代数结构观点的形成

前面我们已经提到过，三、四次方程的求根公式在16世纪找到了，这以后人们马上投入到下一场智力角逐中。即：如何找到五次方程的求根公式。由于以往方程的求根公式都离不开根式，所以人们把方程的求根公式问题，称作为根式解问题，即对方程的系数进行有限次四则运算和开方运算，给出方程的根式解。到底一般的五次及五次以上的代数方程是否有根式解呢？一个世纪过去了，又一个世纪过去了，寻求这种根式解方面的所有努力都失败了，没有一个人能够求出五次方程的求根公式。尽管后来的数学家们发现，可以将一般五次方程变换成这样一种形式：

然而就是这样一个高度简化了的缺项五次方程了也同样无人能够攻克。这即便算不得难堪，至少令人沮丧。在这个问题困惑了数学家达200多年之久后，到19世纪时，事情开始出现了转机。这将把我们引向两位年轻的天才数学家。下面，我就先向你讲述一下这两位在数学天空一闪而过但却留下炫目光辉的天才之星的故事。

在这里将要讲述的第一位人物是挪威数学家阿贝尔（1802～1829）。

阿贝尔出生在一个贫苦的家庭。当他大约15岁的时候，数学家霍姆伯厄成为他的老师。虽然这位老师本人不是有创造力的数学家，可是他知道并且能鉴别数学杰作，于是他成了阿贝尔称职的老师与密友。在他的热心指点与教导下，阿贝尔发现了自己的数学才能。16岁时，他开始私下阅读，在老师的帮助下，很快掌握了经典著作中最难懂的部分。从那以后，真正的数学就不仅是他的严肃工作，而且成为他着迷的爱好。若干年后，有人问起他是怎样设法迅速地赶到前面去的，他回答：“靠学习大师们，而不是学习他们的学生”。

当他18岁时，父亲过早地去世了，照顾母亲和六个弟妹的家庭重担落到了阿贝尔一个人身上。

在艰难困苦中，他坚持不断工作。他所从事的第一项伟大成就与我们的主题相关：他试图解决一般五次方程的求解问题。开始他认为自己找到了求解公式，但很快他发现自己的推理中存在漏洞，这促使他走到了另一条道路上。1824年.阿贝尔证明了一元五次及高于五次的方程不存在根式解。1825年，他将自己的论文寄给许多欧洲数学家，包括伟大的高斯，但高傲的高斯以为又是一位哗众取宠的年轻人的闹剧，于是在看都没看一眼的情况下就把阿贝尔的伟大成果抛到了一边。这一不幸事件对阿贝尔与高斯何者的损失更大些，我们无法追究。但是可以肯定的是，数学的发展为此付出了巨大代价。但这里且让我们继续去了解阿贝尔的一生。

1825年，在朋友们的帮助下，他得到政府的资助使他能够到国外去拜访欧洲其他国家的著名数学家。在这些已成名的数学家那里，阿贝尔没有得到多少有益的帮助。真正的帮助反倒来自他在柏林遇到的一位业余数学爱好者：克列尔。后者在1826年创办了世界上第一个专门从事数学研究的定期刊物《纯数学与应用数学杂志》。这一杂志的创办，是克列尔对数学发展的最大贡献。正是这个杂志，使阿贝尔的工作为欧洲广大数学家们所了解。该杂志前三卷包括了阿贝尔的23篇论文。这些论文的内容表明，阿贝尔在做出自己第一项伟大发现后不久，就将创造力转向了更为广泛的问题。1826年，他把自己一生最重要的杰作交给法国科学院。这一杰作开辟了研究椭圆函数的广阔领域，但负责审阅这一论文的柯西等人却完全忽略了这一伟大的发现。这个被后来人称为也许是19世纪最伟大的发现，“给数学家们留下了够他们忙上五百年的东西”（埃尔米特语）交给法国科学院后，却没有人注意到它的存在。当它正式发表之时，已是1841年了。

1827年他回到祖国。此后的生活变得更为悲惨，经常的贫困折磨着他。起初他没有找到任何固定的工作，用他的话说“穷得就像教堂里的老鼠”，只能以私人授课维持生计。1828年，他总算在一所大学里担任代课教师，但在这之前经常的贫困和伤心，把他的身体搞垮了。他得了肺结核病。1829年4月6日，他病死了，年仅26岁零8个月。一个有才华的青年的生命就这样被断送了。在他死后两天，热心的克列尔寄来一封信说，阿贝尔将被任命为柏林大学的数学教授。在他死后，克列尔写道：“他工作不是为自己，而是为他热爱的科学。”这时，荣誉和褒奖也接踵而至，1830年阿贝尔和雅可比共同获得法国科学院大奖。然而荣誉对他来说来到的太迟了些，以致于他没有机会充分去享受它了。不过，阿贝尔的死并没有丧失他在数学上的伟大思想。这些思想直到现在还具有很大的意义。

