五大新兴学科的建立

第一节　五大新兴学科的建立

一、数理逻辑

1．符号逻辑

数理逻辑作为一门数学学科，来源于对数学和逻辑基础的探讨，它最早可追溯到莱布尼茨，他关于逻辑演算的观念预示着布尔代数，而英国数学家布尔在1847年出版《逻辑的数学分析》一书，正式推出所谓布尔代数，在逻辑上相当于命题演算。其后由英国数学家杰方斯和小皮尔斯在1874年加入次序关系，德国数学家施罗德在他的《逻辑代数讲义》第一卷中加以公理化。第一个完全形式化的语言是德国数学家弗瑞格在1879年出版的《概念文字》中引进的。他首先定义了全称量词及存在量词。并引进一般的谓词逻辑。不过相应的逻辑代数一直到1950年才由波兰数学家塔斯基所发展，他引进所谓“圆柱代数”。1955年美国数学家哈尔莫斯又引进多进代数，形成一般的逻辑代数理论。1889年意大利数学家皮亚诺提出自然数的公理系统，即后来所谓皮亚诺算术公理。而戴德金在前一年也提出类似的公理系统。弗雷格在1884年出版的《算术基础》中开始提到算术无非是扩展的逻辑。戴德金也提出类似的观点。弗雷格在1893年出版的《算术的基本规律》第一卷中，用五条逻辑公理来推导算术命题。1902年6月罗素给弗雷格一封信，提出著名的罗素悖论，并指出弗雷格的矛盾。弗雷格在1903年出版的《算术的基本规律》第二卷附录中承认这是对他的巨大打击，正是这个悖论，揭开了数理逻辑新的一章。

2．罗素悖论

罗素的悖论是关于集合论的，康托尔已经意识到不加限制地谈论“集合的集合”会导致矛盾。其他人也发现集合论中存在矛盾。而罗素在1903年出版的《数学的原理》中，则十分清楚地表现出集合论的矛盾，从而动摇了整个数学的基础。罗素的悖论是说：可以把集合分成两类：凡不以自身为元素的集合称为第一类集合，凡以自身作为元素的集合称为第二类的集合，每个集合或为第一类集合或为第二类集合。设M表示第一类集合全体所成的集合。如果M是第一类集M∈／M，但由M的定义，M∈M，导致矛盾。如果M是第二类集合，现M∈M，但由M的定义，第二类集合M∈／M，同样也导致矛盾。现了这个矛盾之后，导致第三次数学危机，在数学界出现了各种意见，从抛弃集合论到尽可能保持集合论在数学中的基础地位的都有。由于20世纪数学的发展主流是建立在集合论基础之上，这里只考虑数学家如何消除悖论。在20世纪初，大致有两种办法，一个办法是罗素的分支类型论，它在1908年发表，在这个基础上罗素与怀特海写出三大卷《数学原理》，成为数理逻辑最早一部经典著作。还有一个办法是公理方法限制集合，由此产生公理集合论。

3．集合论的公理化

康托尔本人没有对集合论进行公理化。集合论公理化是策梅罗在1908年发表的。富兰克尔等人曾加以改进，形成著名的ZF系统，这是最常用的一个系统，因此大家都希望从中推出常用的选择公理（1904年策梅罗引进它来证明康托尔的良序定理）以及著名的连续统假设（即第一个基数ω₀与2^ω₀之间没有其他基数）等。

1940年哥德尔证明，选择公理和连续统假设与ZF系统是相容的。1963年，柯亨发明“力迫法”证明这两条“公理”的否定也不能在ZF系统中证明，从而推出其独立性。

4．希尔伯特纲领

为了使数学奠定在严格公理化基础上，1922年希尔伯特提出希尔伯特纲领，首先将数学形式化，构成形式系统，然后通过有限主义方法证明其无矛盾性。

1928年希尔伯特提出四个问题作为实现其纲领的具体步骤：

（1）分析的无矛盾性。1924年阿克曼和1927年冯·诺伊曼的工作使希尔伯特相信只要一些纯算术的初等引理即可证明分析的无矛盾性。

1930年夏天，哥德尔开始研究这个问题，他不理解希尔伯特为什么要直接证明分析的无矛盾性。哥德尔认为应该把困难分解：用有限主义的算术证明算术的无矛盾性，再用算术的无矛盾性证明分析的无矛盾性。哥德尔由此出发去证明算术的无矛盾性而得出不完全性定理。

