在我迄今专论空间的文章中，我尤为强调非欧几何学所引起的问题，而把其他比较难以研究的问题，例如有关维数的问题，几乎完全撇在一边。我考虑的所有几何学皆以三维连续统为公共基础，而三维连续统对所有几何学都相同，仅因人们在其中所画图形或当人们想要度量它时，它本身才有所分化。
在这个本来是无定形的连续统中，我们可以设想线和面的网络，然后我们可以一致认为，这个网的网格彼此相等，只有在这一约定之后，这个变得可度量的连续统才变为欧几里得空间或非欧空间。因此，两种空间中的这个或那个能够中立地从这一无定形的连续统中产生出来，犹如在一张空白纸上可以中立地画直线或圆一样。
我们知道，在空间中有内角之和等于两直角的直线三角形；但是，我们同样也知道有内角之和小于两直角的曲线三角形。一种的存在并不比另一种的存在可疑。若称前者之边为直线，则采用的是欧几里得几何学；若称后者之边为直线，则采用的是非欧几何学。这样一来，询问采用什么几何学合适就是询问把什么线称为直线合适吗？
很明显，实验不能解决这样的问题；例如，人们不应当询问，实验决定我该称AB为直线，还是该称CD为直线。另一方面，我也不能说，我没有权利把直线的名称给予非欧三角形之边，因为它们与我们直觉到的直线的永恒观念不一致。当然，我姑且承认，我有欧几里得三角形之边的直觉观念，可是我同样有非欧三角形之边的直觉观念。为什么我有权利把直线的名称用于第一种观念，而不用于第二种观念呢？这个片言在何处形成这个直觉观念的组成部分呢？显然，当我们说欧几里得直线是真实直线而非欧直线不是真实直线时，我们只不过意味着，与第二种直觉观念相比，第一种直觉观念对应于更为值得注意的对象。但是，我们怎样决定这个对象是更为值得注意的呢？我在《科学与假设》中已研究过这个问题。
在这里，我们看到经验介入了。如果欧几里得直线比非欧直线更为值得注意，这主要是因为它与某些值得注意的自然对象相差无几，而非欧直线却与这些对象大相径庭。但是，可以说，非欧直线的定义是人为的；如果我们暂且采用它，我们将看到，两个不同半径的圆获得了非欧直线的名称，而两个相同半径的圆，一个能够在另一个不能满足它的情况下满足该定义；如果此时我们把这些所谓的直线之一不变形地加以移动，它将不再是直线。但是，我们凭什么权利把这两个图形——欧几里得几何学把它们称为具有同一半径的两个圆——看做是相等的呢？这正是因为，通过把它们中的一个不变形地移动，我们能够使它与另一个重合。为什么我们说这一移动要在不变形的情况下实现呢？要给它一个健全的理由是不可能的。在所有可想象的运动中，有一些运动欧几里得几何学家说它们不伴随变形；而另一些运动非欧几何学家却会说它们不伴随变形。在第一种运动中，即在所谓的欧几里得运动中，欧几里得直线依然是欧几里得直线，而非欧直线并非保持非欧直线；在第二种运动中，或者说在非欧运动中，非欧直线依然是非欧直线，而欧几里得直线并非保持欧几里得直线。因此，无法证明，把直线称为非欧三角形之边是没有根据的；不过可以指出，如果人们继续把欧几里得运动称为没有变形的运动，那是毫无道理的；但是，同时还可以表明，如果非欧运动被称之为无变形的运动，那么把直线称为欧几里得三角形之边同样是毫无道理的。
现在，当我们说欧几里得运动是无形变的真实运动时，我们想说什么呢？我们只是说它们比其他运动更为值得注意。为什么它们更为值得注意呢？这正是因为某些值得注意的天然物体即固体经历几乎类似的运动。
人们能够想象非欧空间吗？当我们接着问这个问题时，这就是意味着，我们能够想象这样一个世界——在这个世界上，值得注意的自然对象几乎倾向于非欧直线的形状，值得注意的天然物体频繁地经历几乎类似于非欧运动的运动——吗？我在《科学与假设》中已经表明，对这个问题必须做肯定的回答。
人们往往注意到，假如宇宙中的所有物体同时以同一比例膨胀，我们便无法觉察这一事实，因为我们的所有测量仪器像被量度的对象本身一样同时增大。在膨胀之后，这个世界按照它的进程继续运行，如此非同寻常的事件我们居然一无所知。换句话说，两个相互类似的（该词类似于欧几里得几何学第VI编的意义）世界将绝对不可区分。但是，事情不止于此；不仅在世界相等或类似的条件下，即在我们通过改变坐标系或改变与长度有关的标尺从一个世界到达另一个世界的条件下，世界是不可区分的；而且在通过任何“点变换”从一个世界到另一个世界的条件下，它们还将是不可区分的。我想说明一下我的意思。我假定，一个世界的一点且是唯一的点与另一个世界的每个点对应，反之亦然；此外，一点的坐标是对应点的连续函数，在其他方面完全是任意的。我还假定，在第二个世界中，恰恰处于对应点的具有同一本性的对象对应于第一个世界的每个对象。我最后假定，在初始时刻满足的这个对应关系被无限期地保持下去。我们便无法把这两个世界彼此区分开来。空间的相对性通常没有在如此广泛的意义上理解；无论如何，这样理解它是正当的。
