第节，反常积分（广义积分）

(1/4) 反常积分的定义

（1）无穷限的广义积分： (i)积分区间情形 设函数在区间上连续，取.如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分，记作，即，这时称广义积分收敛；如果上述极限不存在，就称为广义积分发散。 (ii)积分区间情形 设函数在区间上连续,取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分，记作，即，这时称广义积分收敛；如果上述极限不存在，就称广义积分发散。 (iii)积分区间情形 设函数在区间上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间（）上的广义积分，记作，即  这时称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。 （2）无界函数的广义积分（也称瑕积分）： (i)瑕点的定义：设在上有定义，而，称b为的瑕点。 (ii)瑕积分的定义： 设在上有定义，为瑕点，且对任意的，在上可积，即极限存在，则称该极限值为无界函数在上的广义积分或叫瑕积分，记作： 或， 此时也称广义积分是收敛的；若上式的极限不存在，则称广义积分发散。 类似地可以定义瑕点为时的广义积分，其中在上有定义，为瑕点，且在任何上可积。

(2/4) 反常积分（广义积分）的性质及定理

（1）无穷限的广义积分： (i)若收敛，则，为常数. (ii)若，都收敛，则也收敛，且有   (iii)设在上连续，如果下面等式中有两项存在，则第三项也存在，且有 . (iv)若在任何有限区间上可积，且收敛，则也收敛，且有. （2）无界函数的广义积分： (i)若为瑕点且积分收敛，则也收敛，且有 ，其中为常数。 (ii)若与的瑕点同为，且瑕积分与都收敛，则 也收敛，且有。 (iii)定积分的分部积分法与换元积分法对瑕积分也成立。 (iv)设是的瑕点，在内的任一闭区间上可积，若积分收敛，则 也收敛，且有。

(3/4) 几个重要的反常积分（广义积分）

（1）若则  （2）若则  （3）若则 ,时收敛；当发散。 （4）若则  （5）； 

(4/4) 反常积分的计算与技巧

反常积分是变限积分的极限，因此由定积分的运算法则与极限运算法则就可得到反常积分的运算法则。下面以反常积分为例，列出相应的运算法则，对于各种类型的反常积分也是有相应的计算法则。 （1）设在区间上连续，在中连续，且 ，若存在，则反常积分收敛，且   若不存在，则反常积分发散。 （2）设,在区间上有连续的导数，若存在，且收敛，则收敛，且   （3）设在区间上连续，在中有连续的导数且单调， ，，则  这里的可以是有限的，也可以是。