利用模型决定有效边界的方法

利用模型决定有效边界的方法主要有两种，一是利用单指数模型决定有效边界，二是利用常值相关模型决定有效边界。用这两种方法决定有效边界的一般程序是，首先给各个证券确定某一给定指数，其次把证券按其指数值的大小排列，再次是求出有效边界指数值，最后将指数值大于有效边界指数值的证券包括在最优证券组合中，把指数值小于有效边界指数值的证券排除在最优证券组合之外。

（一）利用单指数模型决定有效边界

我们先引进超额收益率的概念。它是股票预期收益率和无风险利率（如国库券利率）的差。若用代表股票i的预期收益率，用RF代表无风险资产的收益率，则超额收益率就等于。而超额收益率对β的比率，是测度一种股票每单位不能分散的风险的附加收益率。为方便起见，我们设超额收益率对β的比率为给定指数Di，则给定指数的公式为：

在单指数模型中，βi表示市场收益率变动1%股票i收益率的预期变动。

决定哪些证券包含在最优证券组合中的规则为：

第一，把所有可选择证券的给定指数Di计算出来，然后按D值的大小从大到小排列。若某一Di值的证券包括在最优组合中，则D值较大者就包括在组合内；若某一Di值的证券不包括在最优组合内，则D值小于Di值就不包括在最优证券组合内。因此，一种证券是否包含在最佳证券组合之中，只取决于这种证券的D值的大小。

第二，究竟有多少种证券被选择，则必须寻找一个分界值C*，使得当Di＞C*时的证券包括在最优组合中，而Di＜C*时的证券不包括在最佳组合中。也就是说，最佳证券组合由Di大于C*的所有股票组成。C*是根据最佳证券组合中所有证券的特征计算出的。设Ci为C*的候选者。Ci值是在假设i种证券属于最佳证券组合的情况下算出的。Ci的计算公式为：

式中：为市场指数的方差；为股票变化与市场指数变化无关的方差，即股票的非系统风险。

计算出Ci值后，比较Di值和Ci值的大小，找出其中最大者即为C*。

现举例说明如下。设共有可选择的证券10种，具体数据如表7.17所示。

表7.17　确定最优证券组合所需的数据（RF＝5%）

表7.17是投资分析者通过排序决定最佳证券组合所必须掌握的数据。这些数据既可以从单指数模型中获得，也可以由分析者主观估计得到。表7.17中的第（6）栏Di值，已按Di值的大小从大到小排列。

表7.18中的10种证券，按Di值的大小从大到小排列。当所有用以计算Ci的证券的Di值都小于Ci，那么这个Ci就是表7.18中，C5＝5.45是唯一满足这个条件的Ci值。因为只有在这点，i＝1，2，3，4，5，证券的Di值大于Ci值，而i＝6，7，8，9，10，证券的Di值小于Ci值。从而得知最优证券组合包含编号为1，2，3，4，5的证券。

现利用表7.18的计算过程来演示决定Ci的具体步骤。表7.18中的第7种证券的Ci值是这样计算出来的。

当i＝1时，

当＝10，将上述值代入（7-42）式，可得：

第三，有效边界已经确定后，接下来分析一下Ci值的经济意义。经过一些代数运算后，Ci值公式可简化成：

式中，βip表示最优证券组合收益率变动1%导致证券i收益率变化的期望值，Rp表示最优证券组合的预期收益率。

如前所述，只要证券i的证券i就进入最佳证券组合。将其式代入（7-43）式，可得：

因此，假定投资者已经组成了最优证券组合，当市场上又出现了一种新证券时，则需考虑这种新证券是否值得投资，即是否应该加入到已构成的证券组合中。这时，投资者不必把所有的证券再加上这种新证券重新进行最优证券组合分析，而只需按上面的公式，比较一下新证券的是否大于已构成组合的值就可以决定是否投资。

第四，决定了哪几种证券包括在最优组合中之后，接着就要决定各种证券的投资比例。每种证券的投资比例可以写作：

其中：

由（7-44）式可知，包括在最优证券组合中的Di值比C*值大，故Zi＞0，即表示投资；而不包括在最优证券组合中的Zi值则小于零或等于零，表示不投资。事实上，投资者只需算出前几种包括在最优证券组合中的Zi值就可以了。具体计算如下：

这说明，投资者应将全部资金中的23.5%用于购买证券1。同样可求得：

X2＝24.6%

X3＝20%

X4＝28.4%

X5＝3.5%

需要指出的是，上面所述的是假设存在无限制的借款，但不允许卖空情况下的组合最优化。在允许卖空条件下，寻求最优证券组合和上述不允许卖空情况稍有不同，但基本思想及步骤仍然相同。

第一步：按的值从大到小排列。

第二步：计算C*值时，情况是不一样的。在允许卖空的情况下，所有的股票都将进入最优证券组合，所有的股票都会对分界点C*产生影响。虽然分界点C*的公式仍由（7-42）式表示，但公式的分子和分母却必须对所有的股票求和，而不是像以前那样只对部分股票求和了。其公式为：

这里，无需计算前（N－1）个Ci值，只需计算一个C*值就可以了，因为不用比较来决定C*值。

第三步：决定最优证券组合。

显然，Di大于C*值时，Zi＞0，表示第i证券处于真投资状况。Di小于C*值时，Zi＞0，表示第i证券处于卖空状况。若k证券的Dk和C*值相等，Zk＝0时，表示第k证券不在投资者的最优证券组合中。当Zi值确定后，再用下式确定xi值：

仍以表7.18的数字为例，此时：

然后再从公式：

中解出xi值。

（二）利用常值相关模型决定有效边界

常值相关系数模型的关键是假定ρij＝ρ，而具体的i、j值不相关，选择最优证券组合的程序和前面相类似。

第一步：计算给定指数并按其大小排列。

第二步：计算Ci值，其计算公式为：

式中的ρ为相关系数。上式适用于不允许卖空的情况，算出所有的Ci值后再定C*值，C*值的决定原则和单指数模型的情况一样。

第三步：计算Zi值。其计算公式为：

再求出：

对于允许卖空条件下的最优证券组合问题，只要根据上述步骤中第二步直接求出一个C*值：

其余步骤及计算公式均相同，但在对Xi的说明意义上有变化，Xi会出现负值，表示卖空。

举例来说，如表7.19所示，设不允许卖空，所有可供考虑的证券已按Di值的高低由大到小排列。在表7.20中，已列出了所有这些证券的Ci值。从表7.20中的第（4）栏和第（5）栏可看出，只有C3的值5.25小于证券1、2和3的D值，大于证券4到证券12的D值，因此，C*＝C3＝5.25。

表7.19　证券排序（RF＝5%）

表7.20　决定分界值C*的计算过程（ρ＝0.5）

续 表

由三种证券构成的最优证券组合为：

最终得：

若假定允许卖空，从表7.20中可知此时C*＝C12＝3.65，将C*＝3.65和栏比较，可知前6种证券在最优证券组合中将处于正投资状态，而后6种证券则为卖空状态，也即负投资状态，其计算过程不再赘述。