高中数学微课的实践探究

胡同文^[1]

[摘　要] 近段时间以来，全国各地都掀起了“微课热”，并取得了许多优秀的研究成果。笔者通过实践尝试，制作了一些不同类型的微课案例，以探究高中数学微课的录制模式。

[关键词] 微课；高中数学；案例；实践

一、高中数学的学科特色

数学是一门研究空间几何结构和数量关系的学科，高中数学的知识容量大，内容较为抽象，知识板块结构系统，学生在学习时需要具有一定的基本运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力，具体而言，高中数学具有以下特点：

1. 思维逻辑严密

高中数学知识是环环相扣、层层递进的，能力要求是一步一个台阶，循环上升的。从知识点之间的衔接来看，前后知识点的关联性强，如：先学习“集合”，再在“集合”的基础上学习“函数”，先学习简单的一次、二次函数，然后学习指数函数、对数函数、幂函数，最后学习三角函数等；从能力要求来讲，也是逐步提升的，开始是一些简单的运算，然后到性质的理解、运用，再到方法的迁移类比，如：先学习数列的概念，然后学习等差数列、等差数列的运算和性质，并通过类比得出等比数列的概念和性质，在层层递进中，加强对于“数列”的理解和学习，总结出数列中蕴含的思想和方法。

2. 内容概念抽象

数学来源于实际生活，但是在数学知识从生产实践中剥离出来的过程当中，就变得抽象起来。首先，数学语言抽象，如：若对于∀x1∈D1，都∃x2∈D2，使得f(x1)≥g(x2)。对于很多同学而言，是否能读懂数学语言就成了他们学习数学的第一障碍，对于任意的f(x1)都存在g(x2)满足f(x1)≥g(x2)，理解其中的内在含义，转化为等价的数学语言描述即：函数f(x)在D1上的最小值大于等于g(x)在D2上的最小值，即f(x)min≥g(x)min 。其次，数学概念抽象，如：圆锥曲线中椭圆、双曲线、抛物线的概念。到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离的点的轨迹是椭圆；到两定点的距离之差为定值且小于两定点之间的距离的点的轨迹为双曲线；到定点与定直线之间的距离相等的点的轨迹为抛物线。学生不能理解为什么都是点的轨迹和距离问题最后形成的图像区别那么大，以及为什么它们统称为圆锥曲线。还有就是，数学模型抽象，有些同学没有把数学知识和实际生活联系起来，对于几何图形的体验认识不足，无法将立体几何图形形象地在头脑中想象出来。对于应用解答题，如何从众多的文字信息中筛选出有用信息，构建为恰当的数学模型，对理解能力不好、缺少数学活动体验的同学来说也是一大挑战。

3. 知识板块结构系统

高中数学知识主要分为几大板块：函数、三角函数与解三角形、数列、立体几何、概率统计、不等式、圆锥曲线和选修内容。各板块之间内容相对系统、独立，学习方法也有所不同，有些板块需要加强练习，如三角函数与解三角形、概率统计、数列、圆锥曲线等；有些板块的学习需要空间想象能力，如函数、圆锥曲线等；有些板块的学习需要加强理论与实践的联系，如算法和概率统计。

二、微课与微课的特点

1. 微课的概念

随着信息化时代互联网的高速发展，各类数据的海量出现，人们对于信息技术的掌握和对终身学习的需要，催生了智能终端和平台的普及，各种线上教育、即时教育、交互式学习平台的搭建，移动学习的出现颠覆了人们学习的方式，智慧教育的概念出现更是将数字化的学习方式推向了新的高潮。新时代人们的需求，新的学习环境，微课作为“互联网+教育”模式下催生出来的新的学习资源，有着其独特的生存生长特性，其发展迅速超乎人们的想象。

什么是微课？“　 微课是指按照新课程标准及教学实践要求，以视频为主要载体，记录教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点（重点、难点、疑点）或教学环节而开展的精彩的教与学活动的全过程。”

2. 微课的特点

微课时间短：一节微课视频的时间通常只有3～10分钟；容量小：一节课只讲1个知识点；碎片化：主要针对知识的重点、难点和疑点，或者学生问题比较多、容易出现问题的地方；情景化：利用具体的实例、图形软件演示，构造情景化的学习环境，让学生深入体验教学过程。

3. 微课的制作类型

微课以录制工具和方式来分主要有四种：手机录制微课、PPT录屏式微课、可汗学院式微课、混合式微课。

（1）手机录制微课。

手机录制微课是指用手机、DV等摄像工具拍摄记录教学过程中解决某个知识点的教学过程。其操作简单，人人都有手机，随时随地可以进行微课的录制，并且解题、教学过程和平常的数学教学解题过程相一致。