如果这些宇宙之一是我们的欧几里得世界，它的居民习惯称谓的直线将是我们的欧几里得直线；但是，第二个世界的居民习惯称谓的直线却是曲线，这种曲线相对于他们所居住的世界和他们习惯称谓无形变运动为运动来说，具有相同的特性。因此，他们的几何学将是欧几里得几何学，而他们的直线并非我们的欧几里得直线。所谓从我们的世界转移到他们的世界的点变换，就是它的变换。这些人的直线将不是我们的直线，但是它们彼此之间的关系与我们的直线相互之间的关系相同。正是在这个意义上，我说他们的几何学将是我们的几何学。于是，如果我想最后宣布，他们欺骗他们自己，他们的直线不是真实直线，如果我们还不愿意承认这样的主张毫无意义的话，那么我们至少必须坦白，这些人没有任何方法辨认他们的错误。
所有这一切相对说来都易于理解，我已经多次重复了，我想不需要进一步详述这个问题了。欧几里得空间不是强加于我们感觉的形式，由于我们能够想象非欧空间；但是，两种空间——欧几里得空间和非欧空间——均以我在开始提到的无定形连续统作为共同的基础。从这种连续统出发，我们或者能得到欧几里得空间，或者能得到罗巴契夫斯基（Lobachevsky）空间，犹如我们在未标度的温度计上刻画适当的刻度，把它做成华氏（Fahrenheit）温度计或列氏（Réaumur）温度计一样。
于是，又出现了一个问题：这种无定形的连续统——我们的分析容许它幸存——是强加于我们感觉的形式吗？倘若如此，我们应该扩大拘禁我们感觉的监牢，但是它总是一个监牢。
这种连续统具有被免除所有测量观念的若干特性。研究这些特性是科学的对象，许多大几何学家，尤其是黎曼和贝蒂（Betti）培植了它，它得到了拓扑学的名称。在这门科学中，抽象是由每一个定量观念组成的，例如，如果我们断言，在一条线上，点B在点A和点C之间，我们将满足这一断言，至于线ABC是直线还是曲线，抑或长度AB等于长度BC还是它的两倍大，不必费心去了解。
因此，拓扑学的定理具有这种特色，即使图形由不熟练的制图员描画，他严重地改变了所有的比例，他把直线画得弯弯曲曲，但是定理依然为真。用数学术语来讲，没有用任何“点变换”来改变它们。人们往往说，度量几何学是定量几何学，而射影几何学则是纯粹定性的。这不完全为真。直线还是能用在一些方面依然具有定量的特性与其他线区别开来。因此，真正的定性几何学是拓扑学。
关于欧几里得几何学真理所提出的同一问题，在拓扑学的定理中被重新提了出来。它们能够通过演绎推理得到吗？它们隐蔽了约定吗？它们是实验的真实性吗？它们是或者强加于我们感性、或者强加于我们知性的形式的特征吗？
我只希望注意，最后两个解答是互不相容的。我们不能同时承认，设想四维空间是不可能的和经验向我们证明空间有三维。实验家向自然提出一个问题：它是这个还是那个？在没有设想二者择一的两个措词的情况下，他无法表述它。如果无法设想这些措词之一，那么诉诸经验既无用，也不可能。无须观察就可以知道，时钟的指针在表面没有指示15时，因为我们预先知道只有12时，我们也无须查看指针是否在15的刻度处，因为根本就没有这个刻度。
同样也要注意，在拓扑学中，经验论者摆脱了能够把他们难倒的一个最严重的反对理由，摆脱了使他们把自己的论点用于欧几里得几何学真实性的全部努力事先绝对落空的困境。欧几里得几何学的真实性是严格的，而实验仅仅是近似的。在拓扑学中，近似的实验足以给出严格的定理；例如，如果人们看到空间既不能有两维，也不能小于两维，或者既不能有四维，也不能大于四维，那么我们可以肯定，它严格地有三维，由于它不会有两维半或三维半。
在拓扑学的所有定理中，最重要的是在谈到空间有三维时所阐述的定理。这就是我正准备考虑的东西，我想用这句话提出问题：当我们说空间有三维时，我们意味着什么呢？
我在《科学与假设》中已说明过，我们从何处推导出物理连续统的概念，数学连续统的概念怎样由它产生。正巧，我们能够相互区分两种印象，而无法把每一个与第三个区分开来。例如，我们能够毫无困难地把12克的重物与10克的重物区别开来，而11克的重物既不能与12克的重物区别开来，也不能与10克的重物区别开来。把这样一个陈述翻译成符号，则可以写为：
A＝B, B＝C, A＜C.
