一道考查学生动手操作能力的数学题

一道考查学生动手操作能力的数学题

学生做题要注意发现题目本身所蕴含的规律，然后从规律入手解决问题。但是在具体教学实践中，有的问题如果一味地从寻找规律入手，解决起来反而会既费时又费力。

例如初一期末考试有这样一道填空题:100个人排一列，从1到100报数，奇数出列偶数留下，剩下的人再报数，奇数再出列偶数留下，依此类推直到最后一个人。问:这最后剩下的一个人在首次报数时报的是()号。

下面给出多种解法。

1．动手操作法

考虑到这是一道数学填空题，我们可以用动手操作的方法去解决:先在草纸上写出从1到100这100个数字，然后用橡皮从第一个数字开始，隔一个数字擦去一个数字，第二次再从头隔一个数字擦去一个数字，依此类推一遍一遍擦个不停，30秒钟就会完成任务，只剩下64这个数字了。

2．找寻规律法

该题也并非无规律可循，但是很麻烦，这里给出推理过程:

首次报数:1、2、3、4、5、6、7、8、9……100

第一次剩下的人，在最初的报数为2、4、6、8、10、12……都是2的倍数(下去50人，还剩下50人);

第二次剩下的人，在最初的报数为4、8、12……都是4的倍数(下去25人，还剩下25人);

第三次剩下的人，在最初的报数为8、16、24……都是8的倍数(下去13人，还剩下12人);

第四次剩下的人，在最初的报数为16、32……都是16的倍数(下去6人，还剩下6人);

第五次剩下的人，在最初的报数为32、64、96……都是32的倍数(下去3人，还剩下3人);

第六次剩下的人，在最初的报数为64……是64的倍数(下去2人，还剩下1人);

这个留下的人在首次报的数应是64的倍数，而在1至100中，就只有64，所以这个人的首次报数为64。

3．理论推导法

如果到高中阶段可以用学过的数学知识去解决，这里也给出推理过程:

假设m个人排队，最后剩下的会是几号呢?

第一次报数:1、2、3、4、5、6、7、8、9……m

第一次报数后剩余:2、4、6、8、10、12……

第三次报数后剩余:4、8、12……

第四次报数后剩余:8、16……

由此可以看出每次报数时的第一人在第一次报数时的号数组成一组以1为首项、以2为公比的等比数列:

1、2、4、8、16……

则通项aⁿ=2^n－1(这里n就是报数的次数，aⁿ就是最后剩余的人在第一次报数时的号数)

显然＜2^n－1≤m

＜n－1≤log₂m

当m=100时，代入上式有:

log₂50＜n－1≤log₂100

5.64＜n－1≤6.645

即:n－1=6

所以2^n－1=2⁶=64

比较以上几种解法，不难看出该题放在初中解决并不是要考查学生的逻辑推理能力，而是要考查学生的动手操作能力。

当然，如果人数比较多时(比如2012个人排队)，再用动手操作的方式也会变得不切实际，建议大家尝试其他解法。

2003年11月10日