哥德尔和其他人关于概念实在性的观点

迈克尔·德特勒夫森

引言

本章研究这样一个问题：我们在获取数学知识方面是否存在某些可用来支持实在论者所持数学观点的特征？更具体地说，这种观点在推理上反映为是否能将下述论断：

Ⅰ.数学家们普遍相信，他们的推理是发现过程的一部分，而不是单纯的发明，

转换为这样的论断：

Ⅱ.数学实体存在于人的心灵可接近的纯粹理性世界。

为了方便起见，我将这个论断当作论证的原始出发点。

对于Ⅱ中“理性（noetic）”一词需要给予简短的评论。传统上它被用来表示某种类型的领悟（apprehension），理解（noēsis[24]），其特点是具有独特的“知识”性质。通常它与“感觉”相对照，后者是指广泛的感性认知（也称“体验性”认知）或直观。要想很准确地确立某些方法来将非感性实在的知识经验与物质对象的感性经验进行对比，以观察二者之间相似还是相去甚远，这个问题既饶有兴趣又很困难。困难在于“理解”的深度在何种程度上才算满足。因此这样的比较是我们主要关注的问题之一。

经验和非自愿性：背景

在柏拉图看来，理解的对象是形式。他认为，形式不仅表现为经验，同时也超越经验。另一方面，经验主义者一般则将知识性领悟与对概念（concept）或观念（idea）的领悟联系在一起。这些领悟，如果合乎一定的法则，便构成由对感官体验的抽象而得到的心理表象。

康德非常强调两类表象——直观和概念——之间的区别。他认为，二者之间的重要区别就在于它们在具有判断能力的行为者的控制上处于何种程度。概念被认为是自发的（见康德《纯粹理性批判》，第76页[25]），或能通过判断者自身的知识能动性而变得存在（同上，第439页；Kant，1781：1990，A639/B667）。而直观则不是这样。但最后，康德要求真正的或合法的概念是一致的（同上，第154页；Kant，1781：1990，A150/B189）。因此创建或生成这些概念的自由是一种有约束的自由。

尽管这样，康德看出了在我们对概念的控制与我们对直观的控制之间存在的重大区别（同上，第52页，第107页；Kant，1781：1990，A19/B33，B132）。他将直观及其关系看成是预先给定的，而不处于我们的心灵自发产生的控制之下。另一方面，概念则可以这样来产生，因此不能确保它们一定能由对象来展现。

……即便在我们的判断中没有矛盾，它也依然能够像对象并不造成的那样来联结概念，或者并没有一个不论是先天的还是后天的根据被给予我们来赋予这样一个判断以权利；于是，一个判断不论怎样没有任何内在矛盾，也毕竟可能或者是错误的，或者是没有根据的。

康德《纯粹理性批判》，

第154页（Kant，1781：1990，A150/B190）[26]

康德对概念和直观之间的这种不对称性的接受提供了一种与当代关于概念性质的观点相对比的非常有趣的观点。具体而言，它似乎与哥德尔在20世纪40年代、50年代和60年代发表的各种奠基性著作中所提出的关于概念性质的观点（见Gödel，1947：1990）大相径庭。下面我们转向探讨哥德尔的观点。

就表象作为其客观性标识的非自愿性这一点而言，哥德尔与康德的意见是一致的。然而，与康德将我们对数学概念的使用看作本质上是创造性的或自愿的[27]不同，哥德尔认为它明显是非自愿的。因此，与康德相反，哥德尔认为，

……尽管它们远离感官经验，但我们对集合论的对象确实有某种类似知觉的经验，这一点可以从那些公理强迫我们接受其为真的事实中看出。我看不出有什么理由我们为什么对这类知觉的信心，即对数学直觉的信心，要比对感性知觉的信心弱。

Gödel（1947：1990，第268页）

事实上，哥德尔更看重我们对概念领悟的这种非自愿性。他相信，这种非自愿性有一种类似知觉但仍属于非感官性质的特性。他还认为，它产生知识的途径是一种既独立于我们心灵的自愿行为又独立于非自愿倾向的重要途径。

我的印象是……柏拉图主义者的观点是唯一站得住脚的。对此，我的意思是，数学描述了非感性实在，其存在既独立于人类心灵的行为也独立于心灵的倾向，它只能被人的心灵知觉到，尽管这种知觉可能非常不完整。

Gödel（1951：1995，第322～323页）

然而，尽管抱有这些实在论的信念，哥德尔还是对约定论的某些观点做出了让步。具体而言，他认为约定论者正确地认识到数学是关于概念而非生理或心理属性的学问（见Gödel，1951：1995，第320页）。他说，他们还正确地相信，从一定意义上说，数学真理的真理性在于其词项（terms）的意义——具体点说，就在于由这些词项所表达的概念（同上）。如果说约定论者在哪儿出了问题，他认为，问题一定出在将这些意义看成是由约定确定的这一点上（同上）。在他看来，这里的真理毋宁说是

这些概念构成其自身的客观实在，这种客观实在性不是我们能创建或更改的，我们只可以感知和描述它。

Gödel（1951：1995，第320页）

由此可见，按照哥德尔的观点，数学概念是被发现而不是由约定行为或其他心理行为和倾向创建的。类似的断言对与这些概念相关的真理同样适用（如上）。在他看来，这些断言的主要依据正是这种非自愿性——与数学概念有关的真理“强迫”我们接受其为真。哥德尔认为，这种非自愿性是它们独立于我们的创造力的信号标志，他认为我们的创造力主要由我们的心理倾向和我们行使自愿的心理行为的各种能力构成。