这就是物理连续统的公式，虽然粗糙的经验把它给予我们，但是由此却产生了无法容忍的矛盾，只有引入数学连续统方能消除这个矛盾。这就是其步骤（有公度数和无公度数）在数目上是无限的但却互为外部的尺度，这些步骤不像与前述公式一致的物理连续统的元素那样互相侵犯。
可以说，物理连续统犹如无法分辨的星云；最完善的仪器也不能成功地分辨它。毫无疑问，如果我们不用手判断重量，而用可靠的天平来称量重量，那么我们便能把11克的重物与10克的重物和12克的重物区别开来，我们的公式变成：
A＜B，B＜C，A＜C.
但是，我们总可以在A和B之间、B和C之间找到新元素D和E，这样一来
A＝D, D＝B, A＜B; B＝E, E＝C, B＜C,
困难只不过向后退去，星云依然无法分辨；唯有心智才能够分辨它，正是作为精神产物的数学连续统把星云分解为恒星。
不过，到这时我们还没有引入维数的概念。当我们说数学连续统或物理连续统有两维或三维时，这意味着什么呢？
要研究物理连续统，我们首先必须引入截量的概念。我们已经看到，物理连续统的特征是什么。这个连续统的每一个元素都由印象流形组成；可以发生下面两种情况：或者，一个元素不能与同一连续统的另一个元素区分开来，倘若这个新元素对应于差别不大的印象流形；或者相反地，区分是可能的；最后，两个元素与第三个不可区分，不过它们却可以相互区分，这种情况也可能发生。
设A和B是连续统C的两个可区分的元素，可以找到都属于同一个连续统C的元素系列E1，E2，……En，于是它们中的每一个与先前的都不可区分，E1与A不可区分，En与B不可区分。因此，我们可以沿着一条连续的路线从A走到B，而且不离开C。如果这个条件对连续统C的任何两个元素A和B都满足，我们就可以说，这个连续统C是完全连在一起的。现在，让我们区分C的某些元素，这些元素或者都可以相互区分，或者它们本身形成一个或几个连续统。在C的所有元素中，这样任意选择的元素的集合物将形成我所谓的一个或多个截量。
在C中取任何两个元素A和B。我们或者能找到这样的元素系列E1，E2，……En；以至于（1）它们都属于C；（2）它们的每一个都与接着的元素不可区分，E1与A不可区分，En与B不可区分；（3）此外，没有一个元素E与截量的任何元素不可区分。或者相反，在满足头两个条件的每一个系列E1，E2，……En中，将存在元素E，它与该截量的元素之一不可区分。在第一种情况下，我们能够通过一条连续的路线从A走到B，同时不离开C，也不遇到截量；在第二种情况下则不可能。
对于连续统C的任何两个元素A和B而言，如果这时总是呈现出第一种情况，我们将说，尽管有截量，C依然是完全连在一起的。
例如，倘若我们按某一方式选择截量，而在其他方面则是任意的，那么连续统或者依然是完全连在一起的，或者它不再完全连在一起；在后一假设中，我们将说它被截量分割。
要注意，所有这些定义在提出时是唯一地从这个十分简单的事实中构造出来的，两个印象流形有时能够区分，有时不能够区分。假定要分割一个连续统，如果足以把相互都不可区分的若干元素视为截量，我们就说这个连续统是一维的；相反地，要分割一个连续统，如果必须把形成一个或多个连续统的元素本身的系统视为截量，我们就说这个连续统是多维的。
要分割一个连续统C，如果形成一个或多个一维连续统的截量就足够了，我们便说C是二维连续统；如果形成一个或多个至多是二维连续统的截量就足够了，我们便说C是三维连续统；如此等等。
为了证明这个定义是正当的，最好审查一下几何学家是否在他们工作的开始用这种方法引入三维概念。现在，我们看到什么呢？通常，他们是这样开始的：把面定义为立体或空间的部分的边界，把线定义为面的边界，把点定义为线的边界，而且他们坚决主张，同一程序不能够进一步推下去。