（2）更高级数学的无矛盾性。特别是选择公理的无矛盾性。这个问题后来被哥德尔在1938年以相对的方式解决。

（3）算术及分析形式系统的完全性。这个问题在1930年秋天哥尼斯堡的会议上，哥德尔已经提出了一个否定的解决。这个问题的否定成为数理逻辑发展的转折点。

（4）一阶谓词逻辑的完全性，这个问题已被哥德尔在1930年完全解决。

这样一来哥德尔把希尔伯特的方向扭转，使数理逻辑走上全新的发展道路。

5．哥德尔的三项重大贡献

除了连续统假设的无矛盾性之外，哥德尔在1929～1930年证明下面两大定理：

（1）完全性定理：哥德尔的学位论文《逻辑函数演算的公理的完全性》解决了一阶谓词演算的完全性问题。罗素与怀特海建立了逻辑演算的公理系统及推演规则之后，数学家最关心的事就是公理系统的无矛盾性及完全性。所谓完全性就是，每一个真的逻辑数学命题都可以由这个公理系统导出，也就是可证明。命题演算的完全性已由美国数学家波斯特在1921年给出证明。而一阶谓词演算的完全性一直到1929年才由哥德尔给出证明。

（2）不完全性定理：这是数理逻辑最重大的成就之一，是数理逻辑发展的一个里程碑和转折点。

哥德尔证明不完全性定理是从考虑数学分析的无矛盾性问题开始的。1930年秋在哥尼斯堡会议上他宣布了第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如果是无矛盾的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算术系统是无矛盾的，则无矛盾性在算术系统内不可证明。

哥德尔的不完全定理造的是一个不自然的数论问题，数学家一直希望在一阶皮亚诺算术中找到一个数学表述既简单又有趣的数论问题，就像哥德巴赫猜想或费马大定理来说明算术的不完全性。这一直到1977年才由巴黎斯等人造出，这更加证明希尔伯特纲领是不可能实现的。

6．哥德尔以后的数理逻辑。哥德尔的不完全性定理从根本上动摇了数学的基础，它指出绝对的无矛盾性的证明是不可能实现的，数学家只能限制自己的领域及要求。数理逻辑也成为一个专门的学科，它分成四大分支：证明论、递归论、公理集合论及模型论，它们都在30年代发展起来。证明论仍然继续希尔伯特纲领，但不得不放宽有限主义的条件。其中最主要的成就是根岑在1934年用超穷归纳法证明自然数算术的无矛盾性。递归论也奠定基础，1935年克林尼定义一般递归函数，1936年图林提出图林机概念。同年车尔赤提出车尔赤论点：任何有效可计算函数均等价于一般递归函数。递归论与数学关系至为密切，它不仅为计算机科学奠定基础，同时一系列判定问题则直接涉及数学基本问题：如群的基本问题是问什么时候两个群同构，对于有限表出群是1908年提出的，到50年后，前苏联数学家阿其扬在1957年及以色列数学家拉宾在1958年独立证明这问题是不可解的。在这个基础上，小马尔科夫证明拓扑学的基本问题——同胚问题也是不可解的，1970年最终证明希尔伯特第十问题是不可解的。模型论首先是处理真假问题，它指出一系列命题在某些模型下为真，而在另外模型下非真。其次它构造一批非标准模型。1934年斯科仑给出整数的非标准模型，1961年鲁滨孙提出非标准分析，使莱布尼茨的无穷小合法化，创立了非标准数学。

二、抽象代数学

代数学与拓扑学是现代数学的两大部门。它们构成现代数学的基础与核心。没有代数学和拓扑学，现代数学（除了那些较为孤立的、相对地讲不太重要的学科）可以说寸步难行。

抽象代数学或近世代数学是在20世纪初发展起来的。1930——1931年范·德·瓦尔登的《近世代数学》一书问世，在数学界引起轰动，由此之后，抽象代数学或近世代数学成为代数学的主流，不久之后也就理所当然地把“抽象”及“近世”的帽子甩掉，堂而皇之成为代数的正统。

范·德·瓦尔登的书至今仍然是代数学的模式。它是根据德国女数学家E．诺特和德国数学家阿廷的讲义编写而成，在精神上基本来源于他们两位，特别是诺特，被公认为“近世代数学之母”。在诺特之前，不少大数学家都对近世代数学有过这样或那样的贡献，但是这种与经典代数学迥然不同的思想主要来源于戴德金和希尔伯特，戴德金不仅引进大多数抽象代数观念——如理想、模、环、格等，而且初步研究它们的结构及分类，而希尔伯特的抽象思维方式及公理方法则对现代整个数学都有举足轻重的影响。

抽象代数学的研究对象与研究目标与经典代数学有着根本的不同：经典代数学的主要目标是求解代数方程和代数方程组，而抽象代数学的目标则是研究具有代数结构的集合的性质，刻画它们并加以分类，这些对象是用公理定义的。