阿贝尔与我们的主题相关的发现是在1824年做出的。他的论文指出一般的五次及高于五次的方程没有根式解。然而，这并不等于说任何一个具体的五次及五次以上的代数方程都不能求其根式解。如何判定一个五次或五次以上方程有还是没有根式解呢？方程有根式解的充分且必要条件是什么呢？这一问题的完全解决留给了我们要讲述的另一位数学史上的天才数学家伽罗华，一位与阿贝尔有着同样天才也有着同样或许更不幸命运的传奇人物。正是他给出代数方程能够求根式解的充分必要条件的明确说明。但他的工作生前几乎不为人所理解，死后十几年才焕发出灿烂的光辉。下面就让我们去了解一下他的不幸的一生。

1811年10月25日，伽罗华出生于巴黎。在他15岁时，一位数学老师的讲课唤醒了他的数学才能。他陷入到对数学的如饥似渴的学习中。他的一位老师说：“他被数学迷住了心窍”。他的学业报告单也表明，他对所有别的课程都不重视，而单单专心致志于他新找到的这门心爱的学科：“该生只宜在数学的最高领域中工作。这个孩子完全陷于数学的狂热之中。我认为，如果他的父母允许他除了数学不再学习任何东西，将对他是最有好处的。否则，他将在这里浪费时间，并且他所做的只是使他的老师们痛苦，而他自己则被惩罚压垮。”他的天才与努力的结果使他的数学水平很快超出了他的老师的能力范围。于是，他直接向大师们写的最新著作学习。他迅速地汲取那些最复杂的思想。如同阿贝尔一样，直接学习和研究数学大师的经典著作，是伽罗华获得成功的重要途径。

在他17岁的时候就已取得很好的进展。对于这位数学奇才，前面的道路似乎应该是畅通无阻的，除非他自己杰出的才华成为他进步的最大障碍。虽然他懂得的数学显然足以通过皇家中学的考试要求，但他的解答却常常是很富有创造精神的和精妙的，以至他的考官们赏识不了。使事情变得更糟的是他把大量的演算放在他的头脑里进行，而不屑于在纸上把论证写清楚，因而使平庸的考官们更为茫然不知所措和沮丧。此外，由于他脾气急躁和鲁莽，使他不被他的老师和碰到他的别的任何人喜欢，而这位年轻人的天资却无助于改变这种状况，当他报考综合工科学校这所法国最有声望的学院时，他在口试时不愿做解释，并显得无礼，结果没被录取。一年以后他重新报考，不料他在口试时逻辑上的跳跃又使他的考官迪内特先生感到困惑。由于意识到自己将遭到第二次失败，以及对自己的才华未被认可感到沮丧，伽罗华大发脾气，把一块黑板擦掷向迪内特。伽罗华从此再也没有回到这所圣殿。

命运对他的打击远不止于此。在他17岁时，他向法国科学院提交了两篇研究论文。被指定审查论文的是柯西。但柯西把论文退给伽罗华，希望伽罗华修改他的论文。为了争取科学院的大奖，伽罗华精心写了一篇新论文，于1830年2月底呈交法国科学院。可是，好像命运专门与他作对，审定他的论文的傅立叶5月去世，并且他的论文遗失了。伽罗华的论文，包括柯西在内的许多数学家都曾认为很可能得奖。然而使伽罗华震惊与愤怒的是他不仅未能获奖，而且甚至未能正式参赛。于是，伽罗华在这次竞争中莫名其妙地失败了。

这次失败对他的打击是致命的。他感到他的专题论文是被政治上有偏见的科学院故意丢失了。这个信念一年以后变得更坚定了。当时科学院拒绝了他投的一篇稿件，声称“他的论证既不够清楚又没有充分展开，使我们不能判断它是否严密。”于是，他年轻人的热情完全转向了政治，他开始去从事支持共和主义事业的斗争。为此他两次入狱，但这并没有使他的政治激情稍减，而他的命运也因而进一步恶化下去。1832年，他介入了一场无谓的爱情决斗。他很清楚他的决斗对象的枪法水平，在决斗的前一晚，他相信这是他把自己的思想写在纸上的最后机会了。他最担心的一件事是，他的已被科学院拒绝过的研究成果会永远消失。他彻夜工作，重新整理了自己的数学思想和数学发现。其手稿中人们甚至还可以看到他绝望的感叹：“我没有时间了，我没有时间了！”他唯恐不能完成自己的演算。多少值得庆幸的是，赶在决斗之前，他完成了自己的工作。同时，他写了一封对这些作说明的信寄给他的朋友舍瓦利耶，请求在他死后，把这些论文分送给欧洲最杰出的一些数学家。

