创设素材促想象

杨灵君（执教）　陈庆宪（评析）

◎课前思考

本课是六年级总复习的一个内容。要求针对长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆，这六个基本图形的周长和面积的计算进行一次整理复习。通常大家在复习这一内容时都比较关注公式的整理及其推导过程的回忆。许多老师认为，只要学生能熟练地计算出这些圆形的周长和面积就可以了，却忽视了对学生空间想象能力的培养。为了上好这节复习课，我们课前对两个班的94名学生进行了一次平面基本图形计算能力的调查，发现有93.6%的学生能熟练地运用公式进行计算。所以我们在思考，在复习时如果还侧重于公式的计算，学生一定会感到枯燥，对他们知识的拓展和能力的培养也无帮助。我们认为在复习这部分内容时，除了要引导学生梳理计算方法和公式的由来外，更重要的是通过复习，培养学生的想象力，提高解决问题的能力。出于这样的思考，我们对本课的复习素材做了改变，采用的主要方法是给学生提供图形中部分线段的长度，要求学生从这些线段逆向地去想象应该是怎样的平面图形，并在学生想象到的一些图形中提出质疑。现把复习过程整理如下，供大家教学时参考。

◎实录与评析

1.回忆公式，思考方法由来。

（1）回顾整理。

教师让学生针对教材中的图，写出各图形的周长和面积的计算公式（用含有字母的式子表示），并让学生回答书上小精灵提出的问题：这些计算公式是怎样推导出来的？它们之间有什么联系？

当学生写出公式并经过思考后，教师在投影上呈现图1，让学生对照自检。接着让学生针对小精灵提出的问题，进行小组交流。

组织反馈评讲。学生进一步理解，这几个直边形的周长就是各条边的长度相加的和，圆的周长是这个圆的直径的“π”倍。对于面积公式的推导，教师根据学生的表述，借助媒体的动态演示，帮助学生回忆面积公式的推导过程，以及图形之间的互相转化。（过程和图示略）

图1

图2

（2）基本练习。

计算下面各图形的周长和面积。（如图2）

（学生计算和反馈评讲过程略）

【评析】　在以上的教学过程中，教师采用了先让学生独立思考，再小组交流梳理。接着，教师根据学生的表述，配合投影的演示，直观地揭示了图形与图形之间的转化过程，使学生进一步理解了每一个图形面积计算方法的由来。学生完成公式梳理后，教师马上让学生针对直角三角形、直角梯形和半圆，分别计算它们的周长和面积。显然这三个图形也刚好弥补了图1中没有出现的平行四边形、三角形、梯形等的周长公式。学生通过对这三个图形周长的计算，进一步明确图形的周长计算无须死记公式，要根据图形的特点和各边的长度灵活计算。

2.巧设素材，想象图形计算。

（1）引发第一次想象。

师：通过刚才的回忆和计算，同学们对已知这些基本图形的相关边长度的情况下，来计算它们的周长和面积，都比较熟练了。下面我们来一次思维的逆向挑战。

师：现在先不告诉你是什么图形，只告诉你与这个图形相关的几条线段的长度，就能计算出它的面积。请大家拿出预先发的练习纸，先独立完成“思考一”的想象，再在小组内交流。

思考一：如果已知一个图形中两条互相垂直的线段长度分别是8cm、5cm，就能计算出它的面积，你能想象出这是一个怎样的平面图形吗？请在格子纸上画一画，并计算它的面积。（注：格子的每一小方格边长为1cm）

学生边想象边画。教师在巡视中发现大部分学生，想到的是长和宽分别是8cm、5cm的长方形，直角边分别8cm、5cm的直角三角形，还有部分学生想到了底是8cm、高是5cm的其他三角形。

教师利用投影展示出部分学生的作品，确认学生所画的图形的确能通过这两条互相垂直的线段，计算出它的面积。接着提出：除了长方形和三角形之外，你们还能想象出其他的图形吗？

过了几分钟，有学生想到了平行四边形。

教师又利用投影展示学生的作品，确认这些平行四边形的面积都是“8×5=40 （cm2）”。

教师又提出：除了三角形、平行四边形之外，你还会想到什么图形呢？

在学生疑惑之时，教师在黑板上画了两条互相垂直，且垂足不在线段的端点上的线段。学生豁然开朗，在格子纸上马上画出了如图3的四边形。并且很快算出了这个四边形的面积是“8×3÷2＋8×2÷2=8×（3＋2）÷2=20（cm2）”。发现这个四边形的面积与上面想到的所有三角形的面积是相等的。