哥德尔的现象学论证

哥德尔原始论证的修正版强调了他将之当作我们的数学经验的广泛的现象学特征的那种属性——即我们的基本数学知识的非自愿性。与原始版本的论证在一开始就阐述的不同，新版本几乎没有对下述事实（如果这是事实的话）——数学家们普遍相信，他们从事的是发现而不是发明——附加任何意义。

他的论证的核心要素是断言：

1.有关数学概念的命题内容“强迫”我们将其作为真理接受下来，其方式类似于命题内容通过感性经验给我们留下印象的方式。

他似乎还进一步认为，

2.这种强加的特点最好解释为将其看成是人类的类似于知觉经验的结果，人类的存在和特性均独立于我们的（个人的和一般的）心理行为（例如，约定或规定的行为）和心理倾向。[28]，[29]

由此，他建议，我们可以正确地推断出

3.数学概念对我们施加一种非感官认知的影响，它们的存在和性质均独立于我们的心理行为和倾向。

因此，对我们的总体数学经验的最合理的考虑意味着

4.数学信念是关于我们发现而非（例如通过规定或约定的行为）发明或创造的客观存在的事物。

总之，这便是哥德尔的论证。这种论证提供了一种比原始论证更加宽阔的表达。我觉得最有趣、最独特的是它诉诸一种假想的、与我们的数学判断（或至少是部分）有关的“强迫（forcedness）”现象，以及这样一种观念：将这种现象用作数学概念的客观实在性的证据。在下一节里我将更仔细地考虑哥德尔的上述推理，并试图通过某些方法来说明为什么它在论证数学实体的实在性问题上不同于早先的论证。

“强迫”作为实在的一种标识

哥德尔的语言，特别是他关于数学命题“强迫我们视其为真”（Gödel，1947：1990，第268页）的陈述提出了一种广泛的现象学式的推理。更具体地说，这种推理超越了我们对某些命题的明显性（evidentness）的经验。

哥德尔似乎一直特别关注基本的或原始的数学命题——那种其强迫性似乎不能由其明显隐含在（其他）强迫性命题中的那种东西来解释的命题——的明显性。不管怎么说，这似乎就是他在指出不仅集合论的某些命题强迫我们视其为真，而且集合论的公理也是如此时他心里所想的东西。[30]

哥德尔似乎考虑过，我们在数学明显性方面的某些特定经验对揭示下述问题相当灵敏：至少有一些命题是以一种类似于感觉命题通过感官经验“强加于”我们的方式“强加于”我们的。他似乎一直将这一点看成是数学实在的外部标识，这种标识是我们通过广泛的经验可以接近的。

存在——除非我错了——一个由全部数学真理构成的完整世界，我们只能通过我们的智慧来接近它，它的存在就像物理实在世界的存在，二者均独立于我们，二者均由上帝创建。

Gödel（1951：1995，第323页）

当然，这种推理也带来了许多问题。其中一些是：

Q1：外部实在的标识对于我们对感觉命题的强迫性的经验有多可靠，有多少启迪作用？

Q2：基本数学命题的强迫性与作为外部实在标识的基本感觉命题的强迫性之间的类比有多可靠，多广泛？[31]

Q1探究的是称为强迫性的感觉判断性质与引起这个性质的外部源的存在性之间的有证据的联系。对这种联系的肯定似乎需要这样一种信念：感觉判断的强迫性最好被解释成能量的某种转移——具体说来就是能量从感觉主体之外的感觉刺激源转移到感觉主体上。

按照这样一种理解，是不是感觉判断的强迫性现象就成为一种可靠的外部实在的标识了呢？我认为，这里我们需要区分两种类型的这种可靠性。一种是我称之为存在可靠性（existential reliability），或曰与强迫经验的外部信号源有关的可靠性；另一种我称之为属性可靠性（attributive reliability），或曰与带给我们感觉判断的外部源的特征有关的可靠性。

当然，有关存在可靠性和属性可靠性的例外情形，我们可以在有关感官知觉的文献中找到，这里我就不一一细述了。但我可以简单地指出一点，像某些幻觉那样的准感觉经验提供了不少案例，其中强迫性经验不是外部实在的现存的可靠标识。同样，光学错觉的著名案例则提供了属性可靠性的类似关切。

除了这些方面，我还应提到三种其他情形。第一种情形与我们对“强迫”的理解有关。当哥德尔说我们的数学经验包括命题迫使我们接受其为真的经验时，他要表达的是什么意思？一种自然的解释兴许包括以下含义：P迫使我们接受其为真意味着我们形成了一种可陈述为P的信念。

这就提出了一个重要问题——哥德尔关于所谓数学“知觉”的认识。它之所以成为问题是因为感性知觉似乎不支持上述含义。也就是说，我们有一种可陈述为P的感官经验（例如，一条线段比另一条长的经验）似乎并不意味着我们形成了一种可陈述为P的信念。有不止一种著名的幻觉（例如，蓬佐幻觉和米—勒莱尔幻觉）让我们感觉到一条线段比另一条线段长而我们并不相信它真的如此。

就是说，在感性知觉上，我们能够有一种可陈述为P的经验，但我们无法判断或相信P是否为真。感性知觉似乎是这样一种领悟形式：不是它所呈现的所有内容都像其呈现的那样真实。哥德尔的数学“知觉”是不是也同样如此呢？也就是说，数学知觉能够在某种意义上“给出”一种不管怎样都不会强迫我们信其为真的情形吗（哪怕这种方式是人为给定的）？

