数学的本质

数学的本质

数学的本质是什么？

匿名用户

最简略的回答：数学是抽象。 

数学研究的是抽象概念，运用的是抽象方法，数学的发展体现为抽象程度的逐渐深入。 

但是深入的话，数学的本质并没有定论，我将在下面分三个部分展开。 

1. 普通数学

对应于维基上说的现实主义数学，逻辑主义数学。大多普通群众，科研工作者和很多数学家，都采取这些观点。在这些观点下，数学与现实紧密结合，其应用因此也非常广泛。 

这其中比较肤浅的是： 

数学是生产生活生存的需要，比如几何是为了丈量土地，数学是工具。 

这个观点的代表么……马克思同学（如果他真这么说过）。所以 1＋1＝2，因为一个苹果，再来一个苹果，是两个苹果，这是从实践中总结的经验和规律。

比较靠谱的想法是： 

数学是无实体的、永恒的客观存在，是等待被人发现的自然规律。 

提问者和大多数人都有这个想法。很多数学家，包括一些大师也有这个想法。所以勾股定理不仅是丈量土地有用，还是直角三角形的普遍规律，而三角形是自然界中的对象。

另有一些数学家和不少学计算机的认为： 

数学是逻辑的一部分，是公理系统。 

这个观点在实践中还是非常流行的，并且的确非常强大。但是其中很多悖论经不住下面那个文艺数学的推敲。在这个观点下，数字和运算都是公理。

2. 文艺数学

对应于维基上的形式主义。很多数学家，很多搞哲学的，还有我个人，都持这样的观点。 

形式主义认为：数学体系是一场有一定规则的思维游戏，与现实世界完全无关。 

与前面那些观点不同的是，这个观点空前抽象和开放。我们从此开始发明各种变态规则，玩奇怪的非人的游戏。在这个观点认为，勾股定理在欧几里得的几何规则下才正确，但是我们可以发明其他非欧几何，让它不正确；数是代数结构中的元素，运算是游戏规则。 

这个观点给数学带来了空前的发展，也导致纯数学与现实严重脱节。不管有用没用，对形式主义者来说都一样值得研究。虽然对现实不再有直接的应用，但是其他学科主动去消化的话，仍然能找到很好的归宿。 

3. 二逼数学

我想提的是直觉说。很多搞认知学的，搞神经学的，大概会持这个观点…… 

直觉说认为：数学是人的大脑活动，数学都是被经历过的。 

说一个数学对象存在，是因为你可以在大脑中构造这个对象。所以一些激进点的人会否认「无穷」这个概念的存在。我的一个认知学老师这样对我们说：数学家们经常觉得自己来了灵感，其实他们就是学了很多之后，从经验中获得的想法，哪有什么凭空而来的点子。 

其实他们的观点我觉得有些道理，只是……类比 Sheldon 说自己有很牛的想法，而 Amy 说自己研究的就是这些想法怎么来的。

2011-11-22