基于数学问题解决的学习

“问题解决”是数学教育的又一个热门话题。它是在“新数运动”以及“现代数学教育改革”的反思和调整之后，于1980年由美国全国教师联合会公布的《关于行动的议程》的文件中首先提出的。文件指出，“必须把问题解决作为80年代中学数学的核心”。问题解决从提出至今已经过去了十来年，但它仍然影响着当今的数学教育。我们深信它仍然是21世纪初的重要研究课题。1983年，美国又进一步提出应向学生提供运用算术和数学解决各领域中的实际问题的机会，诸如可以通过数学来分析的自然科学问题、社会科学问题、消费购买问题和日常生活中可以遇到的各种其他问题。并认为应改变目前学生学习的只是如何成为技术人员，而不是解决问题人员的现状。在英国，认为教育的核心是培养解决问题的能力，强调数学只有在能应用的情况下，才是有用的。所以英国的《Cockcroft报告》提出应将问题解决作为课程论的重要组成部分。在日本，数学教育界认为教育的重点应放在培养数学思考能力上，并提出“问题解决”的教育与适应性的教育应成为日本数学教育的两个研究焦点。

一、问题的含义及特征

（一）问题的含义

问题的解决离不开问题，在直觉的水平上，大家都知道什么是问题。但究竟什么是问题？问题是多种多样的，内容和形式都千差万别。心理学家们对问题的表述也不尽相同。

1988年，在第六届国际数学教育大会（ICME）上，“问题解决、模型化和应用”课题组提出的报告中指出：“一个数学问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决问题的情境。”

按现代认知心理学的观点，“问题是指那些对于解答者来说还没有具备直接的解决方法，对于解答者构成认知上的挑战这样一种场面”。例如：1＋2＋…＋100=？对于儿童来说就是问题，而对于学过数列知识的学生来讲，就不成其为问题了，只不过是一道习题。

但是大多心理学家都认为所有的问题都含有三个基本成分：

①给定，即问题的起始状态；

②目标，即问题要求的答案或目标状态；

③障碍，即给定与目标之间的隔阂物，通过思维可以寻求解决的方法。

（二）数学问题的特征

“问题是数学的心脏。”就一个数学问题本身来讲，它应有以下的某些特征：

①在问题和解答中包含着数学知识和数学技能；

②在学生已有的知识和能力范围内有多种方法解决；

③能用学生已有的知识和方法进行推广，或推导出相类似的问题；

④包含的数据能组合、分类、制表和分析；

⑤能借助于模型或图像解决；

⑥能激发学生兴趣并具有智力挑战。

例51在一个长4m、宽3m的矩形荒地上，开辟一个花坛，使花坛的面积是原荒地面积的一半，问如何设计？

这个问题具有上述的某些特征：一是紧扣教材，运用一元二次方程的知识和技能可以解答；二是答案并不唯一，学生可以充分发挥想象力进行多种设计；三是变换题目的条件，可以编制出解法类似的新问题。

问题1的多种答案

例如，将问题中的条件改为：使花坛的面积是原荒地面积的23。这就编制出了与问题1解法类似的另一个新问题。

就问题认识的主体——学生而言，问题又必须具有以下三个特征：

①接受性。学生对问题感兴趣且乐意思考，并具有思考它的知识和能力；

②障碍性。学生不能一下子获得解决问题的策略和一眼看出答案，必须经过反复思考，甚至进行多次尝试才能达到目的；

③探究性。学生不能按现成的方法、程序或算法去解决，而需要进行探索研究。

（三）数学问题的类型

数学问题究竟如何分类？看法也不尽相同。Butts将数学问题分为五类，即识别练习、算法练习、应用问题、开拓—探究问题和问题情境等。

严格地讲，前三类问题，按照问题解决中问题的含义，不是我们所说的问题，而是练习题或习题。我国的学者主张将数学问题分成四种类型：综合题、数学模型、开拓—研究问题、开放型问题。

1综合题

这是我国教科书中常见的问题。涉及的知识包含数学中多个单元或几何、三角、代数等各个学科。在解题的策略方面，常常需要某些独特的思想方法。

2数学模型

这是以自然和社会为背景的实际问题。在中学数学教科书中常见的数学模型，大多与相关学科知识有关。如路程公式：s=vt；自由落体公式：s=12gt2等。

例52我国现有人口12亿，试按下列要求，给出n年后，我国人口数p。

①人口保持不变。则p=12×108；

②平均每年增加2万人，则p=12×108＋2n×104；

③平均每年增加1％，则p=12×108（1＋1％）n。

3开拓探究问题

这类问题，一是将原问题的某些具体条件用更一般化的条件替代，或是转化为逆问题，使问题能够推广或扩充到各种情形；二是这类问题的解决策略，通常不包含在问题的陈述之中，需要学生去思考、探索，寻求解决的方法。

