数学归纳法

第九节　数学归纳法^[9]

数学归纳法是高中新课程选修2—2中的内容，《普通高中数学课程标准（实验）》的学习要求是“了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题”。但在过去的教学中，大多数学生面对数学归纳法的两个步骤往往只能生搬硬套，难以理解其本质内涵。浙江嘉兴秀州中学的徐晓芳曾尝试运用张维忠教授等提出的基于数学文化的教学模式突破教学难点，并取得了良好的教学效果。下面是她完成的一个教学设计。

一、课前准备

课前准备主要分为三步：①前期准备，对于课标，教材、学生的研究；②中期准备，围绕核心概念，纵横拓展，建立数学归纳法文化库；③后期准备，设计教学流程。在整个过程中，力求通过丰富的教学方法让学生体会到数学归纳法作为一种数学思维方法的广泛渗透性，感悟数学本质上是一种文化。

二、具体实施

（一）经验触动——围绕主题，激发兴趣

设计　激疑——复习学过的一些数列公式，指明对于一些与正整数有关的数学命题只是猜想，需要证明。但如何证明这类涉及无限的命题呢？日常经验触动——运用多媒体手段让学生体验多米诺骨牌效应、北京奥运圣火传递景象。由于数学归纳法是一种重要的数学方法，且又较难理解。我们利用两个既有典型性，又容易引发学生积极情感体验的日常经验，为横向数学化创造条件。

反应　两个视频迅速吸引了学生的注意力，并极大调动了其学习热情。

（二）数学化理解——逐步抽象，过程中学

设计　通过“多米诺骨牌与北京奥运圣火传递的实现条件—连锁反应的完成条件—尝试证明a_n＝a₁＋（n－1）d，n∈N*的思路—数学归纳法步骤”多次的横向数学化，自然地建立起生活中的“无限现象”与数学归纳法两者间的联系；用“时间的对比”巧妙引入数学归纳法形成历程；在此理解之下，巩固练习。

设计理由　从“多米诺骨牌”到“数学归纳法”，学生将经历数个阶段，不仅能亲身感受到数学来源于实践的真谛，还能体验到数学形式化定义形成的原始过程。整个过程体现“逐步抽象，过程中学”的特点。数学史介绍意在展示数学作为一种文化的历史传承性。课堂练习全为经典题型（类型尽量不同），减少重复演练时间，旨在巩固提高。

反应　学生整体参与度高，但将生活经验类比为数学归纳法大致思路之时仍稍感吃力。稍加引导，学生逐渐形成了自己的数学归纳法（此时定义并不严格）。同学们经过比较“教科书化”的步骤与自己获得的证明思路，发现“n＝1”与“n＝n₀”的差异和“假设……命题成立，则……”词句上的规范。前一个差异，学生讨论之后得出结论：并不是所有的命题都对从1开始的自然数都成立；后一个差异，一部分同学认为这只是一种“说法”，一小部分疑惑“假设”一词用在证明方法中似乎显得不那么可靠，我们暂且将之作为思考题（后面讨论）。之后，面对数学归纳法2000多年的历史（对比课堂再发现的时间），不少学生发出了惊叹之声。而从练习反应的情况看，“从n＝k到n＝k＋1”的证明仍然让一些学生感到不适应或是困难，他们运用其他证明方式代替假设论证（第一堂课结束）。

（三）多领域渗透——核心统领，拓展升华

设计　从上堂课学生练习完成的情况看来，一些学生在“从n＝k到n＝k＋1”的传递性证明上常常不用假设直接证明。虽然在之前的课中教师运用了数次横向数学化，但学生表现比之前预设的要差。因此，在多领域渗透阶段，考虑如何围绕数学归纳法的本质，既促进学生对数学归纳法传递性的理解，又不局限于此。考虑到学生的认知难点，决定重点围绕“名字之争”、“趣题与悖论”、“意境之美”这3个主题展开，其他部分视情况而定。“名字之争”是重点，因为对“归纳法”还是“演绎法”的讨论是以探究数学归纳法两个步骤为基础的，蕴含着理解数学归纳法本质的钥匙。“趣题与悖论”既是数学归纳法思想的现实应用又提醒学生注意其适用范围，“意境之美”既升华了数学归纳法的本质内涵，又展示了数学这种特殊文化与其他文化之间的水乳交融。整体上，这部分内容将会给学生原有的数学观带来一些冲击。