我不知道这个问题的答案，但这里我主要关注的不是问题的答案，而是问题本身。它展现了——如果我没有弄错的话——由Q2带来的一种特定的困难，一种我们做任何尝试——例如哥德尔尝试在感性知觉与数学领悟的类知觉形式之间进行类比——都必须面对的困难。

这个困难既不是唯一的也算不上是最严重的困难。我认为，更麻烦的是由内容虚假却强迫我们信其为真的那些感官错觉所带来的问题。这方面的一个著名例证是阿德尔贝特·艾姆斯的“扭曲的房间”。如果我们以非立体的方式来看（例如通过一个窥视孔来看）这个房间，那么它看起来就像一个由矩形窗、一方平整的水平地面以及高度和深度均相等且规整的矩形墙面构成的“立体”房间。

但当我们将几个普通对象（例如一个正常高矮的成年人和一个正常高矮的小孩）安置在房间的两侧并分别对其进行拍照，然后将照片合并成一张图像时，怪事便出现了：（例如）孩子会显得比成人还要高。

当然，事实真相是艾姆斯的房间不是普通的立体房间，尽管其外观看上去像。它的看似矩形的窗户、墙面和地板其实都是梯形的，它的墙面的高度和深度不是各处一致的，地面也不平整。这样一种看起来正常，在熟悉的对象被放置其中仍显正常的幻觉暗示我们，心理倾向能够对知觉产生影响[32]。正如R.L.格里高利所描述的那样：

显然，我们对矩形房间是如此习惯，以至于我们在观察对象时想当然地认为显得怪异的是物体（人体）的大小而不是房间的形状。但这种情形实质上是一场赌博——实际情形既可能是二者中有一个怪异，也可能二者都怪异。在这个例子里，大脑押错了赌注，因为实验者事先做了局。事实上……艾姆斯扭曲的房间的最有趣的地方是它蕴含的意义：知觉总是将宝押在可获得的证据上……妻子就不会因这种房间而看她们的丈夫显得怪异——她们看到自己的丈夫是正常人，真正奇怪的是房间的形状……（而）熟悉这种房间的人，特别是触摸过其墙面的人……会逐渐减低对其他对象的扭曲效应，并最终变得看出是什么造成了这种扭曲。

格雷戈里（Gregory，1969，第180～181页，

其中括号为本文作者所加）

因此，从某种意义上说，在某些情况下，感官知觉会将虚假内容“强加于”我们，让我们信其为真。而且，它这样做是通过深层次心理倾向的操作而非仅仅通过所涉物质对象的客观属性来完成的。

任何企图在感官知觉与数学领悟这样一种类知觉的形式之间建立类比的尝试都必须解决好这样一个问题：在数学知觉上是否存在像艾姆斯“扭曲的房间”这样的现象？具体来说，我们必须考虑：（1）虚假内容是否像真实内容一样迫使我们信其为真；（2）强迫现象作为外部对象的存在和特征的标识是否比深层次心理倾向的存在和工作机制更可靠；（3）是否存在一种类似于“扭曲的房间”情形中影响感觉判断的影响数学知觉的“熟悉”或“养成（training）”现象；[33]（4）在可靠性与偏好这种熟悉/养成的信念选择之间是否存在一种系统的关联；（5）是否存在一种可靠的唯象方法用以对由外部对象的影响产生的强迫与源自心理倾向活动而产生的强迫进行区分。

此外，还有其他问题。一个问题是一种态度何时可以被鉴别为确实是接受一项命题内容为真的态度。接受可分为各种不同的类型、程度和方式，接受的对象也千差万别。因此，单纯将我们认定事物的意识当作接受事物的态度似乎并不能给确定强迫行为的确切性质和最终来源提供指导。我们的大部分被迫接受的经验无疑是由于长期复杂的而且主要是各类无形的熏陶所现成的，我们通常根本就不知道其性质和来源。弗雷格对我们的许多判断背后所基于的习惯影响持有一种特别不连贯的观点：[34]

人们只需要用一个单词或符号往往已足够，并且会产生这样一种印象——这个恰当的名称代表某件事情。随着时间流逝，这种印象会变得如此强烈，以至于到最后几乎没有人对这件事情有任何疑问。

弗雷格（Frege，1903：1962，第2卷，§142）

自从弗雷格之后，不论是哥德尔还是其他人，都没能充分解决这些难题。虽然这不应该被看成表明它们是无法解决的，但它们激励人们对哥德尔的数学发明/发现问题的似乎真实的理解采取另一种考虑。现在我就来谈谈这类别样的考虑。

传统上的考虑

哥德尔的观点与关于发现与发明问题的更重要的传统观点之间有共同之处。广义上讲，这个共同的关注点就是数学的客观性。更准确点说，二者共同的关注点表现在对数学上某类主观性的限定上，特别是对那些与可能合法使用“创造”或“发明”概念有关的主观性方面。现在我来简要概述一下历史文献中有关这个问题的较有趣的内容。

古代观点

在古代，数学在何种程度上谈得上是创造或发明是个共同关注的问题。但是，翻阅古代文献，我们很快就发现这里存在着用语上的差异。具体来说就是，我们当今所用的“发现”一词的意思与古人在使用该词的所指是相当不同的。