例53，a处有58的河水流入b处，而b处有35的河水流入d处，试问有多少a处的河水流入f处？

这个题只给出了问题中的具体情形，解题的策略没有在问题中陈述，同时问题中的隐含条件在解题时要善于挖掘，从中探索出解决问题的方法。

4开放型问题

开放型问题是相对于数学课本中有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的。这类问题不必有解，答案也不一定唯一，所给的条件也可能有多余的。但是开放型的问题并不等于随意性的问题，结论仍然要求确定、精确。如前面所述的设计花坛问题，尽管设计的方案可以多种多样，但其计算，一要定量化，二要每种设计经计算得出的结果要确定、精确。

（四）数学问题与习题区别

无论按照哪种方法将“问题”分类，按我们所论述的“问题”的含义、特征来看，我们所说的“问题解决”中的问题，主要指的是非常规问题。它与传统的数学练习题和习题有着本质的区别。

问题适合于学习探究的技巧，适合于数学事实的原始发现。因此，其内容是非常规的，即不是教材内容的简单模仿，有范例可参考；表述形式多半是给出一种情景、一种实际需求；其模式的形式多样，答案不唯一，条件可有多余的。从教育的功能来看，它主要用来培养创造性能力，树立数学观念。

数学练习题或习题，许多国家或地区又称它为常规问题。它适合于学生学习数学事实，训练数学技能和技巧。其内容通常是一些常规算法或方法的运用，或简单的组合。在题型的模式上，比较规范化、纯数学化，多半形如“已知”、“求证”的固有模式。在教育功能上，它主要用于巩固所学的数学知识和训练技能、技巧。

二、问题解决的含义及教学

（一）问题解决的含义

什么是问题解决（problem solving）？有种种说法。据目前的文献资料介绍，概括起来有五种：

1.题解决是过程

美国全国数学管理大会（NCSM）在1988年发表的《21世纪的数学基础》文件中指出：“问题解决是把前面学到的知识运用到新的和不熟悉的情境中的过程。”第六届国际数学教育大会上，“问题解决、模型化和应用”课题组主席M.Niss,他把问题解决定义为“从尝试到解决问题的全过程”。从数学教育哲学的角度来看，所谓问题解决就是学生学习数学的活动过程，是以学生已有的知识和能力为基础的主动建构过程，是通过数学思维，不断数学化的过程，是一个探索、再发现、再创造的过程。

2.题解决是教学目的

NCSM在1988年的《21世纪的数学基础》报告里提到：“学习数学的主要目的在于问题解决。”这正如E.A.Silver所说：“世界上几乎所有的国家都把提高学生的问题解决的能力作为数学教学的主要目的之一。”

3.题解决是能力

如上所述，数学教育的主要目的是培养学生的数学能力，而问题解决的能力正是数学能力的核心，它是其他基本能力的组合和发展。因此，1982年英国的《Cockcroft报告》就把问题解决看成是“数学用于各种情况的能力”。

4.题解决是心理活动，也是数学活动

华东师范大学邵瑞珍教授认为，问题解决是“人们在日常生活和社会实践中面临新情景、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动”。这种心理活动对学生来讲就是学习活动，依据§2.所讲的数学教学是数学活动教学的观点，学数学的最好方法是做数学。因此，问题解决的学习就是一类最重要的数学活动，它包含一种或几种基本的数学活动，如运算、推理及建立模型等活动。

5.题解决是教学形式

在英国的《Cockcroft报告》里给教师提出的五条建议中，第一条就是“应在教学形式中增加讨论、研究、问题解决和探索等形式”，它是“课程论的重要组成部分”。因为问题解决提倡教师与学生、学生与学生之间的讨论和交流，并且与其他教学方法有机结合，贯穿于整个教学过程之中，所以它是合理课程不可缺少的有机组成部分。

尽管“问题解决”在各国的文献中有不同的解释，但强调学生创造性地解决未解决的问题，培养学生的思维能力，树立数学观念，却是共同的认识。

我们说过，数学教学是数学活动的教学，这就必须给学生创造一个“观察、试探、猜想”的情景。依据这些观点，我们认为“问题解决”是能实施这种教学的一种很好的教学形式；或者说是数学教学模式中一种“现代的、先进的、而且是有效的教学模式”。