1．域论

从古代起，人们就已经熟悉有理数和它们的运算——加法和乘法。这些运算满足加法交换律和加法结合律，乘法交换律和乘法结合律，以及分配律，而且对于加法存在零元素（0）及逆元素（倒数）。所有有理数的集合是人们最早认识的具体的域，后来也知道实数集合、复数集合同样满足上述公理，它们也是城。除了这些最熟悉的域之外，在19世纪研究得最多的域是代数数域，这些都是含有无穷多元素的数域。有没有有限多个元素的域呢？1830年伽罗瓦已知有有限多个元素的域（后来被称为伽罗瓦域），其元素被称为伽罗瓦虚数，它们满足pa＝0，其中p是一个素数，p称为域的特征。伽罗瓦曾具体证明，在一个特征为p的伽罗瓦域中，元素个数是p的一个幂。如在当时的情况一样，伽罗瓦所做的一切都是有具体表示的。到19世纪末，人们知道其他域的例子还有有理函数域及代数函数域。

从整体结构上对域进行考察始自戴德金及克罗内克对代数数域的研究（从1855年起）。但抽象域的观念则来自德国数学家韦伯，他的思想来自抽象群的观念。后来美国数学家狄克逊及亨廷顿给出域的独立的公理系统。在韦伯的影响下，德国数学家施泰尼茨在1910年发表《域的代数理论》一文，为抽象域论奠定了基础。他把域分为两种类型：一种是特征为p的域，也即对所有元素a满足pa＝0的域，它们一定包含最小的城（称为素域），最小的域一定是只含p个元素的伽罗瓦域。另一种是不存在这种p的域，称为特征0，其素域一定是有理数域。不管域属于哪一种类型，任何域均可由素域添加一些新元素“扩张”而成。所以域的根本问题是研究域的扩张。他对扩张进行了分类，其中主要的一类是添加系数在原域中的多项式的根后所得的扩张（代数扩张）。当一个域通过代数扩张不能再扩大时称为代数封闭域。施泰尼茨证明，每个域均有唯一的代数封闭域。特别他还对特征p一般域胁许多特殊性质如不可分性、不完全性进行研究。

关于抽象有限域，已经有了相当完整的结果：1893年美国数学家莫尔证明，任何一有限域必定与某一个伽罗瓦域同构。反过来，对于任意素数p和正整数a，必定存在唯一一个伽罗瓦域，具有p个元素。有限域理论在数论、编码理论、组合理论及数理统计等方面有着许多应用。

在域论中引进p进域是一个重大成就。德国数学家亨泽尔在1908年出版的《代数数论》中系统阐述了p进数，他对这种数规定了加、减、乘、除四种基本运算，构成一个域称p进域，而它是有理数域的一个完备化，如同实数域一样。但是与实数域性质的一个很大的不同是实数域具有阿基米德性质，也就是对任何两个实数a，b总存在一个正整数n，使na＞B。p进域虽然也有一个自然的顺序，但却没有阿基米德性质。pˉ进数域是一种“局部”域，在它里面也可定义整数及代数数，它的建立大大有助于数论的发展。亨泽尔之后，抽象赋值论得到发展，在代数数论及代数几何学上有着重要应用。

抽象理论的建立不仅使已有的零散知识系统化，而且有助于许多问题的解决，1927年阿廷解决希尔伯特第17问题就是靠他引进抽象的实域（他称为形式实域）。实域k是把实数域的一个特性抽象化：即－1不能表示为k中元素的平方和。通过这个概念，他证明“任何正定有理函数都可表示为有理函数平方和”。

2．环论

环的概念原始雏形是整数集合。它与域不同之处在于对于乘法不一定有逆元素。抽象环论的概念来源一方面是数论，整数的推广——代数整数具有整数的许多性质，也有许多不足之处，比如唯一素因子分解定理不一定成立，这导致理想数概念的产生。戴德金在1871年将理想数抽象化成“理想”概念，它是代数整数环中的一些特殊的子环。这开始了理想理论的研究，在诺特把环公理化之后，理想理论被纳入环论中去。

环的概念的另一来源是19世纪对数系的各种推广。这最初可追溯到1843年哈密顿关于四元数的发现。他的目的是为了扩张用处很大的复数。它是第一个“超复数系”也是第一个乘法不交换的线性结合代数。它可以看成是实数域上的四元代数。不久之后凯莱得到八元数，它的乘法不仅不交换，而且连结合律也不满足，它可以看成是第一个线性非结合代数。其后各种“超复数”相继出现。1861年，魏尔斯特拉斯证明，有限维的实数域或复数域上的可除代数，如满足乘法交换律，则只有实数及复数的代数（1884年发表）。1870年戴德金也得出同样结果（1888年发表）。1878年弗洛宾尼乌斯证明实数域上有限维可除代数只有实数、复数及实四元数的代数。1881年小皮尔斯也独立得到证明。1958年用代数拓扑学方法证明，实数域上有限维可除代数，连非结合可除代数也算在内，只有1，2，4，8这四种已知维数。可见实数域及复数域具有独特的性质。

