1．对几何学的贡献
阿基米德精通几何学，先后发现了几十条几何定理。他提出了计算圆的周长、面积及扇形面积的准确公式，确定了抛物线弓形、螺线所围成的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。在推演这些公式的过程中，他创立了“穷竭法”，即我们今天所说的逐步近似求极限的方法，因而被公认为微积分原理的最早实践者。他用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法，比较精确地求出了圆周率。面对古希腊繁冗的数字表示方式，阿基米德还首创了记大数的方法，突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限，并用它解决了许多数学难题（见图8－3）。
图8－3 “阿基米德螺旋”原理
2．数学著作
《论螺线》是阿基米德对数学的出色贡献，书中明确给出螺线的定义，论述曲线相切的性质，讨论了螺线面积的计算方法，导出了几何级数和算术级数求和的几何方法。
《论球和圆柱》共两卷，是阿基米德的得意之作，包括许多重大的数学研究成果。在这部著作中，他还提出了著名的“阿基米德公理”。书中论述了球、实心菱形及圆柱体，从几个定义和公理出发，推出关于球与圆柱面积、体积等50多个命题，所有这些都是通过直接的几何方法证明的。例如，用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的4倍；球的体积是一个圆锥体积的4倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。
《圆的测量》是内容很简短的一卷，主要论述了圆周长与直径的比值（圆周率），将圆周长与直径的比限制在一个很小范围内，即22／7＜π＜221／70，这一成果是数学史上最早的。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积。在论证过程中，阿基米德运用了圆外切与内接正96边形，这与中国祖冲之推导圆周率时所用的方法类似，与后来出现的微积分中使用的方法相像。
《论圆锥曲线和旋转体》论述了由二次曲线（圆、椭圆、抛物线和双曲线）绕其轴旋转而生成的锥形体和球形体体积的计算。
《求抛物线的面积》研究了曲线图形求积的问题，包括24个命题。其中有两个命题用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。
《沙粒计算》是一篇专讲计算方法和计算理论的很短的论文。阿基米德在这里叙述了表达巨大数字的方法，并且回答了自己提出的问题：整个宇宙能盛下多少沙粒？阿基米德计算出整个宇宙大约能装下1063颗沙粒。阿基米德设计了一种可以表示任何大数目的方法，纠正了有的人“沙子不可计数、即使可数也无法用算术符号表示”的错误看法。他这样做的主要目的是为了说明世界上不存在什么大得无法测量的事物。阿基米德运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算密切相关。
3．方法论
《方法论》，这是一篇极为有趣的论文。在这篇论文中，阿基米德解释了他是怎样通过力学方面的考虑从而获得许多重要成果的。这种方式就是，对一个几何图形的不定数量的元素与另一几何图形的相似元素进行比较。
《引理》，包括平面几何的15个命题。这本集子流传今世的是拉丁文本。
除此以外，丹麦数学史学家海伯格（1854～1928）在研究阿基米德的过程中，于1906年新发现了一篇非常重要的著作及阿基米德其他一些著作的传抄本。这篇重要著作其实是阿基米德给埃拉托斯特尼（约前276～前194）的一封信，内容是探讨解决力学问题的方法。这封信是写在羊皮纸上的手稿，原先写有希腊文，后来被擦去，重新写上宗教的文字。幸好原先的字迹没有擦干净，经过仔细辨认，证实是阿基米德的著作。这里面有在别处看到的内容，也包括一些过去一直认为是遗失了的内容，后来以《阿基米德方法》为名刊行于世，主要论述了根据力学原理发现问题的方法。
在这篇著作中，阿基米德认为把一块面积或体积看成是有质量的东西，分成许多非常小的长条或薄片，然后用已知面积或体积去平衡这些“元素”，找到了重心和支点，所求的面积或体积就可以用杠杆定律计算出来。他把这种方法看做是严格证明前的一种试探性工作，得到结果以后，还要用归谬法去证明它。他用这种方法取得了大量辉煌的成果。阿基米德的方法已经具有近代积分论的思想。然而他没有说明这种“元素”是有限多还是无限多，也没有摆脱对几何的依赖，更没有使用极限方法。尽管如此，他的思想还是具有划时代意义的，他也不愧为近代积分学的先驱。
阿基米德之外，找不到另外的古代科学家能够像他那样将熟练的计算技巧和严格证明融为一体，将抽象的理论和工程技术的具体应用紧密结合起来。
4．失传的著作
以上提到的阿基米德的著作，有些已经失传。据考证，在这些失传的著作中大概至少论述了下列7个问题：
●关于巴布斯论及的多面体的研究；
●论沙粒计算的方法；
●论平衡或杠杆；
●论重心；
●论光的折射；
●论历法；
●论造球。
在《论造球》这本书中，阿基米德解释了球的制作。阿基米德研究球的制作，是为了模拟太阳、月亮以及当时已知的5个行星的运动。古罗马哲学家西塞罗（前106～前43）曾亲眼见到过种装置，并对此有过描述。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
