狭义相对论证明以太不存在

爱因斯坦从他提出的两条基本假设（光速不变原理和相对性原理）出发，利用线性代数理论，推导得出了洛伦兹变换——电磁波波动方程在不同参照系变换时满足的坐标变化等式。这表明只要承认真空的光速保持不变，舍弃光速的伽利略变换关系，相对性原理对以光速运行的电磁波是适用的。因此，这个结论拓展了相对性原理的适用范围。另外，从洛伦兹变换等式可以看出空间和时间不是独立变化的，这改变了从牛顿以来形成的绝对时间（一维）和绝对空间（三维）的概念，建立了新的时空观——四维时空。在新的四维时空里，一个物体的质量不再是不变量，它与能量一起满足守恒定律。

一、建立背景

狭义相对论是在光学和电动力学实验同经典物理学理论相矛盾的激励下产生的。19世纪末到20世纪初，人们发现了不少同经典物理学理论相抵触的事实：

（1）运动物体的电磁感应现象。例如一个磁体和一个导体之间的电动力的相互作用现象，表现出运动的相对性——无论是磁体运动导体不动，还是导体运动磁体不动，其效果一样，只与两者的相对运动有关。然而，经典的麦克斯韦电磁场理论并不能解释这种电磁感应的相对性。

（2）真空中的麦克斯韦方程组在伽利略变换下不是协变的，从而违反了经典物理学理论所要求的伽利略变换下的不变性，即与伽利略相对性原理相悖。

（3）测定地球相对于“以太媒质”运动的实验得到否定结果，同经典物理学理论的“绝对时空”概念以及“以太媒质”概念产生严重抵触。

爱因斯坦在青年时代深入思考了这些实验现象所提出的问题，形成了一些新的、重要的物理思想。他认为以太媒质的引入是多余的，电磁场是独立的实体。他进一步猜想电动力学和光学的定律与力学的定律一样，应该适用于一切惯性坐标系。他还认为，同时性概念没有绝对的意义：两个事件从一个参考系看来是同时的，而从另一个相对于这个参考系运动着的观察者看来，它们就不能再被认为是同时的。在这些物理思想的推动下，爱因斯坦提出了两个基本假设（公设）：①凡是对力学方程适用的一切参考系，对于电动力学和光学的定律也一样适用，即相对性原理适用于一切惯性系；②光在真空中的速度同发射体的运动状态无关，即真空中的光速不变。爱因斯坦在这两个公设的基础上建立了狭义相对论。

二、建立该知识点所经历的困难及曲折

人们在研究机械波（例如声波）的传播过程中，发现机械波的传播必须有弹性介质。当时的物理学家认为可以用这个框架来解释一切波动现象。19世纪中期麦克斯韦建立的电磁理论指出光是电磁波，并提出了光在以太中传播的假说。以太假说的主要内容是：以太是传播包括光波在内的电磁波的弹性介质，他充满整个宇宙空间。以太中带电粒子振动会引起以太变形，这种变形以弹性波的形式传播，这就是电磁波。人们进一步认为以太就是人们一直在寻找的绝对静止参考系，只有在这个参考系中光速才是与方向无关的恒量。因此，人们开始积极地寻找“以太”的存在。虽然迈克尔逊和莫雷经过近50年的实验从未观察到地球相对于“以太”的运动，但人们为维护“以太”观念还在做各种努力。如洛伦兹等人提出，可能是地球拖着“以太”一起运动，地球和以太之间没有相对运动了，当然测不出速度的差别，但是这一想法又被天文上的光行差实验所否决。爱因斯坦则放弃了以太即否定绝对静止参考系的存在，建立了狭义相对论，并提出了全新的时空观。

三、狭义相对论的数学描述及物理解析

1．狭义相对论的两条基本假设

（1）相对性原理——在所有的惯性系中物理定律的形式相同。各惯性系应该是等价的，不存在特殊的惯性系，即事物在每个惯性系中规律是一样的。

（2）光速不变原理——在所有的惯性系里，真空中光速具有相同的数值，包括光速与光源运动无关；光速与频率无关；光速与传播方向无关。

2．狭义相对论运动学的核心——洛伦兹变换

爱因斯坦在上述两个假设的基础上，利用数学线性代数的逻辑非常自然地推导出两个惯性参照系描述同一质点运动的时间和空间之间的关系。这个关系式恰好与洛伦兹在讨论电磁波波动方程协变性所需要的变换式相同，所以称之为洛伦兹变换。洛伦兹变换是基于以太存在的前提下，电磁波波动方程不满足伽利略变换协变性而提出来的一个新的变换式，但洛伦兹没有给出这个变换式的理论根据。爱因斯坦从他的两个基本假设出发推出了这个变换式，给出了这个变换式成立的理论基础。后来，这个变换式进一步成为狭义相对论的基本方程，但仍然叫洛伦兹变换。下面我们从爱因斯坦的两个基本假设出发来证明洛伦兹变换。