关于域上线性结合代数的研究在19世纪末处于枚举阶段，1870年老皮尔斯发表《线性结合代数》，列举6维以下的线性结合代数162个。他还引进幂零元与幂等元等重要概念为后来的结构理论奠定基础。1898年、嘉当在研究李代数的结构基础上，对于结合代数进行类似的研究，1900年，德国数学家摩林证明，复数域上维数≥2的单结合代数都与复数域上适当阶数的矩阵代数同构。线性结合代数的结构定理是1907年由美国数学家魏德本得出的：线性结合代数可以分解为幂零代数及半单代数，而半单代数又可以表示为单代数的直和。单代数可表为域上可除代数的矩阵代数。这样结合代数就归结为可除代数的研究。可除代数有着以下的结果。1905年魏德本证明：有限除环都是（交换）域，也即伽罗瓦域。当时除了伽罗瓦域及四元数之外，不知道有别的除环。20世纪虽然发现了一些新的除环，但除环的整个理论至今仍不完善。

从线性结合代数到结合环的过渡是阿廷完成的。1928年，阿廷首先引进极小条件环（即左、右理想满足降键条件的环，后称阿廷环），证明相应的结构定理。对于半单环的分类，雅可布孙创立了他的结构理论。他认为对任意环均可引进根基的概念，而对阿廷环来说，根基就是一组真幂零元。对于非半单的阿廷环（主要出现于有限群的模表示中），如福洛宾尼乌斯代数及其推广也有许多独立的研究。而与阿廷环对应的是诺特环，对于有么无的环，秋月康夫及霍普金斯证明阿廷环都是诺特环。对于诺特环，却长期没有相应的结构理论。一直到1958年英国数学家戈尔迪才取得突破，他证明任何诺特半素环都有一个阿廷半单的分式环，这才促进了新研究。与诺特环平行发展的是满足多项式等式的环。近来环表示论及同调方法的应用对结合环理论有极大促进。

环论的另一来源是代数数论及代数几何学及它们导致的交换环理论。1871年戴德金引进理想概念，开创了理想理论。环这个词首先见于希尔伯特的数论报告。代数几何学的研究促使希尔伯特证明多项式环的基定理。在20世纪初英国数学家腊斯克及麦考莱对于多项式环得出分解定理。对于交换环的一般研究来源于E．诺特。她对一般诺特环进行公理化，证明准素分解定理从而奠定交换理论乃至抽象代数学基础，其后克鲁尔给出系统的研究，他还引进了最值得注意的局部环。20世纪40年代，薛华荔、柯恩及查瑞斯基对局部环论进行了系统的研究。

3．群论

19世纪末抽象群开始成为独立研究的对象，当时主要问题仍是以置换群为模式的有限群，问题涉及列举给定阶数的所有群以及群的可解性的判据。

当时主要的定理是由挪威数学家西洛在70年代及德国数学家荷尔德在90年代的。而19世纪90年代群论最主要成就是群表示论的出现，它是由德国数学家福洛宾尼乌斯奠定的。后由他的学生舒尔所发展，成为研究群论不可缺少的工具。所谓群表示即是把群具体实现为某种结构的自同构群，例如域F上的有限维线性空间的线性变换群，通常是把群的元素与F上的n×n可逆矩阵相对应。在英国数学家伯恩塞德的经典著作《有限阶群论》第二版（1911年）已经进行综述并给出应用。

20世纪有限群论的中心问题是有限单群的分类。很久以来，就已经知道一个相当长的有限单群的表，除了素数阶循环群之外，对于每一个整数n≥5存在一个n！／2阶单群，它由n个事物的所有偶置换构成，这就是所谓交错群。当n＝5时，它就是二十面体群。另外还知道许多射影特殊线性变换群PSL（n，q），它们通过行列式为1的n×n矩阵群（元素取在有限域GL（q）中）的商群构造出来。另外对于正交矩阵、辛矩阵、酉矩阵也可以造出一批单群来。这些“典型群”，从若尔当时候起就已知道，后来经过美国数学家狄克逊、荷兰数学家范·德·瓦尔登、法国数学家丢东涅进行系统研究。真正重大的突破是1955年薛华荔在日本《东北数学杂志》上发表的“论某些单群”的论文，这篇论文的重要性不仅展示一些新单群，而且更重要的是对于以前知道的绝大部分通过李代数换基的办法进行统一的处理，从而得出九个系列的薛华荔群。其后，这些薛华荔群经过美国数学家斯坦伯格、韩国数学家李林学、比利时数学家梯茨、日本数学家铃木通夫等人加以扩充，得出全部李型单群的16系列。除了上述这18个序列中的有限单群之外，还有几个不属于它们的所谓“散在单群”，其中头一个是7920阶的群M11是法国数学家马丢在1861年发现的，他不久又发现另外4个单群M12，M22，M23，M24。一直到1965年之前再没有发现新的散在单群了。突然1965年南斯拉夫数学家严科发现了一个175560阶的新单群，其后10年间，陆续发现另外20个敬在单群，其中最大的称为费舍尔“魔群”，其阶大约为8．1053，到这时候是否所有单群均已找到，也就是有限单群的分类已经完成了呢？在这条漫长的路上，首先的突破是一系列群论性质及表示论的成果，其中包括1955年布劳尔的工作。第二个突破是1963年美国数学家费特和汤姆逊证明除循环群之外，奇阶群都是可解群，这个长达250页的论文包括了极其丰富的信息。20世纪70年代，在群的结构研究上有了新的突破，最终导致1981年，有限单群的分类彻底完成，不过全文需要1万页以上，这是各国上百位群论专家通力合作的结果。

