广义最小二乘法具体步骤

广义最小二乘法

一、广义最小二乘法(GLS)概述

如果模型

Y=Xβ+μ(4-18)

同时出现序列相关性和异方差性，即

其中，Ω为一对称正定矩阵，因此，存在一可逆矩阵D，使得Ω=DD'，用D^－1同乘原模型(4-18)式两边，得到新模型:

D^－1Y=D^－1Xβ+D^－1μ

即

Y^*=X^*β+μ^* (4-19)

可以证明，模型(4-19)随机误差项μ^*服从基本假设，即E［μ^*(μ^*)'］=

σ²I。原模型(4-18)同时消除了序列相关性和异方差性。

一般来说，只要已知模型随机误差项的方差—协方差矩阵σ²Ω，就可以采用广义最小二乘法得到模型参数的最佳线性无偏估计量，特别是当模型随机误差项之间存在一阶序列相关时，往往采用广义最小二乘法对模型进行修正。我们将以例4-2来具体说明EViews下广义最小二乘法的操作步骤。

二、实例操作

例4-2表4-2是以1990年不变价格测算的中国人均国内生产总值(GDPP)与以居民消费价格指数缩减的人均居民消费支出(COMP)，建立二者关系模型如下:

COMP=β₀+β₁GDPP+μ　　　　　　　(4-20)

表4-2　中国人均居民消费与人均GDP

续表

(数据来源:中国国家统计局《2001中国统计年鉴》．北京:中国统计出版社，2001．)

1．模型检验

采用普通最小二乘法估计模型，得到回归结果如图4-22所示。

根据DW值，可以判断，模型存在序列相关性。

保留估计结果残差，用残差e近似替代随机干扰项，并构造模型

e_t=ρe_t－1+ε_t (4-21)

以及模型

e_t=ρ₁e_t－1+ρ₂e_t－2+μ_t (4-22)

用以判断模型随机误差项服从几阶序列相关性。

图4-22

分别对式(4-21)和式(4-22)进行最小二乘估计，得到估计结果，如图4-23和图4-24所示。

图4-23

图4-24

从图4-24的回归结果可以看出，模型(4-22)中e_t－2的系数是显著为0的，即e_t－2对e_t没有显著影响;而e_t－1前系数是显著异于0的，因此，可以判断，模型具有一阶序列相关性。

2．广义最小二乘法

运用广义最小二乘法对模型进行修正，首先需要计算一阶自相关系数ρ，从而得到矩阵Ω。由于DW=2(1－ρ)，因此，可以直接根据图4-22中的DW值计算ρ。此时，ρ=0．5634。

(1)建立Ω矩阵

在构建Ω矩阵前，需要在EViews下建立一个空白矩阵，此矩阵的行数与列数与模型样本数相同，均为n。在该例中，样本数为23，因此先构造一个23行23列的矩阵，再根据Ω矩阵的定义形成Ω矩阵。在EViews下，可以通过菜单方式与命令两种方式建立空白矩阵。

①菜单方式:在EViews主菜单下点击Object/New Object，选定Matrix-Vector-Coef，如图4-25所示。

点击OK，弹出New Matrix对话框，在Type下选定Matrix，在右边Dimension内输入矩阵的行数和列数，如图4-26所示。

图4-25

图4-26

由于Ω矩阵为一对称矩阵，因此，也可以选择图4-26中的Symmetric Matrix，从而生成对称矩阵。选定后点击OK，便得到一新的矩阵，如图4-27所示。

②命令方式:在EViews下同样可以用命令来生成矩阵。在命令框内输入如下命令:

图4-27

Matrix(23，23)fact或者Sym(23)fact

就可以得到一个23行23列的空白矩阵。其中，matrix为建立矩阵的命令，括号内分别表示矩阵的行数和列数，fact是对矩阵的命名，也可以选择其他名称。Sym表示建立对称矩阵，括号内是矩阵的维数。命令结果与图4-27相同，根据Ω的定义对矩阵进行编辑，由前所知，求得一阶自相关系数ρ=0．5634，而

因此，第一行与第一列分别输入1，ρ，ρ²，…，ρ²²，将ρ=0．5634，即在空白矩阵内输入1，0．5634，0．3174，…，3．30E-06，Ω为一对称矩阵，按照同样的方法为矩阵赋值，得到Ω矩阵(见图4-28)。

(2)分解Ω矩阵

将Ω矩阵进行Cholesky分解，从而得到可逆矩阵D，分解命令为:

Matrix fact1=@cholesky(fact)

图4-28

其中，fact1表示分解后的矩阵D，@表示进行函数运算，cholesky(·)表示分解矩阵，得到矩阵D(见图4-29)。

图4-29

(3)求D逆矩阵

得到分解矩阵D后，便需要求出D的逆矩阵D^－1，求逆矩阵命令为:

Matrix fact2=@inverse(fact1)

其中，fact2代表D^－1，inverse(·)表示求逆矩阵，得到D^－1，如图4-30所示。

图4-30

用D^－1同乘原模型(4-20)式两边，便可以得到消除序列相关的新模型。因此，对原数据进行变化，以得到新序列D－1COMP与D－1GDPP，通过命令方式建立新序列:

Matrix COMP1=fact2*COMP

Matrix GDPP1=fact2*GDPP

其中，COMP1与GDPP1为对新序列的命名，fact2*GDPP表示两矩阵相乘，在此命令下建立的是原序列的矩阵形式，不能直接进行最小二乘估计，需要将序列数据转化到序列中，通过命令

data COMP2GDPP2

得到两新序列窗口，在空白序列中录入COMP1与GDPP1的值，便得到其序列形式，如图4-31所示。

(4)估计新模型

数据经过转化后，原模型(4-20)变为COMP2=β₀+β₁GDPP2+ε_t(4-23)

其中，ε_t为满足基本假设的随机干扰项。在命令栏内输入

ls comp2 c gdpp2

结果如图4-31所示。

图4-31

对新模型(4-23)进行普通最小二乘估计，估计结果如图4-32所示。

分析图4-32中估计结果:t统计量显示解释变量估计系数均显著异于0，对被解释变量存在显著影响;F统计值表明模型整体显著;此时，DW值为2．115，围绕在2附近，说明模型的序列相关性完全得以消除，估计出的参数为最佳线性无偏估计量。

值得注意的是，由于广义最小二乘法既能消除序列相关性，又能消除异方差性，因此，当我们拿到数据时，无论它是否存在异方差性或者序列相关性，我们均可以直接运用GLS方法进行估计。在存在异方差性或者序列相关性时，即可消除;如果不存在，其相对于普通最小二乘法，不会影响估计结果。

图4-32

3．结果分析

根据广义最小二乘法估计结果，可以写出人均居民消费估计方程

COMP^=119．7+0．382GDPP　　　　(4-24)

方程表明，人均GDP每提高1个单位，将使人均居民消费增加0．382个单位，因此，加速中国经济发展，提高GDP，将带来中国居民消费的改善，提高群众福利。