讨论一个从t=0时刻，在x=0位置发出的光波在∑系和∑′系（在t=0时∑′系与∑系重合，以后∑′以v沿x轴方向运动）中的情况，假设x是∑系t时刻质点的位置，对应∑′系为x′，t′，根据：

（1）时空均匀性（因为时空是均匀的，不同参照系坐标之间的关系应该是线性关系），有

x=γ（x′+vt′）（6-1）

（2）相对性原理，有

x′=γ（x-vt）（6-2）

（3）光速不变原理，有

x=ct（6-3）

和

x′=ct′ （6-4）

其中时空均匀性条件不是新的原理，一个固定的物体放在空间任一位置无论何时长度都是相同的，这是非常直观的。由简单的推理可知均匀时空的坐标变换是线性的，因为若设x=ax′2+bt′，则任一瞬间（dt′=0）测量一个物体长度dx=2ax′dx′。可见对∑′系任一个dx′放在不同的x′，对∑系来说长度是不同的，也即对∑系，空间是不均匀的不符合直觉。因∑′与∑是等价的，∑′系变到∑系有x=γ（x′+vt′），则∑系变到∑′就一定有x′=γ（x-vt），可见相对性原理对不同的惯性系是公平的。最后由光速不变原理给出的两个关系，看起来费解，却有实验支持。这样解式（6-1）～式（6-4）这4个方程组成的方程组可得从∑系到∑′系的变换：

或者从∑′系到∑系

式中，γ=是洛伦兹变换系数，式（6-5）和式（6-6）式分别称为洛伦兹正变换和洛伦兹逆变换。洛伦兹变换第一次统一了时间和空间，统一了高速世界和经典力学研究的低速情况。当v≪c时，γ=1，即洛伦兹变换变成了伽利略变换。

3．狭义相对论时空观

1）同时的相对性

由Δt=，当Δt′=0时，由于Δx′≠0，所以Δt≠0，即在∑′系同时发生的两事件在∑系的观察者观察到的是非同时发生的两事件。我们说“同时”概念是相对的——相对于你选择的参照系。

2）运动时钟变慢

同样由Δt=，因运动时钟在与时钟一起运动的参照系中静止， Δx′=0，则Δt=γΔt′＞Δt′，即相对时钟运动的观察者观察到的时间较长，或者说运动时钟变慢。

3）运动的长度缩短

在∑系中测量∑′系中物体长度时要求Δt=0，由Δx=Δx′／γ+vΔt得Δx=Δx′／γ＜Δx′，即处在∑′系中的尺子在∑系中的观察者测量到的长度较小，或者说运动尺子变短。

4．狭义相对论动力学

1）相对论质量

在∑系中质量为m0的A球以v沿x方向运动，运动质量为m，另一质量也为m0的B球处于静止状态。当球A运动到B球位置时，两球发生完全非弹性碰撞，碰撞后速度为ux。∑系中的A、B球运动满足动量守恒定律，有

（m+m0）ux=mv（6-7）

同样地，在相对∑系以v运动的∑′系上（A球上的观察者）观察到球B以相对∑′系的速度-v运动，两球相碰发生完全非弹性碰撞，碰撞后两球的速度为u′x，对∑′系由动量守恒，有