（2）PPT录屏式微课。

使用录屏式软件录制PPT教学过程，简单来讲就是在PPT中加入授课者的声音，形成视频。录制时，首先要进行教学过程的设计，制作好教学用的PPT，利用录屏软件如Camtasia studio进行教学过程的录制，对于电脑技术要求较高，上手需要有一定的电脑实践经验，并且对于软件编辑的熟悉程度较高，优点是容易制造情景化的环境，使学生的体验活动能更加深入。

（3）可汗学院式微课。

美国萨尔曼·可汗创立的可汗学院是当今全球在线教育的成功典范，教师运用数位板等手写工具在电脑上录制教学过程，制作成教学视频，然后放到网上供其他人观看学习。可汗学院式微课和手机录制微课的方式类似，不同点在于，可汗学院式微课视频中只有讲解过程，没有教师和录制场景等信息，从而也减少了无关信息的录入，减少了纸张的使用，降低了成本。

（4）混合式微课。

将各种录制微课的方式有机结合，博采众长，利用后期剪辑功能对微课的素材进行编辑，减少无关信息的录入，提升视频的质量。

三、高中数学微课案例实践

我们选择了一些教学中学生容易出现问题的典型例题、概念、实际操作等知识点制作成微课，下面介绍微课设计与制作的过程。

1. 呈现思维过程，聚焦题型解法

（1）案例一：微课“一道经典的解三角形题的解法”。

例：在△ABC中，acosB=bcosA，判断三角形的形状。微课录制方式：可汗学院式微课。（2）教材及学情分析。

这道题出现在高一下期必修5第一章解三角形的练习当中，前面学到了三角函数及三角恒等变换，学生掌握了一定的三角函数的知识基础，可以熟练地进行三角变换和化简，在解三角形这一章中，学生学习了正弦定理和余弦定理，但是对于两个定理所呈现的思维方式和解题技巧还不太熟练，综合性的练习比较少，也没有系统地对知识点进行整理，不能将两个定理有机地结合起来，进行统一认识。

（3）微课录制过程。

解法一：分析题目中出现了边a，b，角A，B，刚好是对应的边角关系，使用正弦定理进行转化得到：

sinAcosB=cosAsinB

从而sin（A-B）=0，则A=B，所以△ABC为等腰三角形。

解法二：题目中出现了边a，b，cosA和cosB，从而可以考虑使用余弦定理进行转化得到：化简可得a=b，所以△ABC为等腰三角形。

解法三：进行分类讨论，当△ABC为直角三角形，角C为直角，cosB=,cos A=代入即可得到a2=b2，得a=b，所以△ABC为等腰直角三角形；当△ABC为锐角三角形时，过定点C作垂线CD交AB于D，用同样的办法可以证明AD=BD，从而CD既是中线又是高，由三线合一得出△ABC为等腰三角形。

小结：再次梳理解题过程，对所用到的方法和解题的技巧进行归纳总结。

强化练习：在△ABC中，a=2bcosC，判断三角形的形状。

在△ABC中，acosA=bcosB，判断三角形的形状。

（4）微课反思。

这节微课中只讲解了一个题目，共用了三种不同的方法，前面两种分别用到了学生最近学习到的正弦定理和余弦定理，易于联系学生的最近发展区，促进了学生对概念方法的掌握，展示了三角形解题的技巧，强化巩固了学生的学习成果。微课视频形式的讲解与直接给出答案让学生自己看相比较有较多优势：答案只提供了解题的过程，而解题过程中更为重要的解题思路以及技巧方法学生很难发现，通过微课视频的形式，可以动态地展示出授课教师解题时的思维过程，分析题目的技巧，更加贴切，便于学生理解和思考。第三种方法则是考虑到了学生常用到的作辅助线的办法，构造学生熟悉的直角三角形来解决问题，从教学效果上来讲，基础差的同学更容易想到也更容易接受第三种解法。微课最后一定要有小结，布置两个类似的练习，让学生独立进行思考，检验是否掌握了这节微课的内容，巩固强化学习的成果。

2. 联系模型实体，凸显概念本质

（1）案例二：系列微课“圆锥曲线的概念及图像性质”。

选题分析：圆锥曲线在我们的日常生活中处处可见，既是高考中的重要考点，又是教学过程中的难点。理清圆锥曲线的概念，是学好圆锥曲线的第一步，通过系列的圆锥曲线的微课学习，联系实际生活，提取圆锥曲线的模型，将椭圆、双曲线和抛物线的概念、图像、性质进行类比，加强学生对数学基本活动的体验和经验的积累，帮助学生深层体验圆锥曲线的内涵，统一区分圆锥曲线。

