状态空间表达的基本概念

经典控制理论方法中的频率法和根轨迹法都以传递函数的形式来描述系统。但传递函数模型一般只适用于线性定常系统，是单输入单输出的输入输出模型，无法揭示系统内部信息，同时又忽略了初始条件的影响。与微分方程、传递函数、系统方块图等一样，状态空间表达也是系统模型的一种数学表达。状态空间法在输入与输出之间引申出了反映系统内部状况的状态，通过研究输入对系统状态的作用、系统状态对输出的影响来研究整个系统的特性。

1）状态变量

状态变量指用一组变量表达系统过去、现在、将来的状况，以状态变量为分量组成的向量称为状态向量。

一个系统的状态变量个数是唯一的，即指足以完全表征系统运动的最小个数或完整确定地描述系统时域行为的最小个数。一个n阶系统选择n个独立的状态变量，若给定t＝t0状态变量初值以及t≥t0时输入的时间函数，则系统在t≥t0的任何瞬时系统行为完全确定。

同一系统的状态变量的选择并不唯一。例如对图8-1所示的RCL电路可以选择i、uc为状态变量，也可以选择q（q（t）＝∫idt）、i作为状态变量。

图8-1 RCL电路

如果选择i、uc为状态变量，得电路的基本微分方程为

写成矩阵向量方程有

如果选择q、i作为状态变量则分别有微分方程和矩阵向量方程

同一系统可选用不同的状态变量建立从不同角度进行动态描述的数学模型。状态空间法中状态变量可以自由选择，并不限定于物理上可测量的或可观察的量。但通常尽量选择系统中各点的流量、压力、位移、速度、电流、电压等这些容易测量的量以及它们的导数作为状态变量。

2）状态空间及状态空间表达式

如x1（t），x2（t），…，xn（t）是系统的一组状态变量，则状态向量为

从而n维（正交）空间即为状态空间。任意状态可用状态空间的一个点来表示。

状态空间表达式用于对系统动态的完整描述，故又称动态方程，包括状态方程和输出方程两部分。线性定常系统的状态空间表达式的一般形式为

（t）＝Ax（t）＋Bu（t） 　（8-1）

y（t）＝Cx（t）＋Du（t） 　（8-2）

式中：x（t）为状态向量，n×1列向量，表示n个状态变量；u（t）为输入向量，r×1列向量，表示r个输入量；y（t）为输出向量，m×1列向量，表示m个输出量；A为系统矩阵，n×n矩阵；B为输入系数矩阵，n×r矩阵；C为输出系数矩阵，m×n矩阵；D为直接转移矩阵，m×r矩阵，但通常D＝0。

式（8-1）是状态方程，描述系统的状态向量x（t）与系统输入向量u（t）之间的一阶微分方程组，即输入引起状态变化。

式（8-2）是输出方程，在指定系统输出向量y（t）的情况下，输出向量y（t）与状态向量x（t）、系统输入向量u（t）之间的变换关系。

由上述定义知状态空间描述揭示了“输入引起状态变化、状态决定输出”。输入引起的状态变化是一个动态过程，采用向量微分方程即状态方程；状态决定输出是一个变换过程，采用代数变换方程，即输出方程。

由式（8-1）和式（8-2）的状态空间表达式，可画出系统状态方块图如图8-2所示。

图8-2 状态空间表达的系统状态方块图

［例8-01］ 绘制如图8-3（a）所示机械系统的状态空间描述和其状态图。

图8-3 机械系统及其状态方块图

［解］ 可建立此二阶系统的动力学方程

选择两个状态变量

运动方程

写成向量矩阵形式有

由状态方程和输出方程绘制的状态方块图如图8-3（b）所示。