这正好是上面给出的观念：为了分割空间，需要称之为面的截量；为了分割面，需要称之为线的截量；为了分割线，需要称之为点的截量；我们不能进一步走下去，点不能被分割，所以点不是连续统。于是，能够被不是连续统的截量分割的线将是一维连续统；能够被一维的连续截量分割的面将是二维连续统；最后，能够被二维连续截量分割的空间是三维连续统。
这样看来，我刚才所下的定义与通常的定义基本上没有差别；我只不过是给它一种不适用于数学连续统的形式，而给它以适用于物理连续统的形式，只有物理连续统的形式易被表象，并且还保持它的全部精确性。此外，我们看到，这个定义不仅仅适用于空间；在处于我们感官下的一切事物中，我们都发现物理连续统的特征，这便容许相同的分类；在前述定义的意义上，很容易找到四维、五维连续统的例子；这样的例子是心智自然而然地想到的。
最后，如果我有时间的话，我应该说明一下，我上面谈到的、黎曼称之为拓扑学的这门科学教导我们在同一维数的连续统之间进行区分，这些连续统的分类也建立在截量考虑的基础上。
从这一概念产生出多维数学连续统的概念，其方法与一维物理连续统产生一维数学连续统的方法相同。公式
A＞C, A＝B, B＝C
概括了粗糙经验的材料，它隐含着无法容忍的矛盾。为了摆脱这个矛盾，有必要引入新概念，但是依然保留多维物理连续统的基本特征。容许其分割在数目上是无限尺度的一维数学连续统，对应于同样大小的有公度的或无公度的值。要得到n维数学连续统，只要取n个相同的尺度，使其分割对应于称之为坐标的n个独立的量的不同值就足够了。从而，我们将有n维物理连续统的图像，在做出不允许我上面讲过的矛盾这一决定之后，这个图像将像它事实上能够的那样可信。
现在，情况似乎是，我们在开始向我们提出的问题得到了解答。当我们说空间有三维时，这就是说，我们意指空间的点的流形满足我们刚才给予的三维物理连续统的定义。只有设想我们知道什么是空间的点的流形，甚或什么是空间的一个点时，我们才会心满意足。
目前，事情并非像人们设想的那样简单。每一个人都自信他知道点是什么，正因为我们对它了解得过于彻底，我们才认为不需要定义它。的确，我们不能要求知道如何定义点，因为在从定义追溯定义中，我们必须停顿下来的时刻必将到来。但是，我们何时应该止步呢？
首先，当我们达到处于我们感官之下的对象或能够想象出这个对象时，我们将停步不前；于是定义将变得毫无用处；我们没有给小孩定义羊；我们对他说：看这只羊。
然后我们应该问问自己，是否可以这样来想象空间的点。那些回答是的人没有考虑，他们实际上想象的是用粉笔在黑板上所画的白点或用钢笔在白纸上所画的黑点，他们只能想象对象，或者确切地讲，只能想象这个对象在他们的感官上造成的印象。
当他们企图想象点时，他们想象的是十分微小的对象使他们感觉到的印象。不需要进而说两个不同的对象——尽管二者很小——可以产生迥然不同的印象，但是我不愿详细讲述这个困难，这还需要做一些讨论。
但是，它还不是那个问题；描述一个点并不充分，必须描述一个确定的点，并且有办法把它与其他点区别开来。事实上，我们可以把我上面陈述的法则用于连续统，人们借助这些法则能够分辨出连续统的维数，我们必须依赖这个连续统的两个元素有时能区分开、有时不能区分开的事实。因此，在某些情况下，我们有必要了解如何想象一个特定的元素，如何把它与其他元素区分开来。
问题在于了解，我一小时前想象的点与我现在想象的这个点是相同的点，或者它是不相同的点。换句话说，我们如何知道，物体A在时刻α所占据的点是否与物体B在时刻β所占据的点是同一点，或者更明确地讲，这意味着什么？
