数学发展的自身基础是什么? 自古以来，数学就走上了抽象化、形式化的道路. 这条道路就是数学发展的康庄大道.
在数学发展的早期，数学的概念就是很抽象的，就与任何特殊事物脱离了联系. 但这时，它们仍有直观背景，是从经验中抽象出来的，是现实事物的观念化和理想化. 而数学的概念和理论仍具有物理意义，即所谓乡土气息，数学的形式与内容结合得比较紧的，然而，随着数学的发展和数学严密性要求的提高，以及形式化程度的提高，数学概念与现实的联系越来越少，乃至于无影无踪. 数学概念就是数学语言，变成了词项或符号的叙述，数学理论变成为形式系统. 于是数学只剩下形式的表象，它的内容以逻辑结构的形式而独立存在，这是数学发展的需要，也是数学发展的必然结果.
数学的抽象形式有两种: 第一，理想化. 例如，欧几里得建立的几何体系. 它的基本对象和公理来自现实，来自经验，点、线、面是现实中的理想物，点无大小，线无粗细，面无厚薄，在现实中是不存在的，欧几里得以公理为红线，把基本对象构成的几何知识与逻辑联系起来，建立了一门独立的演绎的几何学. 这不仅是人脑对经验的加工，更是人类精神的创造活动. 不仅如此，欧几里得给出的几何空间，也是现实空间的理想化.
17世纪，牛顿、莱布尼兹创立的微积分，其基本概念是连续、导数、积分等，实际上也是现实原型的理想化. 数学的概念与现实中的原型已经有了质的差别. 这种差别表现在，经过理想化的数学概念已经独立于现实原型，并超越了经验因素，是精确的、清晰的、完善的; 而从数学角度看，现实的原型则是粗糙的、不完善的，不便于数学处理.
第二，从抽象到抽象，或者说更高的抽象.
理想化是数学抽象的初级形式，在欧氏几何中，点、线、面是已经定义过的，是一次抽象. 解析几何创立以后，人们用数组和方程来表示它们，把x，(x，y)，(x，y，z)看作基本对象，抛弃几何对象的独立特征，说x为直线上点; (x，y)是平面上的点， (x，y，z)是空间中的点. 一次方程: L=ax+by+c=0表示一条直线，一次方程: L=ax+by+cx+d=0表示一个二维平面，d=
表示平面上两点间的距离，而d=
空间中两点距离;还可定义平面上两直线的交点和空间中有三个平面的交点，等等. 这显然是点、线、面的第二次抽象.
有了二维平面和三维空间的解析观念之后，引入四维空间，甚至n维空间就很自然了，但这又是一次抽象. 所以说从抽象到抽象是更高的抽象，是抽象的高级形式. 用抽象的高级形式所建立的数学概念或理论，在现实生活中是难以找到原型的. 采用从抽象到抽象的形式，在非欧几何、n维空间、群论以及许多其他数学理论的创立中，是十分明显的.
数学形式化的重要推手，是数学使用了符号和逻辑演绎. 数学之所以能迅速发展并如此有效，是数学符号和演绎推理为表达数学思想提供了方便的手段，是数学有力的常规武器.
以符号逻辑演绎为外衣的形式化、抽象化，使数学成为严谨的知识体系. 数学理论的逻辑结构能突出地表现出来，为人们探索和确定未知的数学形式提供类比的基础，得到借鉴和启发.
数学的形式化和抽象化是数学理论内部发展的需要和结果，数学家根据数学自身发展的需要，在已有形式的基础上加以改造或推广，得到更一般的形式，无疑是伟大的创造.
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