这一点从西塞罗（公元前106～公元前43）对这个语词的使用便可以看出。他区分了两类用于（包括数学在内）任何思想领域内进行细致、系统研究的方法。一类方法他称为“发现”的方法（Cicero，1894～1903，第459页），另一类方法称为“决定”的方法（同上）。随着时间的推移，这种区分成长为两类艺术之间的传统门类：发明的艺术（发明的艺术、发现的艺术或研究的艺术）和裁决的艺术（裁决的艺术，有时也被称为证明的艺术）。

这种区别在科学上和法学上是很重要的。在数学上，人们通常对研究的发现方法与证明方法采取不同的形式加以区分。前者的结果是新知识的有效发展，尽管也许结果的质量不是最佳；后者的结果是知识的完善——特别是对由证明上并非最佳的发现方法所产生的不完善的知识的完善。[35]

由此可见，传统上“发现”和“发明”是同义词。它们标志着经典两阶段证明过程的第一阶段[经典证明的过程可分为认证阶段（certifcative stage）和论证阶段（argumentative stage）]。这种经典证明模式背后的总体思路可以概括如下：

一个命题的真正的科学证明[36]同时需要认证和论证。仅有论证本身是不够的，因为它太容易被虚构。论证的去想象化恰恰是认证要完成的工作。因此，真正的证明是经过认证了的论证，真正的科学知识需要真正的证明。

这个模式突出展现了古代几何学家的思想。普罗克洛斯（Proclus，411～485）在其《欧几里得〈几何原本〉卷Ⅰ注释》里给出了一个用上述经典方式来解释命题Ⅰ～Ⅳ的“顺序”的有趣的例子。[37]

……我们的几何学家（欧几里得，卷Ⅰ）在给出这些问题（命题Ⅰ～Ⅲ）之后提出了他的第一定理（命题Ⅳ）……因为除非他先前证明了三角形及其构造模式的存在，否则他怎么可能言谈关于它们的基本属性？假如有人……说：“如果两个三角形有这种属性，那么它们一定也有另一些属性。”这岂不是很容易……满足这样一种断言：“是否我们知道一种三角形就可以构造出其他所有三角形呢？”……正是为了防止这些反对意见，《几何原本》的作者给我们提供了三角形的构造……这些命题对于这条定理完全是预备性的……

普罗克洛斯（Proclus，1970，第182～183页）

像古代的其他几何学家一样，普罗克洛斯对认证方法与论证方法的概念的区分与古代对问题研究与定理研究之间的区分是一脉相承的。前者由“解决问题的工作”构成（Proclus，1970，第157页），后者主要是“定理的发现”（出处同上）。

前者的目的是“产生、创制或构建某种意义上先前不存在的东西”（出处同上）。这个目标的完成一般是由“构建”一个图形，或将它置于某个地方，或运用于另一个情形下等措施来确保（出处同上）。总之，这个目标通常是通过构建来完成的。

另一方面，定理研究的目标是“看出、确认并展示一种属性的存在性或不存在性”（出处同上）。换句话说，它要努力做到的是“通过对几何研究对象的属性及其内在性质的展示牢牢把握这些对象”（同上，第157～158页）。

因此，问题研究旨在确立某种“新”东西的存在性（即使以前不存在的某个对象的存在性得到确立），而定理研究的目的是要确立已经存在的东西的属性。因此，定理研究对象的存在性需要预先得到确认。

普罗克洛斯对命题Ⅰ～Ⅳ的顺序的评注反映出他接受了这个模式。命题Ⅳ是一个定理，其对象有三角形、线段、等长线段等，另一方面，命题Ⅰ～Ⅲ是问题，它们是确立命题Ⅳ内容的存在性所必需的。因此它们对于命题Ⅳ是“完全预备性的”（同上，第183页），即使它们在命题Ⅳ的证明中并没有被采用。[38]

在说命题Ⅰ～Ⅲ是命题Ⅳ的“完全预备性”这句话时，普罗克洛斯似乎已经意味着它们解决了命题Ⅳ及/或其证明的一些广泛持怀疑态度的挑战。例如，命题Ⅰ是对问题“你知道完全可以构建出来吗？”引起的挑战的响应。另一方面，命题Ⅱ和Ⅲ则是对“也许没有任何直线段等长于另一条直线段（或这个问题的其他几何对象具有相同属性）”这一挑战的响应。[39]

总之，普罗克洛斯似乎已经接受了这样的观点：组合式的定理研究是一种不可认证的研究，或是一种缺乏根据的研究。为了避免这一点，构成相关定理得以成立的对象应该先被证明是存在的。普罗克洛斯认为，这一点可以通过给这种根据一个一般性的或构造性的定义来做到（这是最佳的还是唯一的？），它是这样一种定义：它“解释一件事情的起源，就是说，这个事情是如何生成的——这就像一种循环定义，即，它就像一条直线绕一定点运动画成的图”（Hutton，1795～1796：2000，第1卷，第362页）。[40]

近代观点

近代数学家和哲学家持有一种类似的观点，这种观点可用莱布尼茨的如下说明来陈述：

……欧几里得提出的圆的概念——即由平面上一条直线绕一定点运动画成的图的概念——提供了一种真实的定义，因为很明显，这样的图是可能的。事先……有（这么个）定义……是有用的……（因为）我们不能放心地给出有关任何概念的证明，除非我们知道它是可能的；对于那些不可能的或涉及矛盾的事情，这些矛盾也是可以被证明的。这就是为什么对任何可能性我们需要真实定义的重要原因。