反应　“名字之争”中，全班讨论激烈，最后划成三派，分别支持数学归纳法属于归纳法、演绎法、既有归纳又有演绎。经一番剖析比较，“既有归纳又有演绎”的结论逐渐得到大多数同学的认同，教学主题随即转入“趣题与悖论”。考虑到教学时间的限制，教师选取了既具典型性又难度较小的猜帽子问题。由于没有运用数学归纳法尝试解决实际问题的经验，学生一开始找不到问题的方向。通过简化问题，帽子问题最终解决。而在“秃子悖论”中，学生在笑声当中领会了数学归纳法的适用范围。（第二堂课结束）

可以说，第二堂课是相当成功的，学生思维活跃，课堂气氛融洽。但唯一想不到的是，三个主题只进行了两个。经过思考，我们决定再加一节课，围绕数学归纳法“化无限为有限”的本质，对之前的内容作提升与总结；运用雅可夫难题观察学生的理解水平。上课伊始，面对数学归纳思想方法在唐诗、宋词、绘画等上的体现，很多学生既惊奇又兴奋！受此启发，有同学想出了“落红不是无情物，化作春泥更护花”的诗句，也有的想到了抽取式面巾盒……学生的创造性思维超出了教师的预料。

（四）回顾反思

设计　雅可夫难题：“我已用数学归纳法证明了一个定理，而我事实上并不能肯定我所证明的定理是否真的成立，因为我用到了归纳假设（命题对某个成立），但我不知道命题对这个k是否真的成立？”发动学生讨论。雅可夫难题既可激发学生的探究意识，又可以作为评价学生数学归纳法理解水平的参考，且回答了学生第一堂课的疑问。

反应　在小组讨论中，多数同学都能意识到k取值的任意性。而在教师辅助性问题的引导下，几个小组陆续形成自己的答案。（第三堂课结束）

三、教学回馈与反思

从匿名评论和学生访谈看，绝大多数同学对课的形式表示认同，比如“课很有意思，有趣味”，“不仅学到了知识，而且没有精神上强迫自己的负担，一种享受”，“便于我们理解，并能形象地记下内容”，“有新意，也有利于同学们的身心”，“学科之间就应该融会贯通，这样有助于我们综合素质的形成”，“既能放松，又能加深理解”，“感觉数学真得和生活很贴近”，“数学竟然和文学也有联系，真的闻所未闻”……但也有同学感觉“做题的时间少了，希望多一些时间做题”。总体上看，大多数同学对于这种课的形式从内心是认同的，但是少部分同学的忧虑表达了一种普遍的矛盾：高中学习时间很紧，这样上课的方式与传统的教学相比，花费的时间较多，而且减少了重复演练的时间，考起试来会不会吃亏？

而对教师，暂且不论数学文化素材的搜集时间，在实际操作环节上它就比传统的数学归纳法教学多花了课时。其次，对教师要求较高，无形中可能加重教师负担。研究中不仅要求教师对所教授的教学内容要深刻领悟，还要求其能够进行学科外的联系拓展。这既需要教师自身要具有较强的综合素质，又需要教师与同事之间的交流，多方的寻觅。但是，即便这些都具备，若教师没有良好的教学方法，不能妥善地安排丰富的素材，那么本模式观下的教学很容易陷入“数学文化灌输”的境地，不仅无法培养学生对数学的喜爱，就是基本的知识传播功能也将丧失。

因此在现阶段的教育现实面前，我们将本模式定位为一种非常规的教学模式。它最适用于那些知识点相对较少，核心概念具备文化关联特质的教学内容。如果教学内容知识点繁杂、线索凌乱，完成基本的认知性任务之后，教师几无拓展的空间可言，数学内部系统的操作可能完全取代数学与外部系统的交流。如果教师注意采取较开放的课堂教学策略，使学生获得情感的满足，知识能力的提高，以及“数学是一种文化”的感悟，那么可以将它归为本模式的一个变式（如舍弃了“多领域渗透”环节）。但若课堂封闭，教学以灌输为主，那就完全背离了本模式的宗旨。平时，在条件允许的范围内，教师可以适当减少重复演练的时间（遵循少而精的练习原则），将数学文化的理念通过若干个微型情境传达给学生。

参考文献

［1］张维忠，徐晓芳．基于数学文化的教学案例设计述评［J］．浙江师范大学学报（自然科学版），2008，31（3）：247－250．

［2］张维忠，徐晓芳．基于数学文化的教学模式构建［J］．课程・教材・教法，2009，29（5）：47－50，70．

［3］教育部．普通高中数学课程标准（实验）［S］．北京：人民教育出版社，2003：59．

［4］徐晓芳．偏把他乡作故乡——数学归纳法之文化谈［J］．中小学数学（北京），2008（7－8）：93－94．