故障树定性分析

6.4.1 故障树割集的概念

故障树割集，指的是故障树底事件集合中满足下列条件的子集：

设该子集为{xi1，xi2，…，xil|i=1，2，…k}；{xi1，xi2，…，xil}⊆{x1，x2，…，xr}。当xi1=xi2=…=xil=1时，Ψ（X）=1，即该子集中所包含的全部底事件都发生时，顶事件T必然发生，则这样的子集即为故障树的割集，k为割集数。

故障树最小割集，指的是满足下述条件的割集：

若将此割集中所包含的底事件去掉任何一个，都将使原割集不再成为割集，则这样的割集即是最小割集，记作Mk（X）。

6.4.2 最小割集寻找方法

在故障树分析法出现的初期，人们常用蒙特卡罗法（数字仿真法）来寻找故障树的最小割集。这种方法只能保证找出来的是最小割集，但很难保证找到所有最小割集。因而，该法在一定程度上阻碍了故障树分析法的发展。进入20世纪70年代后，寻找最小割集的方法不断涌现，从而使得故障树分析法有了长足的进展。在这些寻找故障树最小割集的方法中，下行法和上行法是公认的比较好的方法。

1）下行法

下行法是从顶事件开始，从上到下逐步将顶事件转换成底事件的集合形式。这些集合就是故障树的割集。为了说明下行法的基本原理，我们可以先来观察如图6- 35所示的逻辑门所反映的情况。

图6-35 逻辑门

图6-35（a）是一个逻辑“或”门，所代表的逻辑表达式为

T=A∪B 或 T=A+B（6-1）

即输入事件A、B中任何一个发生，输出事件T就发生。很显然，此时故障树的割集有两个：{A}和{B}。

图6-35（b）是一个逻辑“与”门，所代表的逻辑表达式为

T=A∩B 或 T=A·B 或 T=AB（6-2）

即输入事件A、B同时发生时，输出事件T才发生。很显然，此时故障树的割集只有一个：{A，B}。

如果把输入事件再加多，将会发现：“或”门只增加割集的个数。“或”门下有多少个输入事件，该门就变成多少个割集。“与”门只增加割集的大小。“与”门下有多少个输入事件，则此割集中就增加多少个事件。

这样，可以归纳出下行法的具体法则：

从顶事件开始，一个门就代表一个结果事件。顺次将门用其输入事件置换。若是“或”门，则增加割集的个数，输入事件纵向列出，若“或”门下有n个输入事件，则含有这个“或”门的割集都将变成n个割集。这n个割集分别由这n个输入事件置换原割集中的相应“或”门而得到。如果遇到“与”门，则增加割集的大小，则输入事件横向列出。如果这个“与”门下有m个输入事件，则用这所有的m个输入事件去置换割集中的相应的“与”门。如此不断地置换下去，直到所有的门都被底事件所代换为止。此时得到的割集是包括全部最小割集在内的割集，称为布尔视在割集（BICS）。

利用布尔代数中的吸收律和等幂律式（6-3）和式（6-4）对全部的布尔视在割集进行吸收和去复处理，即可得到全部的最小割集：

xy∩y=xy（6-3）

xy∪y=y（6-4）

例6.1 利用下行法寻找如图6-36所示故障树的全部最小割集。

图6-36 故障树

解：图6-37给出了用下行法找出图6-36所示故障树的全部最小割集的过程。

图6-37 下行法寻找最小割集

图6-37最后一列有四行元素，表示本故障树有四个最小割集：

{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{x4，x5}

2）上行法

上行法是以对最低一排逻辑门的置换工作开始的。将最低一排逻辑门用其输入事件的逻辑函数来置换[见式（6-3）和式（6-4）]。再将其上面一级的逻辑门用其输入事件的逻辑函数表示。如此不断地进行下去，直到将顶事件表示为底事件的积之和式为止。这些积式就是最小割集中所有元素之积，而积式的个数就是最小割集的个数。上行法的具体做法可由下例说明。

例6.2 用上行法寻找上例中故障树的全部最小割集。

解：从图6-2的最下一排逻辑门开始置换：

G4=x1∪x2

G5=x1∪x3

G6=x2∪x3

G3=x4∪x5

然后置换上一门逻辑门，并化成积之和形式：

G2=G4∩G5∩G6=（x1∪x2）∩（x1∪x3）∩（x2∪x3）

=（x1∪x1∩x2∪x1∩x3∪x2∩x3）∩（x2∪x3）

=x1∩x2∪x1∩x2∩x3∪x2∩x3∪x1∩x3

最后置换顶事件：

T=G2∪G3

=x1∩x2∪x1∩x2∩x3∪x2∩x3∪x1∩x3∪x4∩x5

=（x1∩x2）∪（x2∩x3）∪（∪x1∩x3）∪（∪x4∩x5）

运算中用了等幂律和吸收律，得出故障树有四个最小割集：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2， x3}，{x4，x5}。所得的结果和下行法所得的结果是完全一样的。

故障树的定性评估是建立在最小割集基础上的。最小割集描述的是系统故障的组合规律，即哪些单元的故障组合将导致系统故障。显然，最小割集的关键是与底事件的阶数是相关的。通常，一阶最小割集比二阶或更高阶的最小割集重要。对于一阶最小割集，当底事件发生时，顶事件立即发生。而对于二阶最小割集，只有当两个底事件都同时发生时，顶事件才生。因此，如果最小割集只含有单个底事件，那么这个单元就可认为是系统薄弱环节。