莱布尼茨（Leibniz，1683：1973，第12～13页（294）[41]，

括号为本文作者所加）

莱布尼茨因此认为，根源性或构造性定义是有价值的，因为它们使其所定义的概念的先验的可能性变得已知（见Leibniz，1764：1916，Bk.Ⅱ，ch.Ⅱ，§18）。他认为，这反过来又以某种方式使证明变得“安全”。

但是，他对那些不可能的概念及其存在性做了各种令人困惑的断言。有时他认为存在不可能的概念（即隐含矛盾的概念）。

一个概念要么是适合的，要么是不适合的。合适的概念是那种一经建立就成为可能的概念，或者是那种不隐含矛盾的概念。

莱布尼茨（1903，第513页）

另一些时候他认为不可能的概念是不可能存在的。因此（例如）他声称，“我们不能够对不可能的东西有任何概念”（Leibniz，1978，第4卷，第424页）。他还坚持认为，“那些实际存在的东西不可能丧失其可能性”（Leibniz，1978，第7卷，第214页）。[42]

尽管如此，我这里主要关注的是：当有关A的证明缺少有关A的可能性的知识时，这种证明便存在不安全因素。具体来说，有几方面理由使我关心莱布尼茨可能曾相信存在这种情形。

他提到的危险是存在矛盾的可能性——“不可能的东西……矛盾可以被证明”（同上）。虽然我们今天来看，这似乎不正确。在莱布尼茨时代，定理的主要类型是“所有的A是B”这样的形式。这种形式下的矛盾可能是“有些A不是B”之类形式的句子（或其等价的句子），这需要知道各种A的存在性。

不过，当A是不可能的事物时，各种A便都不存在。因此，那些像莱布尼茨一样认为“实际存在的必然都是可能的”的人可能不会相信，对于不可能的A，我们可以证明“有些A不是B”。因此，他应该没有理由将“有些A不是B”的证明当作对在A是不可能的情形下证明“所有的A是B”的一种威胁。

更可能的情况是，莱布尼茨在设想“所有的A是B”这一证明的反证时，想的是要证明“没有A是B”而不是“有些A不是B”。如果确实如此，那么我们也还有这样的问题——即使在这种情况下，造成“不安全”的因素是什么。但不论莱布尼茨所设想的危险是什么，它都不会是一种对虚假陈述的直接证明。这个结论可以从基本的（经典的）逻辑事实得到。当A是不可能的事物时，则必然不存在各种A，此时说“所有的A是B”和“没有A是B”都是对的。[43]

但如果不是虚假性反对我们从A的真实定义那里得到保护，那么我们从什么地方得到保护呢？在这一点上莱布尼茨不是很明确。[44]他可能已经将这种威胁看成是虚构化的威胁——即进行没有根据的研究，从而在最后的分析中一无所获的威胁。这似乎一直是经典的观点，也曾是普罗克洛斯一直追求的观点。可能我要论证的也正是这一点。莱布尼茨时代（也包括其较早和较晚时代）的其他人在安全性问题上要更加明确些，他们一般都给出下述两种观点中的一种：一种观点大致较实用，另一种更理论化一些。我将描述并讨论这些观点。就目前而言，要牢记的要点是：（1）在数学史上，过去曾有过，也许目前仍存在，一种将可靠性与广泛的体验联系起来的传统，至少在某种程度上建构是被当作经验的媒介的，但是（2）这种经验的内容不一定就是最终被证明的或是合理的命题。

作为实际考虑的真实定义

对真实定义（real definition）的实际辩护并不对通常的观念——一个概念的实在性或可能性是由其一致性构成的——构成挑战。它的要求毋宁说是，确立一个概念的一致性的唯一可行的方法是用一个实例来表现，就是说，给出它的一个真实定义。[45]真实定义作为一种确保一致性的手段，其有效性通常被视为这就是为什么经典几何（其中真实定义占主导）中的问题要比代数中的少很多的原因。普莱费尔（J.Playfair）的下述论述可谓18世纪对这一思想的一种典型的表达：

几何命题从没有引起过争议，也不需要形而上的讨论的支持。另一方面，在代数中，关于负数及其结果的学说则经常困扰着分析者，将他卷入最复杂的争论中。这种多样性的原因毫无疑问必须到被我们用来表达概念的不同模式中去寻找。在几何里，表示每一量的大小都是由相同种类的单位量来表示的；线长由线表示，角度的大小由角度值表示，属性总是由其个体来标志，一般性概念总是由其中某个具体对象来表示。通过这种方法，所有的矛盾均可避免，几何从来不允许被用来推知那些不存在或者不能显示的东西的原因。

普莱费尔（Playfair，1778，第318～319页）

以提供实例为特色的这种一致性证明的实际认证在19世纪甚至变得更明确，如果要说与以前的情形有区别的话。约翰·赫歇尔（John Herschel）的下述论断就表达了这种共同的态度：

如果将通过真理在具体事物中的应用作为真理的检验手段这一点放在一边不论，那么除了其自洽性之外，再也没有什么可以指导我们的认识了。但在公理性命题中，这一点等于什么都没检验……作为与真理同体的基本要素，它们（公理的）相互兼容性只能通过经验显示出来——通过其共存性作为在特定情况下产生的真理所观察到的事实显示出来。