微课录制方式：PPT录屏式微课及混合式微课。

录制工具：Camtasia studio软件、PPT课件、几何画板等。

（2）教材及学情分析。

圆锥曲线是在学习完点的轨迹和直线与圆的轨迹后的内容，学生对于解析几何的图形轮廓还停留在简单的点、直线与圆上，对于较为复杂的椭圆、双曲线和抛物线缺少相应的实际生活体验和基本的数学活动体验，由此，在设计这个系列的微课时，首先要增加学生对于圆锥曲线模型的数学活动体验，了解接触生活中圆锥曲线的实体模型，加强对于圆锥曲线的实体体验，以便在概念学习时，形成相应的数学模型。其次，从解析几何的角度，观察点的运动轨迹，了解圆锥曲线动态形成的过程，与学生头脑中已有的模型发生碰撞，引导学生找到椭圆和双曲线的第一定义，处理练习，让学生加强对概念定义的认识。最后，在练习中加入圆锥曲线的第二定义，让学生体验动点到点的距离与动点到直线的距离之比为定值也可以产生圆锥曲线，比值的大小对于圆锥曲线图像的影响，区分椭圆、双曲线和抛物线的性质的同时，统一圆锥曲线的共性，再次加深对圆锥曲线模型的认识，帮助学生重构知识结构。

（3）微课录制过程。

微课“椭圆与椭圆的性质”“双曲线与双曲线的性质”都是从实际生活中的曲线模型进行引入，如椭圆形状的橄榄球，数学实验室中的圆柱、圆锥的截面模型，双曲线形状的建筑和画的双曲线图案，让学生对于椭圆和双曲线有初步的了解和印象。再用几何画板演示到两点的距离之和（大于两点之间的距离）的点的轨迹，体验椭圆图像动态形成的过程，引导学生概括出椭圆的概念。处理椭圆的相应练习，加强对概念的理解掌握，最后进行小结，布置微课的课后巩固练习。“双曲线与双曲线的性质”的教学过程类似，就不再赘述。学完概念后，对椭圆、双曲线和抛物线进行总结，微课“圆锥曲线的第二定义”利用几何画板展示动点到定点与到定直线的距离之比即离心率的变化对于圆锥曲线图像的影响，处理练习，并进行归纳总结。

（4）微课反思。

制作混合式微课对于电脑技术的要求较高，微课视频制作出来后，集合了各类软件的优点，能帮助学生直观形成圆锥曲线图像，其动态的演示效果积累了学生的数学活动体验，引发了学生对于圆锥曲线概念和性质的深度思考，促进学生概念模型知识结构的完整。还可以制作类似的微课，如y=Asin(ωx+φ)中3个量A，ω，φ的变化对于图像的影响，数学软件的介入，使得原本生活中才能看到的模型可以很容易地在视频、投影上显示出来，参数改变带来的动态图像变化使得学生对于变量对函数图像和性质的影响一目了然，给教师教学带来了便利，给学生学习带来了帮助，给教育的发展创造了空间。

3. 贯穿理论实践，促进动手动脑

（1）案例三：微课“简单的算法和编程”。

（2）微课过程设计与思考。

这节课虽然对能力的要求不高，只要能进行基本的运算和检验就可以，但是基于新课改的多元评价目标，不仅要有结果，而且还要重视过程。学习程序算法，不能只是会看程序出现的结果，更要会编辑简单的程序，这样也会加深对于数学活动的体验，培养学生动手和思考的习惯。首先，要教会学生熟悉程序的运算法则、程序的运算过程和编辑程序语言需要注意的细节，再录制算法的编辑过程、运算过程及结果，让学生把预想结果与实际的结果相比较，分析某些程序出现意外结果的原因，并修改调试程序。学生对于程序编辑本来就充满好奇，对于算法和程序的设计表现出了极大的兴趣，对于预期结果和运算的结果出现差异表现出了困惑，进而引发了种种思考和猜测，通过自己的动手实践，最后取得收获，既培养了勇于实践、勤于思考的习惯，又激发了对于数学的兴趣。

四、结束语

微课是信息技术与教育融合的产物，新的环境、新的需求、新的形势下，教师只有不断加强学习，取长补短，探究适合学生学习成长的教学手段和模式，才能真正实现以生为本和教育的长远发展。

参考文献

[ 1 ] 教育部. 普通高中数学课程标准（实验）[S]. 北京：人民教育出版社，2003.

[ 2 ] 汪晓东. 微课的外在特点与核心特征[J]. 中小学信息技术教育，2014（1）．

[ 3 ] 胡同文，平静. 利用边角关系解三角形[J]. 课程教育研究，2014（35）．

【注释】

[1]【作者介绍】胡同文，1986年生，男，汉族，四川犍为人，大学本科，任教于四川省成都市新津县华润高级中学，中学一级教师。