“病态”图形

“病态”图形

历史上一些数学家曾经构造出一些非常特殊和有趣的几何图形，虽然形态怪异并被称为“病态图形”，但它们都是由某种简单操作的多次重复而形成的，既错综复杂又具自相似性，所以是典型的分形图。尽管是人造的，但它们可以模拟或者代表某些实际的事物，以便进一步研究实际事物的性态。这说明“病态”图还挺有用，下面举两个实例。

通讯误差与康托尔集合

曼德布罗特在IBM曾研究过一个让他的老板十分赞赏的实际课题，也是长期困扰该公司工程师们的问题，那就是通信中的噪声。经验告诉他们，有些噪声可以设法消除，而另有一些噪声无法消除，且总是一拨一拨的出现;如果擦掉出现噪声的那一段信号，就会造成一段通信误差。于是一段无误差的通讯之后紧跟着就是一段有误差的通讯。曼德布罗特分析这个现象的方法是，按不同时间尺度区分无误差传输段和有误差传输段。若把一天的通讯按小时分段，则发现:有一小时无错，下一小时有错，再下一小时无错。若时间段再划分短些，以分为一小段，则发现:原来无错的那一小时内还会出现一些有错段，原来有错的那一小时内也会出现无错段。如果把时间尺度再细分下去，在有错段中总会出现无错段，在无错段中总能找到有错段。而且他发现，不管是用小时还是用分或秒为时间尺度，有错段和无错段之比始终是一个常数。这些特征充分说明通信误差具有自相似性，是分形结构。如何计算其分数维呢?他想起了康托尔集合。

康托尔(G．Gantor，1845—1918)是德国数学家，它构造过这样一个集合:把0到1的一段线段三等分后去掉中间段，剩下的两段再各三等分去掉中间断，如此重复操作无穷次，最后剩下的就是无穷多又无穷稀疏的点的集合，如图6－3所示，显然具有自相似结构。曼德布罗特认为，通讯误差就像是沿时间轴上排列的康托尔集合。由于是点的集合，所以剩下的总长度为零。它的维数可容易算出:由于是规则自相似形体，所以可用公式(6．3)计算。在第n次操作中，用ε=()ⁿ作尺子去测量时，生成的小相似形数为N=2ⁿ，于是分维是

图6－3　康托尔集合

它是小于1的分数。其实构造康托尔集合的方式不止此一种，还可以分割成不等比的段，那时分维数也就变了。究竟用什么样的康托尔集合来算，还得对照有错段和无错段的比是什么数来决定。

曼德布罗特的研究，使IBM的工程师们终于明白，这种噪声既非来自外界干扰也非设备故障，而是由于通信过程为非线性的，产生分形式噪声是自身所固有的效应，不能通过惯用的增加信号强度的办法淹没它，只能在熟悉其特性的基础上仔细辨认和校正。

海岸线长度与科赫曲线

海岸线长度的问题．我们在第三章提到的那位英国科学家理查森，就曾提出并研究过。他查阅了西班牙和葡萄牙，荷兰和比利时等国的百科全书，就连他们作为国境分界的共同河岸线的长度，也竟有20%的差别。究竟海(或河)岸线有无准确长度?曼德布罗特论证的结论是:在某种意义上说，任何海岸线是无限长;在另一种意义上说，这个长度又取决于你所用的测量尺度。如果你用千米做测量单位，则千米以下的弯弯曲曲都将被忽略，测得的总长度就短了;如果你改用米作测量单位，那么超过1米的弯曲都可测出，总长度就增加了;如果你不断地缩小测量单位，更小的弯曲将会被测出，总长度就不断增加，最后趋于无穷。所以，只说海岸线有多长是没有意义的，必须说明是用什么长度单位测量的。因为海岸线是具有自相似结构的，无特征尺度。也许你会说随着测量单位的缩小，总长度会趋于一个特定的数值即真实长度。如果海岸线是规则的整形几何图形，确实如你所说;但对于不规则的分形，那是不可能的，它永远不会收敛于一个特定值。曼德布罗特认为，只有海岸线的维数是确定的，有意义的。

图6－4　用折线近似海岸线

为了计算海岸线的维数(许多自然形体，如河流、树木、血管等都一样)，可如图6－4那样，用长为ε的折线的集合去近似分形图(如对海岸线就是航拍照片上的曲线)。折线即小圆的半径，覆盖曲线所需小圆的最小数N(ε)就是折线数目。原则上说按照公式(6．4)可算出海岸线的维数。但实际上数小圆的数目是很笨拙的。曼德布罗特又想到了用科赫曲线近似海岸线的办法。

科赫(H．Koch，1870—1924年)是瑞典数学家，他曾发明过一种“雪花曲线”模拟雪花，如图6－5所示。其做法是:在正三角形的每一边中间处，再造一个边长为原边长的的外凸正三角形，然后如法炮制下去，经过多次操作，最后得到一个无穷多条无穷短边相接的闭合曲线图形，就是个理想化的雪花图案。若借用此法，在一条单位长度直线的中间处，凸起一个边长为的正三角形，则线段有4段，如法炮制，在第n次作出的凸起正三角形的边长是ε=()ⁿ，共有N=4ⁿ个线段，见图6－6。如果它和你所讨论的海岸线相近，则该海岸线的维数为:生成海岸线的模型可以有许多种，从中选择与实际相符的，并计算其分数维。图6－7中列举了3种，读者也不妨算算它们的分维数，都大于1。

图6－5　科赫雪花

图6－6　一种海岸线模型

图6－7　3种海岸线模型

从上面的具体例子可以看出，原来一维的线，当被挖空时维数变小了，长度也变小了;弯曲它维数变大了，长度也增加了。分维反映了分形结构的紧密程度和所占空间的能力，普遍规律是，占有较小空间却具有很大面积和很长的长度。