赫歇尔（Herschel，1841，第220页，括号为本文作者所加）

弗雷格在反对创造主义者（creativist，如汉克尔和希尔伯特）学说时也强调了这一点。因此，他对汉克尔的一致性认定和通过观察确立存在的观点做了如下回应：

当然，严格来说，我们只能确立这样一种情形：一个概念，如果能先产生某个属于该概念范畴的事物，那么这个概念就是无矛盾的。相反的推论则是谬论，汉克尔的失误正在于此。

弗雷格（1884：1968，§95）

同样，在他与希尔伯特就他（希尔伯特）似乎相信存在无需提供可供验证的例证就可证明一个概念的一致性的可能性的通信中，弗雷格写道：

在谈到证明某些特性、要求（或者其他一些随你怎么称呼的品质）不能彼此矛盾时，我们的意思是什么呢？我认为它的意思只有一个：指向一个具有所有这些特性的对象，给出满足所有这些要求的事例。我们似乎不可能还有其他任何方式来证明没有矛盾。

1900年1月6日弗雷格给希尔伯特的信（Gabriel et al.，

eds，1980，第43页）

最后，受挫于希尔伯特不让步带来的沮丧，弗雷格要求希尔伯特解释清楚我们怎样才能够不通过确认可验证的实例就能够证明一个概念的一致性：

我相信我从你来信的某些地方可以推断出，我的论证没能说服你，这让我更渴望得到您的反驳。在我看来，你认为自己在证明无矛盾方面拥有一项原则，它与我在上封信里给出的原则有着本质的不同，而且，如果我记得没错的话，你的这项原则是唯一被你用于你的《几何基础》中的原则。如果在这个问题上你是正确的，那么它可能就非常重要了，虽然迄今为止我并不这么认为，但我觉得这一原则应该能够还原到我所制定的原则上来，因此它不可能比我的原则有更广泛的范围。这样做可能有助于厘清你在回复我上封信中提出的问题——我仍然希望得到一个回复——那就是你可以清楚地制定这样一个原则，并通过一个例子来讲清楚它的应用。

1900年9月16日弗雷格给希尔伯特的信（Gabriel et al.，

eds.，1980，第49页）

弗雷格在信中提到希尔伯特的《几何基础》，主要是指希尔伯特用解释实数的方法来证明他的几何系统的一致性（见Hilbert，1899，§9）。他正确地指出，这是希尔伯特在当时给出的唯一的对一致性的证明。差不多20年后，他的这一一致性证明理论概念才得到后人注意。[46]

因此，验证性实例的产生是确立概念一致性的唯一途径这一观念在17、18和19世纪里是一种普遍的信念。也正是这一观念使我们能够解释为什么莱布尼茨和其他人会将“没有A是B”的证明看作是对“所有A是B”的证明的威胁。这个解释如下。如果“所有A是B”和“没有A是B”都是可证明的，并假设凡可证明的都是真实的，那么就不会存在A。但是，如果不存在A，那么我们实际上就没有办法确立所有关于A的断言的一致性（包括理论上的假设“所有A是B”）。这样做的唯一可行的方法是产生一个A的实例，并通过将它当作主体概念的断言来验证该实例具有归因于它的属性。最后，我们需要A的实例化，因为我们最终需要证明关于A的陈述的一致性，而作为一个实际必然性的问题，它只能通过产生一个A来解决。

对于数学是被创建的还是被发现的这个问题，这一推理的假想的结果是这样的：彻底的创造主义关于概念的观点是不可持续的。原因是，每个理论都必须保持一致，并且在最后的分析中，这种一致性只能通过识别见证的实例来显示。阿尔诺注意到，这种见证只能是被发现的，而不能被创建的。

……名义定义是任意的，而真实定义则不是这样。既然任何声音……能够表达任何思想，因此请允许我选择特定的声音来表达我自己的……想法。但这种情形与真实定义完全不同，因为获得各种概念的关系独立于人的意志。

阿尔诺（Arnauld，1964，第83页）

因此，名义定义和真实定义的适当角色的问题曾是关于发现与创建问题的传统讨论的核心。其核心要素被很好地传递到20世纪。我相信，了解这一点应当有助于我们深化和拓宽我们自己在这个问题上的观点。尤其是，它引导我们去看待问题背后的更多的东西，以及在它的解决方案中那些比哥德尔建议的论证更可能处于危险中的东西。

作为理论关切的真实定义

对真实定义的理论辩护基于我们如何获得概念的观点。这是一种广泛的经验论的或曰经验主义的观点，它将对经验的抽象看成是概念发展的根本途径。由此，它将概念归类为真实的或不按照对这些概念如何提出的问题是否存在一个合理的解释，是否存在一条从经验上升到抽象的路径来考虑。以这种方式提出的概念是合法的、真实的，而那些不是这样提出的概念则是不合法的、不真实的。

近代以来，这一观点得到了许多数学家和哲学家的提倡。例如，流行于19世纪初的约翰·莱斯利的几何教科书就教导说：“几何……是建立在外部观察的基础上的，但这种观察是如此熟悉和明显，以至于由此产生的主要概念给人一种直观的感觉，并被当作与生俱来的”（Leslie，1809，第2页）。他还说过，“几何学，像不关乎心灵活动的其他科学一样，最终取决于外部观察”（同上，第453页）。

在18、19世纪的思想家那里，“真实”有一个公认的代名词，叫“给定”，莱斯利将这个术语刻画为下列这句话（见上述引文的续篇）：

数量被认为是给定的，它可以是展现的，也可以是发现的。

莱斯利（Leslie，1821，第4页）

总的来说，几何学上的真实定义的理论辩护是基于两个观念。第一个观念是几何概念由抽象过程从对外部事物的观察得来；第二个观念是这种观察的内容在一个重要的意义上看是给定的而不是创建的。因此，真实概念是一种由给定内容开始的表达，而不是一种对被创建或制作的内容的表达。然后，它们经抽象过程从经验中提升出来，这个抽象过程只会从原始经验内容中减去而不是添加某些东西。