对于无穷阶的离散群，也有一些重要的研究，其中重要的是与数理逻辑有关的“字的问题”，即两个符号序列何时相等，对于有限生成的具有有限个关系式的群，1955年左右前苏联数学家诺维科夫、美国数学家布里顿和布恩证明一般的字的问题是不可解的，也就是不存在一个普遍的算法来判定两个字是否相等，但是另一方面德国数学家马格努斯在1932年解决一个关系式的有限生成群的字的问题。另一个重要的问题是伯恩赛德问题，他问一个有限生成的群如果其所有元素都是有限阶的，该群是否有限，这个问题一直到1964年由前苏联数学家考斯特利金举出例子而得出否定的回答。另外还有一个狭义的伯恩赛德猜想，即有限生成群当所有元素x满足x_n＝0是有限群，现在知道当n＝2，3，4，6时，狭义伯恩赛德猜想成立，但如果n相当大，诺维科夫和布里顿等人也举出反例。

三、测度与积分理论

测度是长度、面积和体积概念的精密化及推广。各民族数学发展一开始均致力于测量长度和面积，得出相应的公式及方法，而统一的求积方法一直到牛顿和莱布尼茨建立微积分之后才得到。这时求积问题变成一个特殊的积分问题。但积分是一个相当复杂的概念，19世纪由于分析的严格化才导致由柯西、黎曼及达布相继改进的黎曼积分的概念，最后确定下来。

随着康托尔点集论的建立，要求对更一般的点集的“大小”进行比较及量度，这要求定义测度。先是对黎曼可积性条件中函数的不连续点集的“测度”给出定义。最早是哈那克、杜布瓦——瑞芒、史托尔茨及康托尔在1881到1885试着做出定义，他们均采用覆盖区间长度的下确界，但是这样定义有毛病。例如，两个无公共点集的并集的“测度”有时能够小于两集的“测度”之和，除了上述定义的“外”测度之外，最先定义“内”测度的是皮亚诺，他在1887年定义“可测”集为内、外测度相等，这样虽然克服上述困难，但有界开集并不一定可测。若尔当在他的《分析教程》第一卷第二版（1893年）中也做了类似的定义，同样也有类似的毛病。对这些毛病的补救来自波莱尔，他在《函数论教程》中大大改进了以前的测度观念，利用可数可加性对任一有界开集构造地定义测度。他还考虑零测度集（实际上这个观念可以追溯到黎曼）。而真正把波莱尔的方法同皮亚诺——若尔当的办法结合而形成系统测度论的则是波莱尔的学生勒贝格，这些发表在他的博士论文《积分、长度、面积》当中。

勒贝格的功绩不仅在于建立系统的测度理论，更主要的是建立系统的积分理论。在勒贝格之前，除了黎曼积分之外，还有斯蒂尔吉斯积分。斯蒂尔吉斯在1894年发表的“连分式的研究”中证明：如连分式

（其中a₁为正实数，z为复数）的系数级为发散，则式（1）收敛到一函为数F（Z），F（Z）可表为

其中φ（u）表示u的递增函数，这样他可把黎曼和稍加修改写成曼积分对于一般的数学分析已经足够，但是还有一系列不理想的地方。

微积分的基本定理是微分和积分互为逆运算，也就是说如果

则导数F′（x）存在，而且等于f（x），至少在f光滑的点是如此。但是1881年沃尔泰拉还在比萨大学做学生时，发现一个例子：一个函数F在（0，1）区间上定义有界，其导数f＝F′处处存在，但是在当时流行的积分——黎曼可积的意义是不可积的。因此，需要定义一种积分，它可以在更广的一类函数上定义，而且使微分和积分成为互逆的运算。另外对这种积分还希望收敛级数可以逐项积分。勒贝格在他的1902年学位论文中迈出新的一步，他定义勒贝格积分与以前定义积分的方式不同，以前是先定义积分，然后由积分得到“测度”，勒贝格与此相反，他先定义测度，然后定义积分。他定义积分时，不去把自变量的区间加以区分，而把因变量y的区间（对于实函数来说是R的子集）加以重分（成有限个区间），再仿照通常的办法定义积分，这样就可以使一些很坏的函数也成为勒贝格可积的，最明显的例子就是狄利克雷函数。这样，大大扩充了可积函数的范围。另外如果勒贝格可积函数同时也黎曼可积，则两个积分相等。并且与一些极限运算可以交换，而且可以推广到高维。