我坐在我的房间里；一个物体放在我的桌子上；在一秒钟内，我没有动，也没人接触该物体。我被诱使说，这个物体在这一秒之初所占据的点A与它在这一秒之末所占的点B相同。根本不是这样；从A点到B点是30千米，因为该物体被携带着和地球一起运动。我们无法知道，一个不管是大是小的物体是否不改变它在空间中的绝对位置，我们不仅不能断言它，而且这一断言毫无意义，在任何情况下都不能与任何表象对应起来。
但是，我们可以接着问我们自己，一个物体对于另一个物体的相对位置是否变化了，而且首先要问这个物体对于我们身体的相对位置是否变化了。如果这个物体给我们造成的印象没有变化，我们将倾向于断定，二者都未改变这个相对位置；如果印象变化了，我们将断定，这个物体或者状态变化了，或者相对位置变化了。依然要确定两个中的哪一个变化了。我在《科学与假设》中已说明过，我们怎样被引导去区分位置变化。而且，我想进一步回到这个问题上。因此，我们终于了解到，物体对于我们身体的相对位置是否依然相同。
如果我们现在看到，两个物体相对于我们的身体保持它们的相对位置，那么我们就得出结论说，这两个物体彼此之间的相对位置没有变化；但是，我们仅仅是依据间接的推理达到这个结论的。我们直接知道的只不过是物体相对于我们身体的相对位置。更加毋庸置疑的是，仅仅依据间接的推理，我们认为我们知道（而且，这种自信是虚妄的）物体的绝对位置是否变化了。
简而言之，我们自然而然地使所有外部物体参照的坐标系是与我们的身体恒定地密切结合的坐标系，它随着我们一起移动。
不可能想象绝对空间；当我力图想象物体和我自己同时在绝对空间运动时，我实际上想象我自身不动，似乎各种物体和在我之外、名曰我的人绕着我运动。
如果我们使每一种事物都参照与我们身体密切结合的坐标轴，困难会得到解决吗？而且，我们能知道用事物相对于我们自己的相对位置来定义的点是什么吗？许多人将回答能，并且说坐标轴“定域”外部对象。
这意味着什么呢？定域对象仅仅意味着想象必须接近它的动作。我愿说明我的意思。这不是描述在空间中动作本身的问题，而仅仅是想象伴随这些动作的、不以空间概念的预先存在为先决条件的肌肉感觉。
假如我们设想，两个不同的对象相对于我们自己相继占据同一相对位置，这两个对象给我们造成的印象将迥然不同；如果我们把它们定域在同一点，这只不过是因为，必须做出相同的动作才能达到它们；除此之外，人们不能直接看到它们会有共同之处。
但是，在给定一个对象后，我们能够设想同样使我们到达它的许多不同的动作系列。此时，如果我们通过想象使我们达到这一点的动作所伴随的肌肉感觉系列来想象一个点，那么将存在想象同一点的许多完全不同的方式。倘若人们不满意这个解决办法，例如希望除肌肉感觉而外，再引入视觉，这便多了一两个想象这同一点的方式，只不过增大了困难而已。在任何情况下，都要提出下述问题：我们为什么认为，如此相互不同的表示还能描述同一点？
另外尚需注意，我刚才说过，我们自然而然地使外部对象参照于我们自己的身体；我们携带着作为空间所有点的参照物的坐标系处处与我们一起移动，这个坐标系好像与我们的身体恒定地联系在一起。我们应该注意，严格地讲，我们不能说与我们的身体恒定地结合的坐标系，除非我们身体各个部分本身相互之间恒定地结合。由于情况并非如此，所以在把这些虚构的坐标系作为外部对象的参照物之前，我们应当假定我们身体恢复到原来的姿势。
在《科学与假设》中，我已经表明，我们身体的动作在空间概念的起源中起了举足轻重的作用。对于完全不能动的生物而言，既不会有空间，也不会有几何学；外部对象在它周围徒然地移动着，这些位移在他的印象中所引起的变化不会被这种生物归咎于位置的变化，而只会归咎于状态的变化；这种生物无法把这两种变化区别开来，这种区别对我们来说是根本的，而对它则没有意义。
我们迫使我们身体器官所做的动作作为一种作用，招致外部对象在我们感官上产生的印象发生变化；其他原因同样可以使印象变化；但是，我们被引导区分我们自己的运动所产生的变化，我们由于两个理由容易分辨它们：（1）因为它们是随意的；（2）因为它们被肌肉感觉所伴随。