这种真实概念的观点有时会被19世纪的哲学家上升到关于概念的普遍性观点。一个突出的例子是叔本华，他对概念的性质以及它们的存在条件提出了以下令人难忘的解释：

……概念从直观领域派生出其内容，因此，思想世界的整个结构有赖于直观。因此我们必须能够从每一个概念——即便是间接地通过中介概念——回到该概念被从中抽象出来的直观……就是说，我们必须能够用在各种事例的关系中支持抽象的直观来支持它……

这些直观……担当得起我们所有思想真正的内容，无论何时，只要直观缺位，我们的头脑中便没了概念，只剩下单纯的文字。在这方面，我们的智慧就像发行票据的银行，如果它是健全的，它就必须有充足的现金来保障其安全，从而在要求兑现的情形下能够支付它所发行的所有票据。直观是现金，而概念则是票据。

叔本华（Schopenhauer，1859：1966，Book 1，第7章，第2卷）[47]

然而，这种通用型的观点局限于哲学家圈子里或仅流行于19世纪。事实上，直到最近数学家里也只有外尔（Hermann Weyl）形象地用存款票据来比喻真实概念与命题之间的差异，这是一方面，而另一方面，则是用纯粹的符号体系来描述二者间的关系。外尔用数学里的存在断言作为他的主要例子，他将这种断言比喻为纸币——就是说，钱本身没有任何价值，其唯一的真正价值是它背后所支撑的真实商品。

存在性命题——类似于“存在偶数”这样的命题——绝不是一个真正的事实判断意义上的断言。事物的存在状态是逻辑学家的一个空的发明。“2是一个偶数”：这是对一个给定判断的真实的事实表达。“存在偶数”则只是由这类判断得出的一个抽象判断，就像我将知识看成是一种有价值的财产一样，我将抽象判断看成是纸币，不论出现在什么地方，它都在某种程度上代表着财产。它唯一价值就在于它能够让我随时掌握着财产。如果没有像“2是一个偶数”这样的实际判断在背后支撑，这种纸币就不能变现，也就毫无价值可言。

外尔（Weyl，1921，第54页）

在上述所有事例中，我们看到有一个相同的基本理念在起作用，即我们称之为概念的那些表述只是这样一种存在：它们存在于这样一种可抽象性的关系当中，这种可抽象性是对那些给定的而非创建的经验内容的抽象。

这一判断为下述问题——为什么“没有A是B”的证明会被轻视，或“所有A是B”的证明会贬值——提供了一个比较明确的解释。如果“所有A是B”和“没有A是B”这两个陈述句的内容都是真实的，那么就不存在A。从而也不存在A可以从中被抽象的经验内容——就是说，不存在有关A的经验性实例。因此表达句“A”没有内容，也不会表达一个概念。其结果是，“所有A是B”不表达一个命题，因此也不具有真实判断的内容。因此关于“所有A是B”的证明不会产生所有A是B的知识，因此也就无法达到其预期的目的。

但是，尽管这种推理是明确的，它还是不能令人信服，这至少有两个原因。首先是它预先否决了存在非实例概念的可能性。这是令人担忧的，因为有可能存在那种既不是用实例来说明也不能用实例来说明的真实概念（或至少是概念的陈述）。复合概念无论如何都属于这种情形（比如一张需要着5种颜色的地图对其着色来说就属这种情形）。是否存在那种能被正确地看作是原始的同时又不是可实例化的概念则是一个更难回答的问题。但据我所知，是否就不可能存在这样的内容也没有好的论证。

叔本华—外尔论证为什么不能令人信服的第二个原因，是它似乎无视这样一种可能性：能够具有经抽象导出概念的经验类型本身可能就预设了概念的可获得性。叔本华—外尔论证假设，我们可以有这样一类经验内容，它可以不经概念（不基于这种获得性的概念）就开始一个抽象过程。但是，要有说服力，就需要对内容及其抽象过程进行仔细分析。有了这种分析，我们才能够无须应用概念就把握一个至少有某类最基本内容的论点。此外，对于断言——存在一种由经验性内容经抽象而获得数学内容的合理途径——也必须给出一个说法。

只有到这种缝隙被填补之后，理论辩护才有可能被接受为一种对概念的存在性或可获得性的一般性解释。尽管作为数学概念的一般理论，这种理论辩护有缺陷，但它毕竟还是为数学中发现和创建之间的有价值的区分提供了一个基础。这个想法是，真实概念是一个可实例说明的概念，但非实例说明的概念的存在性不应被否决，其运用也不应被禁止，只是对它们的运用应有所控制，以便满足适当形式的一致性要求。这种一致性要求，具体来说就是，对于所涉及的概念可以证明满足不必一定要有实例来说明的条件。

讨论

上述两种对真实定义的传统辩护为数学中发现和创建之间的明确区分提供了诸多可能性。两种观点与哥德尔的现象学论证也有分歧。前者认为，发现和创造之间的区别缺少的不仅仅是对我们可能具有的对于强加于我们的真理的经验的一种现象学上的充分解释。它们没必要否定哥德尔的现象学推理背后的观点。虽然它们同样不必将这一点看成是经验在数学知识发展过程中的主要作用的指标。