（m+m0）u′x=-mv（6-8）

再根据参照系的速度变换式：

解由式（6-7）和式（6-8）组成的方程组就得到

式（6-10）就是相对论的质量表达式，它说明物体质量m随物体的速度v增加而增加。

2）相对论质能关系

单个粒子在外力F作用下移动一段路程使得动能从0增加到Ek，根据动能定理，A=ΔEk，其中A为移动这段距离F所做的功，所以有

d Ek=F·dr=F·vdt=v·Fdt

=v·dp=d（vp）-pdv

（6-11）

对式（6-11）积分即可得

如果把m0c2视为物体处于静止状态的能量，则mc2就是物体的总能量，即

E=mc2（6-13）

3）相对论动量与能量的关系

我们将相对论质量表达式（6-10）两边平方后乘以c4，可得

将p=mv，E=mc2代入上式得

式（6-14）即是相对论能量与动量的关系式，它与经典物理中动能关系式E=mv2有明显的不同，但在v≪c时，式（6-14）就变为经典物理的动能表达式。

四、狭义相对论的科学意义及对人类生活的影响

1．狭义相对论否定了牛顿力学的绝对时空观而建立了新的时空观

经典物理学是以牛顿力学为理论基础的，它的时空观基本思想是：

（1）时间是均匀的，时间间隔是绝对的，在不同的参照系测得的时间间隔是相同的，即Δt=Δt′。

（2）空间是各向同性的，长度是绝对的，空间间隔与参照系无关，即Δx=Δx′。

（3）时间和空间是相互独立的，彼此之间没有任何直接联系。

似乎宇宙间存在着一个永远走动的大钟，在任何情况下，它的速率永远都是相同的，世界上的一切运动在时间上都是以它为度量的标准。伽利略变换正是经典时空观的集中体现。

狭义相对论否定了经典力学的时空观，建立了相对论的时空观，内容包括：

（1）时间不是绝对不变的，而是具有相对性，时间间隔的度量与参照系的运动状态有关。

（2）空间不是绝对不变的，也具有相对性，空间间隔的度量与参照系的运动状态有关。

（3）时间与空间有着密切的联系，孤立的时间和孤立的空间都是不存在的。

洛伦兹变换是相对论时空观的具体体现。广义相对论的建立，进一步揭示出时空与运动着的物质是密不可分的，不存在脱离物质运动的绝对时间和绝对空间，换句话说，抛开物质的运动谈时间和空间是没有意义的。

2．狭义相对论否定了牛顿力学中物体质量绝对不变的观点

宏观物体在低速运动的情况下，物体的质量视为不变的；而当物体的运动速度可与光速相比拟时，狭义相对论明确指出：物体的质量不再为常量，而是随着物体的运动发生变化的。即当物体高速运动的时候，其质量会随物体运动速度的增大而增加，质速关系式清楚地揭示了这一变化关系。

3．狭义相对论否定了牛顿力学中质量与能量互不相关的思想

牛顿力学认为质量与能量是两个意义完全不同的物理量，彼此之间互不相关；而狭义相对论则认为质量与能量之间有着密切的关系，质能表达式便是很好的体现。而质能关系的建立为新能源的开发提供了理论依据。裂变反应能和聚变反应能的利用便是典型的事例。相对论与量子理论相结合，已建立起诸多的新兴学科、交叉学科和边缘学科。相对论量子力学、量子场论是相对论和量子理论相结合最具代表性的产物。其中量子电磁场理论已是当今世界相当精确的理论，理论预测与实验结果高度符合，很难想象在低能区相对论与量子力学之间存在着什么矛盾；在极高的普朗克能区，两者尚需进一步发展，其结果将会统一在新的理论之中。

五、课后练习

6-1 π+介子是一不稳定粒子，在静止参照系中测得它的平均寿命为2．6× 10-8s，若此种粒子相对于实验室以0．8c的速度运动，则：

（1）在实验室参照系中测量的π+介子的寿命是多长？

（2）该π+介子在衰变前运动了多长距离？

6-2 原长为600m的火箭垂直从地面起飞，到达某一高度后匀速飞离地球。为测得此时火箭的速度，在t=0时刻，由地面发射一光脉冲，并在火箭的尾部和头部的镜上反射。若在t=200s时，地面同一地点接收到尾部反射光，接收到头部反射光的脉冲比尾部反射光的脉冲迟了17．4×10-6s，计算：

（1）火箭相对地球的速度；

（2）火箭上观察者测得头尾两反射镜收到光脉冲的时间差。

6-3 一个电子从静止开始加速到0．1c，需要对它做多少功？若速度从0．9c增加到0．99c又要做多少功？

6-4 太阳的辐射能来源于太阳内部一系列的核反应，其中之一是氢核和氘核聚变为氦核，同时放出γ光子。反应方程为

如果我们已知氢、氘和氦核的原子质量依次为1．007825u，2．014102u，3．016029u，其中u为原子单位，1u=1．66×10-27kg，试估算γ光子的能量。