勒贝格积分虽然能解决沃尔泰拉原来的问题，但并不足够一般以致能够使所有具有有限导数f（x）＝F′（x）的函数F（x）的导数f（x）＝F′（x）都可积。为此，法国数学家当日瓦在1912年和德国数学家佩隆在1914年分别设计了以他们各自的姓定义的积分。其后鲁金给出描述性定义，这三者是等价的。

1915年法国数学家弗雷歇把积分扩张到抽象集合的泛函上。他的模式取自1913年奥地利数学家拉东的工作，其中引进集函数。他实际上综合了斯蒂尔吉斯积分与勒贝格在1910年把勒贝格测度论推广到高维（三维及三维以上）欧氏空间的研究。勒贝格通过可测函数的积分定义一个集函数，证明它是完全可加的而且绝对连续的。不过他只有点函数观念，而拉东则利用集函数定义拉东测度。1930年波兰数学家尼古丁对抽象测度论完成了1910年勒贝格定理在抽象测度论的推广，最终完成抽象测度论的建立。它不仅构成概率论的基础，同时也是抽象调和分析、谱理论等分支不可少的前提。

四、泛函分析

泛函分析是一门新兴学科，1932年才被正式列入德国《数学文摘》。“泛函分析”这个词首先出现于列维的1922年出版的《泛函分析教程》中。它是一门分析学科，但与传统的分析学科不太一样，后者强调演算，而前者强调概念。它们的对象也有所不同，后者主要讨论个别函数（类）的性质，而前者主要讨论函数空间及其上算子的集合，特别是其上的拓扑、代数及序结构。不过很难说它有一个统一的对象及目标。泛函分析大致可分为四大块：一是函数空间理论，从希尔伯特空间、巴拿赫空间到一般拓扑线性空间的理论。二是函数空间上的分析，这是最先发展的一部分，即所谓泛函演算。三是函数空间之间的映射及算子理论，发展最成熟的是希尔伯特空间中的线性算子理论。四是算子（或函数）集合的代数结构，如巴拿赫代数、冯·诺伊曼代数、C＊代数以及算子半群等理论。

泛函分析的来源可以追溯到18世纪变分法的产生。正如微积分研究函数的极值一样，变分法研究函数集（空间）上的函数——泛函的极值。而泛函分析的直接推动力则是19世纪末兴起的积分方程的研究。它导致线性泛函分析的诞生。

泛函分析的发展可分三个时期：

第一阶段是创始时期，大约从19世纪80年代到20世纪20年代。开始是意大利一些数学家引进泛函演算，特别是他们引进原始泛函以及线性算子的概念。后来法国数学家发展了泛函演算，这反映在阿达马在1897年第一次国际数学家大会上的报告中。他为了研究偏微分方程而考虑了闭区间［0，1］上全体连续函数所构成的族，发现这些函数构成一个无穷维的线性空间，并于1903年定义了这个空间上的函数，即泛函。这些还只是具体的结果。

法国数学家弗雷歇利用当时的集合论观念把前人的结果统一成为一个抽象的理论，他把他们的共同点归纳起来而且加以推广：

（1）把函数或曲线看成一个集合或空间中的点。不妨把它们看成一个抽象集合。

（2）点列的极限概念也可以推广，这样有极限概念的集合他称为L空间，这是后来拓扑空间的萌芽。

（3）集合上可以定义取值在实数里的实函数，即泛函。由于有了极限概念，就可以定义泛函的连续性。

（4）泛函可以进行代数运算，也可以进行分析演算，比如微分。这样就成为名副其实的泛函分析了。

1906年他还在抽象的空间中引进“距离”的观念，具有欧几里得空间距离的性质，这种空间就有更丰富的结构。

大约在弗雷歇同时，希尔伯特对于积分方程进行系统的研究。他在前人基础上，深刻认识积分方程与无穷多变无线性方程组之间的相似性，积分方程的有解性与无穷多变元的收敛性条件有关。这样他实际上得到了具体的希尔伯特空间的理论。抽象的希尔伯特空间理论是他的学生施密特得到的。他引进实和复的希尔伯特空间的几何观念，把函数看成是平方可积序列的空间（l²空间）的点。1907年，匈牙利数学家黎斯等人引进勒贝格平方可积空间（L²空间），发现其性质和l²空间相同，两个月之后，德国数学家费歇尔与黎斯证明l²空间和L²空间同构，只不过是同一种抽象希尔伯特空间的两种具体表现而已。这也反映出研究抽象空间的重要意义。黎斯——费歇尔定理也更清楚表明积分理论和抽象空间的泛函之间的紧密联系。