这样看来，我们自然而然地把我们的印象可能经受的变化分为两个范畴，我也许给它们取的是不恰当的名称：（1）内部变化，这种变化是随意的，被肌肉感觉所伴随；（2）外部变化，它具有相反的特征。
于是我们看到，在外部变化中，有一些能够被矫正，因为内部变化使一切恢复到原来的状态；另一些则不能用这种方式矫正（情况是这样：当外部对象被移动时，这时我们可以通过改变我们自己的位置，相对于这个对象恢复到与以前相同的相对位置，以便建立原先的印象集合；如果这个对象没有被移动，但是它的状态变化了，那是不可能的）。由此在外部变化中出现了新的区分：能够被这样矫正的外部变化，我们称之为位置变化；其余的称之为状态变化。
例如，设想一个一半为蓝、另一半为红的球；首先，它的蓝半球呈现在我们面前，接着这样旋转，使它的红半球呈现在我们面前。现在，设想一个盛蓝色液体的球形瓶，它由于化学作用而变成红色。在两种情况下，红色的感觉代替了蓝色的感觉；我们的感官经历了相同的印象，这些印象按同一顺序相互发生，可是我们却认为这两个变化大相径庭；第一个是位移变化，第二个是状态变化。为什么呢？因为在第一种情况下，对我来说，只要转动球，就足以使蓝半球对着我，重建原来的蓝色感觉。
还有更多的东西；如果两半球不是红色和蓝色，而是黄色和绿色，我们应当怎样解释球的翻转呢？刚才，红色接着蓝色发生，现在是绿色接着黄色发生；然而，我却说两个球经受了相同的翻转，每一个都绕着它的轴转动；可是我不能说，绿和黄的关系与红和蓝的关系是一样的；那么，我是怎样被导致判定两个球经历了相同的位移呢？显然因为，在一种情况像在另一种情况一样，我都能通过转动球做同样的动作，重建原来的感觉，而且我知道，我做了相同的动作，因为我感知到相同的肌肉感觉；因此，要了解它，我不需要预先知道几何学，不需要想象我的身体在几何学空间中的动作。
另一个例子是：一个对象在我眼前移动；它的图像开始在视网膜的中央形成；接着在视网膜的边缘形成；过去的感觉通过终止于视网膜中央的一个神经纤维传达给我；新出现的感觉通过起始于视网膜边缘的另一个神经纤维传达给我；这两个感觉在质上不同；要不然，我怎么能够区分它们呢？
再者，我为什么被导致决定这两个质上不同的感觉表示被移动的同一图像呢？这是因为我能够用眼睛追踪对象，通过眼睛随意的、被肌肉感觉所伴随的位移，使图像恢复到视网膜中央，重建原来的感觉。
我假定，红色对象的图像从视网膜的中央A移到边缘B，接着蓝色对象的图像循序从视网膜的中央A移到边缘B，我应该决定，这两个对象经历了相同的位移。为什么呢？因为在两种情况下，我能够建立原来的感觉，为了做到这一点，我不得不使眼睛实施相同的动作，我之所以知道我的眼睛实施了相同的动作，是因为我感知到相同的肌肉感觉。
假使我的眼睛不会运动，我会有什么理由假定，视网膜中央的红色感觉和视网边缘的红色感觉的关系与视网膜中央的蓝色感觉和视网膜边缘的蓝色感觉的关系相同呢？我只不过有四个质的不同的感觉而已；如果要问我，它们是否按我刚才陈述的比例关联在一起，这个问题在我看来似乎是滑稽可笑的，犹如有人问我，在听觉、触觉和嗅觉之间是否存在着类似的比例。
现在，让我们考虑一下内部变化，即由我们身体的随意动作产生的、被肌肉感觉所伴随的变化。它们导致了以下这两个观察，这两个观察类似于我们刚刚针对外部变化的对象所做的观察。
1．我可以假定，我的身体从一点运动到另一点，但却保持着相同的姿势；因此，我身体的各部分保持或恢复了同一相对位置，尽管它们在空间中的绝对位置可以改变。我可以假定，不仅我身体的位置变化了，而且身体的姿势也不再相同，例如我的臂膀先前弯曲而现在伸直了。
