）第一届年会上的演讲稿More Than Machines。原文收录于Finding God at Harvard系列丛书。翻译整理过程中并未进行删节。