1910年黎斯仿照L²空间研究了L^p空间（1＜p＜∞，就是p次方可积函数全体构成的空间，后又研究l^p空间，它们不是希尔伯特空间，而是巴拿赫空间。他发现l^p上连续线性泛函全体构成一个“对偶的”空间L^q，且＋＝1，这些空间在研究偏微分方程方面是不可少的工具。

方面是不可少的工具。

第二阶段泛函分析正式发展成为一门学科，1920年到1922年间奥地利数学家哈恩，海莱，维纳和巴拿赫都对赋范空间进行定义并加以研究，海莱还得到所谓哈恩——巴拿赫定理。但对泛函分析贡献最杰出的是巴拿赫。他进一步把希尔伯特空间推广成巴拿赫空间，用公理加以刻画，形成了系统的理论。他在1932年出版的《线性算子论》一书统一了当时泛函分析众多成果，成为泛函分析第一本经典著作。

这时泛函分析不仅理论上比较完备，而且在古典分析的应用上起着举足轻重的作用，其中特别是波兰数学家肖德尔和法国数学家勒瑞的不动点理论是现代偏微分方程理论的重要工具。他们把微分方程的解看成巴拿赫空间到自身映射的不动点，得出了基本定理，这是现代非线性泛函分析的出发点。

1926年冯·诺伊曼来到哥丁根大学，当时正是哥丁根物理学与数学的全盛时代。量子力学的产生和抽象代数、泛函分析的发展使人们思想空前活跃。冯·诺伊曼把希尔伯特空间公理化，并把量子力学的数学基础建立在泛函分析之上。虽然冯·诺伊曼的公理的来源可以从维纳、外尔和巴拿赫的工作中看到，但冯·诺伊曼的工作更为系统，特别是他关于厄米算子的谱理论。

30年代末，波兰数学家马祖尔与前苏联数学家盖尔范德发展巴拿赫代数（赋范环）理论，而且通过抽象方法轻而易举证明古典分析中的大定理。这显示了泛函分析方法的威力，也论证了泛函分析的独立存在的价值。

第三阶段是泛函分析的成熟阶段。从20世纪40年代起泛函分析在各方面取得突飞猛进的发展。头等重要的事是施瓦兹系统地发展了广义函数论，它现在已成为数学中不可缺少的重要工具。它的前身就是狄拉克在量子力学中引进的δ函数。

第二次世界大战以后，泛函分析取得突飞猛进的发展：1920年到1940年间所发展的局部凸向量空间理论的技术在1945年后主要通过沙顿及格罗登迪克引入拓扑张量积的理论而完成。在这个理论的发展过程中，格罗登迪克引进一种新型的拓扑凸空间一核空间，它在许多方面比巴拿赫空间还接近于有限维空间，并且具有许多卓越的性质，使它在泛函分析及概率论的许多分支中证明是非常有用的。

巴拿赫时代就提出来的两个老问题直到1973年才被恩福楼否定解决掉：他造出一个可分巴拿赫空间，其中不存在（巴拿赫意义下的）基；他还造出一个可分巴拿赫空间的紧算子的例子，它不是有限秩算子（关于紧集上的一致收敛拓扑）的极限。

1900年到1930年间由希尔伯特、卡勒曼及冯·诺伊曼所发展的希尔伯特空间的算子谱理论由于盖尔范德及其学派于1941年所创始的巴拿赫代数理论而大大简化及推广。但是，这个理论中最有趣的部分仍然是冯·诺伊曼代数的研究。冯·诺伊曼代数的研究开始得稍早一些，它和希尔伯特空间中局部紧群的酉表示理论有着非常紧密的联系。在冯·诺伊曼的先驱性文章之后，这些代数的分类并没有取得多少进步，特别是相当神秘的“Ⅲ”型因子。到1967年，不同构的Ⅲ型因子只知道三个。其后，事情开始发展很快，几年之内许多数学家发现了新的Ⅲ型因子，一直到1972年到达顶点，发展成一般的分类理论，这个分类理论是建立在富田稔的思想及康耐定义的新的不变量的基础上的，康耐的不变量使他解决了冯·诺伊曼代数理论中许多未解决的问题。