（二）怎样进行问题解决的教学

怎样结合我国的国情、文化背景，进行问题解决的教学，我国许多专家和数学教育工作者，做了很多有益的尝试。有的专家还提出了构建“中国式的问题解决的教学模式”的主张，提出了施行这种教学模式的一些特点：

1要紧扣教材的教学内容，按照教学大纲的要求，精心选择和编制问题

例54学完多边形面积的计算之后，可以解决下面的问题：

在边长为4m的正方形花坛种植花草。种植面积为原正方形面积的12。问花坛中的花草如何栽种可使花坛美观。

这是一个好问题，在于答案不唯一，而且解决问题方法多样。还有利于学生巩固、理解已学过的知识，有利于培养创造性思维。

提供了五种美丽的图案，其中图（b）的解法就涉及图形的对称性、菱形的面积计算等方面的知识和技能。

例54的5种答案

2在问题解决教学中，注意归纳提炼问题解决的思维策略，注意培养创造性思维能力

数学不是解题术，学数学必须学会解题，学会做数学，而仅仅会解题，不注意归纳提炼，不掌握数学思想和方法，那只能把学生训练成“解题机器”。因此，在问题解决教学中，注意归纳提炼问题解决的思维策略，注重培养创造性思维能力，才是问题解决教学模式的实质。

问题解决的思维策略，概括起来主要有：

（1）目标策略

这种策略，要求根据题设的条件或提供的问题情景，有目标地进行思维活动，在思维活动中，要善于抓住问题的关键及难点，有目的地予以突破，使未知问题转化为已经解决或易解决的问题来解决。例如，解线性方程组类题目，总是设法逐步消元，最后化成一元一次方程求解。

（2）模式识别策略

使用这种策略的关键，主要在于会辨别题目的类型，使得与已有的知识、技能发生联系。善于识别、辨认问题的情景，选择有用的信息加以应用，则是采用这种策略的前提。

例55试求中街心岛Ⅰ的面积。

三条马路的宽度都是30m,其中有两个数据是多余的，从中筛选有用信息加以使用是解答本题的关键，若按添设辅助线，问题则得到解决。

例55辅助线添加1

例55辅助线添加2

（3）特殊化策略

这种策略主要遵循从特殊到一般、从简单到复杂、从具体到抽象、从部分到整体的思维规律。

例56，工作流程上放置n个机器人p1,p2,…，pn,一只工具箱应该放在何处才能使工具箱与机器人们的距离之和最短？

这是一个“重视情景”问题的范例，这个问题解决的思路包括：首先思考简单、特殊情况，即先考虑两个机器人，三个机器人，四个机器人，……，然后进行合情推理，推广到一般，即n个机器人（偶数或奇数）的情况。

（4）转化策略

所谓转化策略，就是当我们对所碰到的问题难以下手时，通过某种转化过程，将其归结为另一个比较熟悉、较易解决的问题，或转向问题的反面，以达到解决原问题的目的。在数学中，这种转化过程经常使用的方法有：映射方法、数学模型方法、换元法、RMI原理等等。

例57下面介绍两个不同情景的实际问题，但都可转化为同一个数学模型来解决。

问题1中，发电厂主控室的仪表屏幕高mm,屏幕底边距地面nm,问值班人员坐在什么位置上屏幕上的仪表数学看得最清楚（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距离地面12m）？

问题2在足球比赛中，甲方边锋从乙方所守的球门附近带球过人沿直线向前推进。试问边锋射门的最佳位置在何处（最佳位置是指命中的最大射角φ）。

例57的两个问题虽然情景不同，但经过提炼，我们可以转化为同一个数学模型解决。即，建立直角坐标系，在y轴的正半轴上给定两点B、C。上述的问题就转化为在x轴的正半轴上求点A,使锐角φ取得最大值。

根据例57问题2建立直角坐标系

问题解决教学从某种意义上讲，就是我们通常所说的解题教学。我国的解题教学的研究与实践的历史渊源流长，形成了独特的优良传统。在引进国外的“问题解决”教学形式时，我们既要发扬在解题教学中，重视概念、命题的教学和必要的技能训练的优良传统，又要注重培养学生解决未解决过的问题以及非常规问题的能力，以达到树立数学观念、培养学生创造性思维能力的目的。

复习思考题

1.说明数学认知结构及其在数学教学中的作用。

2.你是否赞同建构主义数学教育理论？说明自己的观点。

3.调查访问中学生的数学学习情况。