接着教师利用投影，先在投影上呈现一个底是8cm，高是5cm的三角形，并提出：你们能想到与这个三角形面积相等的三角形吗？你是通过怎样的方法想到的？

图3

学生又一次小组交流后，教师组织反馈评讲、演示。

生1：我把三角形的一个顶点平移，就想到许多面积相等的三角形了。

生2：我把三角形5cm的高进行平移，每移一次就得到一个三角形，这样可以得到无数个面积相等的三角形。教师根据学生的描述，在投影上演示（如图4）。通过图形的动态演示，学生进一步理解等底、等高的三角形有无数个。

接着教师以同样的方式，引导学生对同底、等高的平行四边形进行想象变化（如图5）。

接着教师出示两条对角线互相垂直的四边形，如图6中的第一个图形。并提出：看到这个四边形，你能想象到更多与它面积相等的四边形吗？你是通过什么方法想到的？

学生再一次小组交流，教师组织反馈演示、评讲。

生：我把垂直于8cm的这条线段作上下、左右平移，就会想到许多与这个四边形面积相等的四边形。

教师根据学生的描述，利用投影进行动态演示，如图6中第二个图形。

学生观察以上的动态演示，领悟到了面积相等的四边形也有无数个。在观察中，有细心的学生还发现，当这条5cm的线段平移到与端点垂直时，刚好这个四边形变成了三角形了。

接着教师在投影上展示出图7，形成上、下两个平行四边形的图形，让学生计算这个图形的面积。得出：8×3＋8×2=8×（3+2）=40（cm2）。

通过计算，学生发现这个图形的面积与底、高分别是8cm、5cm的一个平行四边形的面积是相等的。教师继续引导学生想象，并再次利用投影的动态演示，让学生验证自己的想象，像这样的图形也有无数个。

图4

图5

图6

图7

教师借助投影，呈现以5cm的线段为底、8cm的线段为高的三角形和平行四边形，以及其他图形，并进行动态演示，让学生再次观察。

【评析】　这一环节我们给学生提供的条件，是已知两条线段的长度，且互相垂直，并且通过这两条线段就能计算出这个图形的面积。要求学生把符合这样条件的图形想象出来，画在格子纸上。这样的想象素材，不仅让学生再次复习到这些图形面积的计算方法，更让学生复习到计算这些图形面积的必备条件，同时梳理出同底等高的三角形或同底等高的平行四边形都有无数个。学生在想象中还延伸到对角线互相垂直的四边形，并且知道这样面积相等的四边形也有无数个。由此可见，我们采用这样的想象方式，其主要目的是给学生创设更大的思维空间，学生通过图形动态想象、观察，达到了最佳训练、梳理和拓展的效果。

（2）引发第二次想象。

师：刚才大家根据互相垂直的两条线段，对图形进行了想象。下面你们还能根据三条线段，对图形进行想象吗？请大家继续拿出练习纸，先独立完成“思考二”，再在小组内交流。

思考二：如果已知一个图形中的三条线段分别是8cm、6cm、4cm，就能计算出它的面积，你能想象出这是一个怎样的平面图形吗？请在格子纸上画一画，并计算它的面积。（注：格子的每一小方格边长为1cm）

学生很快想象到了这是一个梯形。

师：你们能想出多少个符合以上条件的梯形？请你画一画，再在小组内交流。

学生经过交流，回答出两种情况。

生1：有无数多个梯形。

生2：只有三个面积不等的梯形。

师：应该是三类面积不等的梯形。

图8

图9

教师针对学生的作品进行反馈评价，对学生所画的梯形按面积分成三类，并借助投影分别进行动态演示（如图8）。

师：大家都想到了梯形，那除了梯形你们还能想到其他的图形吗？

学生思考几分钟后，教师发现有学生想出了新的组合图形，教师让两位学生把自己所画的图形以草图的形式画到黑板上（如图9）。

教师提出：你们能看懂这两位同学画的组合图形吗？这两个组合图形的面积又怎样计算呢？

学生基本看懂后，教师再让这两位学生给大家介绍。

生1：我用这三条线段画了两个三角形组合成的图形，它的面积是：8×6÷2＋8×4÷2=24＋16=40（cm2）。

生2：我用这三条线段画了一个半圆和一个梯形。

师：那其中一条6cm长的线段在哪里呢？

生2：就是中间的一条，这条的上部分是4cm，也刚好是圆的半径；下部分是2cm，也刚好是梯形的高。它的面积是：3.14×42÷2＋（8＋4）×2÷2=25.12＋12=37.12（cm2）。