因此，我应该区分姿势不变的简单位置变化和姿势变化。在我看来，二者都属于肌肉感觉形式。那么，我怎样被引导区分它们呢？正是前者，可以用来矫正外部变化，而后者却不能，或者至少只能给出不完善的矫正。
我着手说明这一事实，正像我向已经通晓几何学的人说明它一样，但是不要由此得出结论说，要做出这一区分必须已经通晓几何学；在通晓几何学之前，我虽则未能说明该事实，但是（可以说在实验上）却确定了它。不过，只是为了在两类变化之间做出区分，我不需要说明该事实，确定它就使我心满意足了。
无论情况如何，说明是容易的。假定外部对象被移动；如果我们希望我们身体的不同部分相对于这个对象恢复到它们初始的相对位置的话，那么这些不同部分彼此之间必须同样地恢复它们的初始相对位置。只有满足这后一个条件的内在变化才能够矫正由那个对象位移产生的外部变化。因此，如果我的眼睛相对于我的手指的相对位置变化了，那么我还能使眼睛相对于该对象移到它的初始相对位置，并如此重建原来的视觉，但此时手指相对于该对象的相对位置将发生变化，触觉将无法重建起来。
2．我们同样确定，相同的外部变化可以被相应于不同肌肉感觉的两个内部变化矫正。在这里，我能够在未通晓几何学的情况下再次确定这一点；我不需要其他任何东西；但是我使用几何学语言着手对该事实做出说明。为了从位置A到位置B，我可以采取几条路线。肌肉感觉系列S将对应于第一条路线；另一个肌肉感觉系列S″——一般说来是完全不同的，因为使用的是其他肌肉——将对应于第二路线。
我怎样被导致认为这两个系列S和S″对应于同一位移AB呢？正是因为这两个系列能够矫正同一外部变化。此外，它们毫无共同之处。
让我们现在考虑两个外部变化：α和β，例如，它们将是半蓝半红的球的转动和半黄半绿的球的转动；这两个变化没有共同之处，因为在我们看来，一个从蓝色变为红色，另一个从黄色变为绿色。另一方面，考虑两个内部变化系列S和S″；像其他系列一样，它们将毫无共同之处。但是，我说α和β对应于相同的位移，S和S″也对应于相同的位移。为什么呢？仅仅是因为S能够矫正α以及β，α能够被S″以及S矫正。于是，提出了一个问题：如果我已确定S矫正α和β，S″矫正α，我同样可以肯定S″矫正β吗？唯有实验才能够告诉我们这个规律是否被证实。如果它未被证实，至少未被近似地证实，那么就不会有几何学，不会有空间，因为我们对内部变化和外部变化的分类不会有更多的兴趣——尽管我刚才已作过这种分类，而且对区分状态变化和位置变化也不会有更多的兴趣。
看看经验在这一切中起什么作用是饶有兴味的。经验向我表明，某一规律被近似地证实了。经验没有告诉我，空间是何种状态，它是否满足所述的条件。事实上，在所有经验之前，我就知道空间满足这个条件，或者不可能有空间；我也没有任何权利说，经验告诉我几何学是可能的；我十分清楚地看到，几何学是可能的，因为它没有隐含矛盾；经验仅仅告诉我们几何学是有用的。
正如我刚刚说明的，虽然动觉印象在空间概念的起源中总的来说具有举足轻重的影响，没有它们空间概念永远也不会产生，但是再审查一下视觉印象的作用，研究一下“视觉空间”有多少维，并不是索然无味的，为此目的，让我们把第3节的定义用于这些印象。
第一个困难出现在眼前：考虑刺激视网膜某一点的红颜色的感觉；另一方面，考虑刺激视网膜同一点的蓝颜色的感觉。我们必须有某种办法来分辨这两个在质上不同的、有某些共同之处的感觉。现在，根据前节所陈述的想法，我们只有通过眼睛的移动和这些移动所引起的观察结果来分辨。假使眼睛不可动，或者我们对它的移动毫无意识，我们便不能分辨这两个不同质的、有某些共同之处的感觉；我们便不能分解它们，给它们赋予几何学的特征。没有肌肉感觉，视觉就不会有几何学的特征，以至于可以说，没有纯粹的视觉空间。