我亲爱的朋友：

我已经得到分析学方面的一些新发现。第一个涉及五次方程的理论，其余的则涉及整函数。

在方程的理论方面，我已经研究了用根式解方程的可解性条件，这使我有机会深化这个理论，并刻画对一个方程可能施行的所有变换，即便它不是可用根式来解的。所有的这方面的工作可以在3篇专题论文中找到……

在我的一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。

请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确性与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这一堆东西整理清楚会是很有益处的一件事。

热烈地拥抱你

E·伽罗华”

1832年5月30日，星期三的早晨，在决斗中伽罗华不幸倒下了。第二天他死了。一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了，他研究数学才只有5年。

他死后，他的兄弟和朋友将他的手稿重写了一遍，并尽职地将论文抄本送交给高斯、雅可比和其他一些人，但此后十年多，直到刘维尔在1846年得到一份之前，其工作一直未得到承认。刘维尔领悟到这些演算中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图解释它的意义。最后他将这些论文编辑发表在他的极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上。在对伽罗华论文的介绍中，刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长辈们拒绝做了反思：

“过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因。人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做。事实上，当你试图引导读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡尔说过的那样：‘在讨论超前的问题时务必空前地清晰。’伽罗华太不把这条箴言放在心上，在我们可以理解，这些杰出的数学家想必认为，通过他们审慎的忠告所表现的苛刻，设法使这个充满才华但尚无经验的初出茅庐者转回到正确的轨道上来是合适的。他们苛评的这位作者，在他们看来是勤奋和富有进取心的，他可以从他们的忠告中获益。

但是现在一切都改变了，伽罗华再也回不来了！我们不要再过分地作无用的批评，让我们把缺憾抛开，找一找有价值的东西……

我的热心得到了好报，在填补了一些细小的缺陷后，我看出了伽罗华用来证明这个美妙的定理的方法是完全正确的，在那个瞬间，我体验到一种强烈的愉悦。”

直到此时，人们才终于承认了19世纪数学中由一位它的最悲惨的英雄创造的杰作。这一杰作宣布了一般五次及五次以上方程求根公式问题获得了完全解决。

对此，我们还有几点事情需要说明一下：

其一：伽罗华的结论只是证明了对于一般的五次或五次以上方程不存在根式解。这并不意味着所有五次或五次以上方程都没有根式解，事实上，对于特殊的一些高次方程我们还是存在根式解，能够用代数方法解决的。

其二：伽罗华的结论证明的只是我们无法通过代数的方法解决问题，但这不否定我们可以用不同于加、减、乘、除和开方这些代数方法以外的方法解决问题。实际上，一般五次方程能够用一种称为“椭圆函数”的方法解出，但这种方法比初等代数要复杂得多。当然，其证明结论也没有排除我们按照所要求的精度求出其近似解的可能性。

其三：数学家们早已知道五次方程一定有解，但现在伽罗华又证明用代数方法不可能找到方程解。这一结论不由使人联想起三大几何作图问题。在这两个问题上，我们不能解决问题，都是受到了所用工具的局限。正如，化圆为方问题，无法用圆规和直尺完成一样，根式解这一限制阻碍了数学家寻求五次方程解的努力。不是人类的能力不够，而是人们所使用的工具太原始。我们所熟悉的代数算法没有能力驯服像五次方程这样的猛兽。这充分显示了代数具有的局限性。一旦越出四次方程的范围，代数便丧失了它的显赫。

其四，伽罗华的贡献并不限于给出代数方程有无根式解的一个明确的判据。更重要的是，在解决这一问题的过程中，他引入了全新的概念与崭新的思想：群及群论思想。伽罗华开创了群论的思想。他将这种思想发展成一种能攻克以前无法解决的问题的有力工具。在他之前，解方程始终占据着代数舞台的中心，而他在短暂的一生中所做出的超越时代的贡献显著地改变了代数发展的这一进程，把代数引上新的轨道。因为，从他的工作以后，代数学结束了解方程的历史，进入研究新的数学对像群、环、域的抽象代数的发展阶段。正是伽罗华开发了一处无限丰富的至今尚未耗尽的数学宝藏。