【评析】　学生借助于已知的三条线段就能计算出面积，自然会很快想象到三类梯形。教学中教师还利用投影的演示，使学生直观感受到“等积变形”的动态过程。在接着的教学中杨老师并没有满足学生只局限于梯形的想象，而是向学生继续提问，促使学生再次利用这三条线段进行思考。在教师的启发下，有许多学生想到了一些组合图形。我们知道用这三条线段构成的组合图形是很多的，而杨老师有选择地仅呈现了两位学生所画的组合图形。通过对这两个组合图形的观察思考、质疑交流，进一步巩固了组合图形面积的计算方法。

（3）引发第三次想象。

师：刚才我们又通过三条已知长度的线段，想象到了梯形和组合图形。下面我给你们的条件非常简单，就是给你一条已知长度的线段去想象图形。请大家继续拿出练习纸，先独立完成“思考三”，再在小组内交流。

思考三：如果已知一个图形中一条线段的长度是6cm，就能计算出它的面积，你能想象出这是一个怎样的平面图形吗？请在格子纸上画一画，并计算它的面积。（注：格子的每一小方格边长为1cm）

这时学生很快想到了边长是6cm的正方形、直径是6cm的圆和半径是6cm的圆。教师投影先呈现学生先想到的三个图形（如图10）。

图10

师：你们还能继续想象出其他图形吗？

学生有些困惑，这时教师在屏幕上出示了两条互相垂直且等分的两条线段（每条6cm），再向学生提出：通过这两条互相垂直的线段，你们会想到怎样的平面图形呢？

生：把四个端点连起来，又是一个正方形。（屏幕上把学生所描述的正方形画完整）

师：你能计算出这个正方形的面积吗？

看成两个三角形的：（6×3÷2）×2=18 cm2。

看成四个直角三角形的：（3×3÷2）×4=18 cm2。

【评析】　杨老师非常清楚地知道学生通过一条线段的想象，一定会很快地想到正方形和圆，并且知道学生计算它们的面积应该比较熟练，但要想到对角线的长度是6cm的正方形是有一定困难的。所以在以上教学过程中，教师做到详略有度，先呈现两条互相垂直的线段，引发学生进一步的思考。当学生想象出对角线是6cm的正方形时，教师就让学生计算这个正方形的面积。

3.组合变化，提高解题能力。

（1）动态变化出组合图形。

师：刚才我们又通过已知一条线段，想象出了正方形和圆。下面请大家继续想象，你能把这些基本图形组合成新的图形吗？

学生又一次进入想象，几分钟的思考后，教师根据学生的描述，利用投影演示组合过程。屏幕上呈现了如图11的三个组合图形。

图11

图12

（2）列式计算。

①在图11中每一小方格的边长表示1cm，请你分别计算出每个图形阴影部分的面积。

学生独立计算后，教师组织反馈评价。接着教师再次利用投影，把图11中的第三个图形的下半部分去掉，呈现出图12的组合图形，并提出以下计算要求。

②计算右图中阴影部分的面积和周长各是多少？

通过独立计算，反馈交流，学生进一步理解了以下计算方法。

阴影部分的面积：半径是6cm的大半圆面积，再减去一个直径是6cm的小圆面积。

阴影部分的周长：半径是6cm的大圆周长的一半，再加上一个直径是6cm的圆的周长。

【评析】　这一环节，杨老师巧妙利用了上一环节的素材，继续引导学生对组合图形进行想象。通过想象和投影的动态观察，使学生直观地看到这几个组合图形是如何从两个或几个基本图形组合而来的。这一过程看似简单，但它动态地揭示了每一个组合图形的特征，拓展了学生的想象空间，激发了学生对组合图形计算的兴趣。最后，杨老师还利用上一题的图形，引出由一个大半圆和两个小半圆组合成的阴影，并要求计算出这个阴影部分的周长和面积。通过这一题，对周长与面积的计算又进行了一次深度探究。

纵观以上教学，我们更坚信：“图形与几何”的教学，除了要求学生掌握图形的特征、计算它们的周长和面积外，更重要的是让学生认识到图形的动态变化，尤其要在头脑中建立“等积变换”的思维模式。要达到这样的目的，上述的教学给了我们很好的启示。在杨老师的课堂上，我们看到每个学生都兴致盎然地投入到想象之中，所以能达到这样的教学效果，最重要的是我们创设了能促使学生想象的素材。这样的素材看似简单，却给学生带来了丰富的想象空间，较好地拓展了学生的思维。