两种辩护都持这样的观点：产生一个概念的实例本质上属于发现而非发明的问题。此外，它们都将发现看成是对那种确保一致性或可能性的实在的发现。另一方面，创建则不具有这种特性。因此，即使出于使真实定义完成其预期的正当目的的考虑，也有必要将它看成是发现而不是创建。否则，数学家将可能面临着适当的正当要求的无穷尽的递归，而这正是数学家想要避免的情形。

我在上面提到，对真实定义的实际辩护似乎低估了一致性对所产生的概念可能采取的约束的形式的多样性。这是因为在希尔伯特的证明理论发展之前人们普遍认为，证明一个概念的一致性的唯一方法就是找到一个公认的实例。希尔伯特的证明理论则提供了一种语法类型的替代方法。

另一方面，哥德尔不完备性定理（特别是他的第二定理）暗示，希尔伯特的替代方法的可适用性是有限制的。这可能意味着，实际上，我们往往还必须依赖于产生一个实例或构建一种模型来证明一致性。结果，在有关证明一致性的各种实际可能性的问题上，弗雷格可能还是正确的。[48]因此，在最后的分析中，我们很难确定这种实际辩护对发现的支持作用能够有多大。

结论

在本文结束前我想考虑最后一个问题：关于哥德尔提出的数学中给定性（givenness）或强迫性（forcedness）现象的运用问题。不过，这里我关心的不是我们能否可靠地检测到它，以及如果是的话，那么能在什么程度的信心和鉴别水平上做到这一点，而是什么东西能使对“给定性”或“强迫性”经验的恰当反应有可能或是应当被置于首位，假设我们事实上确实存在这种反应的话。我是被波尔查诺对数学中真实定义的角色和特征等问题的犀利质疑而带到这个问题上来的。[49]

众所周知，波尔查诺对中值定理的证明主要是他下述思想的产物：用来证明一个定理的方法应当具有使被证明的定理提升到一般化的水平。在他看来，关于数量的一般性定理的证明应该只求助于关于数量的一般性法则，而不应求助于仅适用于特定类型数量的法则。

这使他拒绝接受以前对中值定理的各种证明方法，因为他认为这些方法都是借助于具体的几何量来证明的。这也导致他拒绝接受通常的几何定理的证明，他相信其中的许多定理可以从有关数量的一般法则导出。这类定理的真正基础的一个更准确的图像可以由这样一些证明给出：这些证明本身的前提就是数量的一般法则。

……在欧几里得几何中，没有任何空间对象是被作为真实对象接受的，除非它的结构首先借助于平面、圆和直线而被证实。这种限制显示出其经验来源十分清楚。黑板、圆规和直尺是……最初的绘图所需的最简单的工具。不过，就其自身考虑，直线、圆和平面都是复合对象，它们可能不能以任何方式作为一个假设被接受……例如，“在每两个点之间存在一个中点”这一命题就要比命题“每两个点之间可以作一条直线”简单得多。然而，欧几里得是用后者和其他一些命题来证明前者。我们证明了每一种被提出来的可能的概念性联系，这对于数学的理论论述是充分的……对象如何以及以什么方式类比到概念可以在实用数学的实在中产生。[50]

波尔查诺（Bolzano，1810：2004，§37）

在我看来，波尔查诺在这里做的部分工作就是指出了遵循强迫的引导的危险性。太多的信任有可能导致这样的事情：用并非基本的（但强迫程度较高的）命题来证明更为基本的（虽然强迫程度不高）的命题。

这就提出了一个与哥德尔的观点相关的问题。哥德尔认为，正是集合论公理迫使我们信其为真。同时他又将数学中的强迫性比喻成感官知觉。这使得我们认为，集合论公理对于更大范围的数学真理的重要性绝不亚于感性知觉对于更大范围的自然科学真理的重要性。

但如果这是正确的，那么根据数学和自然科学之间的类比，那些迫使我们信其为真的集合论命题就不大可能是数学的基本法则。也就是说，它们不应该被当作公理。相反，它们应该被看作需要由更深刻、更基本的法则来予以正确解释的现象，如果你愿意，你可以称它为理论数学。[51]但我们很难设想这些更深层次的法则是什么。此外，集合论公理与感官判断之间的类比与哥德尔自己所说的关于集合论与数论之间关系的言论——即前者至少可以通过其简化后者的定理的证明的能力而得到部分的合理性证明——不是很一致。

总之，有关感性经验与哥德尔假设的由各种数学真理迫使我们信其为真所带来的经验之间的类比存在严重问题。如果说这种强迫是经验的显现，那么强加给我们的让我们信其为真的那些数学命题就应当被看成是数学的经验部分。追随着哥德尔的这种类比，我们被引导到考虑数学中观察/理论分野的可能性，其方式类似于我们在自然科学中所接受的情形。波尔查诺在某种程度上相信这一点。具体来说，他认为各种数学命题之间存在客观的基础性差异。不仅如此，他还将揭示这种相对基础性的排序看成是数学家的主要职责。

由此，波尔查诺提出了有关给定性及其在数学认识论上的可能意义的重要问题。我已指出，这些问题对哥德尔试图引入一种经验到数学认识论的做法提出了挑战。它提醒我们应当对给定性或强迫性给予与基础性同等程度的重视。但就我目前所看到的，这些挑战还没法以同样的力度对数学中发现/创造问题的传统理解给出明确的意见——就是说，围绕所谓数学中“真实”定义的运用及其保护所展开的讨论也许提供了反对某种形式较为粗俗的主观性。