数学史上三次重大危机，都是数学体系内的问题而引起的，而危机过后便是春意盎然，百花齐放.
毕达哥拉斯学派成员在应用勾股定理解决数学问题时发现正方形的对角线与边长的比不能表成整数或整数之比，是逻辑演绎的结果，无法从数学中排除，但与毕达哥拉斯的观念相悖，引起了数学史上“第一次危机”. 不可通约悖论，深刻地揭露了有理数和连续变量之间的矛盾，提出了数系的扩张问题，而以承认无理数的存在和实数理论的建立圆满解决. 这个过程持续了2000余年，第一次数学危机促使无理数这一重要角色登场，揭穿了毕达哥拉斯“万物皆数”的数只是整数与分数的观念是产生危机的根源.
第二次数学危机是由于当初建立微积分理论时，对无穷小量的定义含糊而引起的.牛顿、莱布尼兹在推演的过程中，时而把无穷小量当作零，时而又当作非零，被英国大主教贝克莱(G.Berkeley，1685—1753)攻击为“逝去了的量的鬼魂”，从而提出了微积分理论严格化问题. 最终以柯西(A.L.Cauchy，1789—1857)极限理论、康托尔集合论和戴德金实数理论的建立而得到克服.
集合论创始人康托尔(G.G.L.Canter，1845—1918，德国数学家)是无穷领域的探险家. 他在19世纪末20世纪初发表的关于集合论、超限数论著，让整个数学界乃至哲学界感到震惊，这种革命性的理论，一时难以被多数数学家接受，特别对康托尔所建立的定理:
一个集合与它的幂集间不可能建立一一对应. 幂集的势大于原集合的势. 即如果一个集合的势是a，则其幂集的势为2a， 2a＞a. 说明无穷有无穷多层次，没有最大的无穷.
许多数学家不理解上述定理. 尤其是“连续统假设”——在自然数集的势与实数集的势之间不存在其他的势. 虽然如此，由于集合论成功地应用到了其他的数学分支，并成为数学的基础，从根本上改造了数学结构，最终得到了数学界的承认.
由于集合论的使用，数学似乎已经达到了“绝对的严格”. 也由于康托尔没有给集合以明确的概念和建立一套公理系统，无法消解自身的矛盾. 康托尔曾证明了: 对于任意给定的超限数，总存在一个比它大的超限数，所以不存在最大的超限数. 说明康托尔本人已经觉察到集合论中的矛盾了. 考虑这样一个集合，它的元素是所有可能的集合. 可以肯定，没有一个集合含的元素个数比这个集合的元素的个数多. 如果情况果真如此，怎么可能有一个超限数比这个集合的超限数大呢? 1902年，罗素(Russell Bertrand，1872—1970)提出了一个问题，即一个所谓“罗素悖论”，引爆了第三次数学危机. 掀起了20世纪初期数学界的一次大辩论，并把数学推向了一个新阶段.
1908年，经法国数学家策墨罗(E.Zermelo，1871～1953)提出并由弗伦克尔(A.A.Fraenkel)等数学家加以改进，得到一套公理系统. 简称ZFC公理系统，这是目前公认的彼此无矛盾的公理系统，既可消除一切矛盾，又使康托尔集合论一切有价值的东西得到保留，于是从集合论中剔除了罗素悖论，解除了第三次数学危机. 这使有的数学家十分乐观，认为数学不再会有危机了; 有的则不然，法国数学家庞加莱(H.Poincare，1854—1912)说: “为了防备狼，羊群已被圈起来了，但却不知道圈里有没有狼.”第三次数学危机之后，数学当中仍有树欲静而风不止的感觉.
我们看到，数学危机并没有遏制数学的发展，每一次危机过后，数学知识都在大量增长. 所谓数学危机实际上是新思想突破旧思想的燥动，而这些新思想是先前思想的逻辑结果，新的数学知识是旧的数学知识体系腹内的婴儿，是数学创造的结果.
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