为了消除这个困难，只考虑同一本性的感觉，例如红色感觉，这些感觉仅就它们刺激视网膜的点而言与另外的感觉不同。很清楚，为了把所有同样颜色的感觉统一在同一类，我没有理由在所有可能的视觉中做出这种任意的选择，而不管受刺激的视网膜上的点可能是什么。倘若以前我没有学会用我刚才看到的方法区分状态变化和位置变化，也就是说，假如我的眼睛不可动，那么我永远也不会想到它。在我看来，刺激视网膜不同部位的同样颜色的两个感觉似乎在质上是截然不同的，正如两个不同颜色的感觉一样。
在把我局限于红色感觉时，我从而把人为的限制因素强加于我，我有意地忽略了该问题的整个一面；但是，只是通过这种技巧，我才能够分析视觉空间，而不与任何动觉相混。
设想在视网膜上画一条线，把它的表面一分为二；留出刺激这条线上的点的红色感觉或与它们不同、但由于太小以致无法与它们区分的红色感觉。这些感觉的集合将形成一种类似于截量的东西，或称其为C；很清楚，这个截量足以把可能的红色感觉的流形分割开来，如果我取刺激分别位于该线一边和另一边的两个点的两个红色感觉，若在某一时刻不通过属于该截量的感觉，我便不能沿连续的途径从这些感觉的一个转移到另一个。
因此，如果截量有n维，我的红色感觉的总流形——或者你乐意的话，也可说整个视觉空间——将有n＋1维。
现在，我把刺激截量C上的点的红色感觉区分开来。这些感觉的集合将形成新截量C′。很清楚，在始终给分割这个词以相同意义的情况下，这将分割截量C。
因此，如果截量C′有n维，那么截量C将有n＋1维，而整个视觉空间将有n＋2维。
如果刺激视网膜同一点的红色感觉被认为是等价的，那么化为单一元素的截量C′便有0维，而视觉空间便有二维。
然而，人们往往说，眼睛给我们以第三维的感觉，使我们在某种程度上辨认对象的距离。当我们试图分析这一感觉时，我们确定，它或者归因于眼睛会聚的意识，或者归因于睫肌使图像聚焦的努力调节的意识。
因此，刺激视网膜同一点的两个红色感觉将被认为是恒等的，只要它们被相同的会聚感觉所伴随，而且也要被相同的努力调节的感觉所伴随，或者至少要被具有如此微不足道的差别的会聚和调节感觉所伴随，以至于这些感觉无法区分开来。
为此缘故，截量C′本身是连续统，截量C大于一维。
但是，很凑巧，经验告诉我们，当两个视觉被同一会聚感觉伴随时，那么它们同样也被同一调节感觉所伴随。于是，如果我们用被某一会聚感觉伴随的截量C′的所有感觉形成新截量C″，那么按照前述的规律，它们将完全是不可区分的，而且可以被认为是等价的。因此，C″将不是连续统，且有0维；因为C″分割C′，所以它将导致C′有一维，C有二维，而整个视觉空间有三维。
但是，如果经验告诉我们相反的情况，如果某一会聚感觉并非总是被相同的调节感觉所伴随，事情还会一样吗？在这种情况下，两个刺激网膜同一点并被同一会聚感觉所伴随的感觉，两个因此而属于截量C″的感觉，无论如何都能够被区分开来，因为它们被两个不同的调节感觉所伴随。因此，C″本身也是连续统，而且（至少）会有一维；于是C′应该有两维，C应该有三维，而整个视觉空间应该有四维。
由于我们最终把三维赋予空间是从实验定律提出来的，人们于是可以说，正是经验告诉我们空间有三维吗？但是可以说，我们在那里完成的仅仅是生理学实验；还有，要使会聚感觉和调节感觉之间不一致，只要在眼睛上戴上合适构造的眼镜就足够了，我们能说戴上眼镜就足以使空间具有四维吗？制造眼镜的人给空间多加了一维吗？显然不能；我们所能说的一切就是，经验告诉我们，赋予空间以三维是方便的。
但是，视觉空间仅仅是空间的一部分，即使在这个空间的概念中，正如我在开始时说明的那样，也存在着某些人为的成分。真实的空间是动觉空间，这就是我在下一章将要考察的内容。
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