五、拓扑学

拓扑学是现代数学的基础，研究拓扑空间及其间的连续映射。在20世纪初期，分为一般拓扑学（也称点集拓扑学）及组合拓扑学。一般拓扑学讨论点集的一般的拓扑性质，如开、闭性、紧性、可分性、连通性等等。它们的具体体现可追溯到很久以前，但抽象化的定义则是20世纪的事情。最早的拓扑概念在康托尔、拜尔及若尔当等人著作中已经出现，1906年弗雷歇正式提出非度量的抽象空间，同时黎斯也提出“聚点”的公理化定义，然后用它定义邻域，但真正从邻域出发定义拓扑的是豪斯道夫，他在1914年的《集论大纲》中通过邻域定义所谓豪斯道夫空间以及开集、闭集、边界、极限等概念，从而正式形成了一般拓扑学的分支。另一种不通过度量定义拓扑的方法是库拉托夫斯基在1922年提出来的，他用闭包概念定义拓扑。1923年，蒂茨以开集作为定义拓扑的中心概念，现在通用的公理首先是亚历山大洛夫在1925年提出来的。豪斯道夫在他的书的第二版《集论》中加以总结，使——般拓扑学的表述得以确立下来。

使组合拓扑学成为一个重要的数学分支的是庞加莱。他在1881年到1886年在微分方程定性理论以及后来天体力学的研究中，都有意识地发展拓扑的思想。他从1892年起对拓扑学开始进行系统地研究。在1895年到1904年发表的关于“位置分析”的六篇论文中，他创造了组合拓扑学的基本方法并引进重要的不变量，同调及贝蒂数（1895年）、基本群（1895年）、挠系数（1899年），并进行具体计算。他还证明了庞加莱对偶定理的最初形式。1904年他提出了著名的庞加莱猜想；单连通、闭（定向）三维流形同胚于球面。他有意识地研究两个闭流形（首先是三维流形）同胚的条件。在他的第二篇补充（1900年）中，曾猜想如果两个闭流形的贝蒂数及挠系数对应相等，则它们同胚。但不久（1904年）他自己就举出反例，因而他进一步把基本群考虑进去。1919年美国数学家亚历山大举出两种透镜空间，证明它们贝蒂数、挠系数和基本群对应相等，但仍不同胚。至今三维流形的同胚问题尚未解决。

布劳威尔继庞加莱之后对拓扑学做出突出贡献，创造单纯逼近方法，使拓扑学的证明有了严格的基础。1915年亚历山大证明贝蒂数及挠系数的拓扑不变性。对偶定理是拓扑不变量之间关系的重要方面，1922年亚历山大证明亚历山大对偶定理，是对庞加莱对偶定理的重要补充及发展。1930年，列夫希兹证明列夫希兹对偶定理，以上述两定理为其特殊情形。

对基本的拓扑不变量加以改造，早在1908年蒂茨的文章中已经开始，他和其他人开始考虑整数以外的系数，如模p系数及有理数。1926年亚历山大引进Z_n系数。1925年底到1926年初，诺特同亚历山大洛夫等拓扑学家接触时，曾建议把组合拓扑学建立在群论基础上，在她的影响下，浩普夫于1928年定义同调群，但诺特的思想直到以后才逐步为大家了解和接受。1935年切赫考虑系数取在任何交换群中。

20世纪20年代起，数学家曾试图把同调论从流形逐步推广到更一般的拓扑空间。先是维埃陶瑞斯、亚历山大洛夫（1928年）等人推广到紧度量空间，继而切赫推广到一般拓扑空间（1932年），即所谓切赫同调论。同时列夫希兹发展了奇异同调论。这是两个最重要的同调理论。在代数与几何的对偶观念的影响下，许多数学家在20世纪30年代初提出同调群的对偶观念——上同调群。除了同调群和上同调的加法结构外，许多人从各个角度寻找其中的乘法结构，列夫希兹和浩普夫在1930年左右研究流形的交口环。1935年到1938年亚力山大、切赫、惠特尼、柯尔莫哥洛夫等人独立引进复形的上积。后来才证明（1952年）一般同调不一定有上同调那种自然的乘法。上同调具有环的结构，带来更多的应用。1947年，斯廷洛德定义了平方运算，后来发展成上同调运算的理论。

同样在20世纪30年代，另一个更广泛的概念——同伦产生了。同伦观念的重点由拓扑空间的性质转移到空间与空间的映射的性质上。1895年庞加莱定义的基本群是第一个同伦群。其后布劳威尔、浩普夫等人对于球面到球面的映射进行过初步的研究，得出拓扑度的概念。尤其是1931年浩普夫映射的发现促使人们注意连续映射的研究。1932年，切赫在国际数学家大会上定义了高维同伦群，但未引起注意。1933年波兰数学家虎尔维兹对连续映射进行研究，在1935——1936年发表四篇论文，定义了高维同伦群并研究了其基本性质。虎尔维兹还定义了伦型的概念，由于当时所知的大多数拓扑不变量均为伦型不变量，使同伦论的研究有了巨大的推动力。1942年列夫希兹的《代数拓扑学》问世，标志着组合拓扑学正式转变为代数拓扑学。