证明第五公设的产物

证明第五公设的产物——非欧几何

第五公设的证明虽然屡遭失败，但数学家们却没有在挫折面前停步。伏·鲍耶(1775—1856年)与约翰·鲍耶(1802—1860年)是父子俩，父亲就是倾其终生从事第五公设证明的数学家之一，当他得知儿子约翰·鲍耶正在进行有关第五公设的证明时，他写信给自己的儿子，劝他不要再做这无谓的努力，他说:“……我经过了这个夜的无希望的黑暗，并且我在这里面埋没了人生的一切亮光、一切快乐……希望你放弃这个问题，对它的害怕应当更多于感情上的迷恋……”，父亲失败的苦恼和失望并没有影响儿子，他坚持自己的工作，从而开创了新的数学领域，与罗巴切夫斯基(1793—1856年)和高斯(1777—1855年)等人一起成为非欧几何创始人之一。

“曲径通幽”花木深

鲍耶、罗巴切夫基和高斯是怎样走了一条与他人不同的路，而发现非欧几何的呢?

我们将第五公设以外的公理和公设，以及在此基础上得到结论等放在一起，看成是一个系统，用∑表示，用表示第五公设，则要证明第五公设的工作就是由推出，即∑→。既然由∑直接去推导遇到困难，那么鲍耶等人就采取了下面的策略，用第五公设的否命题代替，与之结合为一个系统∑+，如果第五公设可以证明，即∑→，那么∑→应该是存在矛盾的一个系统。三位数学家正是在这种思想指导下，在∑+这个系统中进行推导，推出了一个又一个定理，但却始终没有推出矛盾来，他们越来越感到，在这个系统中不会有矛盾，反而这个系统代表着另外一种与欧氏几何不同的新的几何。

人们对这些新的结论的接受并不是那么容易的，因为第五公设的否命题就十分令人费解。第五公设实际上描述的是两条直线平行的状态，通过研究人们发现它与这样的平行公理是等价的:过已知直线外一点，至多可以做一条直线与已知直线不相交。它的否定命题是:过已知直线外一点，至少有两条直线与已知直线不相交。这与我们的直观和常识是极不相符的，第五公设的否命题与∑一起同样得到了一个个令人难于接受的命题。

不管新的几何与人们的直观和常识多么不一致，但是从逻辑上人们还是接受了它，接受了这个新的几何。因为在3位数学家中，罗巴切夫斯基最先公布了他的研究成果，所以称这种新的几何为非欧几何或罗巴切夫斯基几何(简称罗氏几何)。

数学家高斯

关于非欧几何，与3位数学家还有这样一段故事。

高斯较早地就有了存在一种不同于欧氏几何的几何的思想，在这种几何中，第五公设是不成立的。他对此又进行了研究，最初称之为反欧几里得几何，后称星空几何，最后称非欧几里得几何，他相信它在逻辑上是无矛盾的。但他却不愿发表这方面的研究成果，他在给朋友的信中说:“我害怕在我发表自己的全部意见时，引起标丁人的嚷嚷”(标丁人是指愚蠢的人，这里借指反对他的人)，高斯的顾虑主要是怕发表非欧几里中许多“怪诞”的结论引起别人的反对，而有损于他的权威。

鲍耶于1823年写成了关于他用第五公设的否命题代替第五公论后推导出来的新几何学的论文，他把文章寄给父亲，请求父亲帮助出版，其父不相信年轻的儿子会有什么成就，对儿子的研究成果反映十分冷淡。直到1829年，父亲出版自己的一本著作时，才在鲍耶的再三请求之下将其文章作为附录附在第二卷的后面。1831年，其父将《附录》的样稿寄给高斯，想听听他的意见，高斯复信写道:“关于你儿子的工作，当我一开始便说我不能称赞他时，你一定会感到震惊……，因为称赞他便等于称赞我自己，文章所有内容，你儿子采取的思路、方法以及所达到的结果，和我在30—35年前的开始的一部分工作完全相同，我真的被这些结果吓住了……”^[1]。

数学家罗切巴夫斯基

罗巴切夫斯基实际上是在1826年就发表了有关非欧几何(他当时称之为虚几何学)的文章，当时未能引起人们的重视，但这个时间被后人认为是非欧几何的诞生的时间。他又分别于1829、1835和1840年等发表文章或出版书，介绍自己的论点和成果。直到1855年，他已双目失明，仍然口授完成了《泛几何学》一书。

从非欧几何的发现过程中，我们看到，罗巴切夫斯基和鲍耶首先发表自称为非欧几何的文章，比高斯表现出了更大的勇气，而这种勇气无论是进行科学研究还是做任何别的事情都是非常需要的。

两个互相否定的命题决定了两种不同的几何学

如前面介绍的那样，欧氏几何是在∑+的基础上得到的几何体系，而罗氏几何则是在∑+的基础上得到的，所以它们有一部分公理是相同的。当然，在欧几里得公理体系的完善过程中，∑已经不仅仅是原来的九个命题，而是又补充了一些新的公理，但它们都是作为两种几何的公共部分的。

第五公设的内容实际上是叙述平行问题的，因此，人们也称其为平行公理，并习惯用下面与它等价的命题来代替它:

在平面内，过已知直线外的一个已知点，至多可以作一条直线与已知直线不相交。

它的否命题我们也不难写出来:

在平面内，过已知直线外的一个已知点，至少有两条直线与已知直线不相交。

这就是罗氏平行公理，因此，实际上是两个不同的平行公理决定了两种不同的几何——欧氏几何和罗氏几何。它们的公共部分被称为绝对几何。

两种几何就像是一棵大树上的两个并生的支叉(如图4－3)，它们吸收着同样的养分，长得一样茂盛。

关子三角形的内角和

图4－3

“三角形内角和等于180°”，这是我们脱口就出的一个最熟悉的定理，而证明它的主要依据是欧氏平行公理，教科书上是这样证明的:

图4－4

把△ABC的BC边延长至D，作CE∥BA，因为∠A=∠ACE，∠B=∠ECD，所以，∠A+∠B+∠ACB=∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°

在证明的过程中。“CE∥BA，且∠A=∠ACE，∠B=∠ECD”是关键的一步，而这正是由平行公理所保证的。因此，应该说“三角形内角和等于180°”只是在欧氏几何里成立的结论。那么在罗氏几何里情况如何呢?

为了搞清楚这个问题，我们不借助平行公理，也就是在绝对几何的基础上来探讨三角形的内角和。

命题:三角形三个内角之和小于或等于π。

证明:用α、β、γ顺次表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C，

假设α+β+γ＞π，我们去寻找矛盾。

延长AB并依次取B₁、B₂、B₃、…，B_n－1，使AB=BB₁=B₁B₂=…=B_n－2B_n－1，作△BB₁C₁，△B₁B₂，C₂…，△B_n－2B_n－1C_n－1，使它们都与△ABC全等(请读者想一想，如何做出这些全等三角形)，设δ=π－α－β，∠CBC₁=∠C₁B₁C₂=……=∠C_n－2B_n－2C_n－1=δ

则有△CBC₁、△C₁B₁C₂、…、△C_n－2B_n－2C_n－1都是全等三角形，

图4－5

故　　CC₁=C₁C₂=…=C_n－2C_n－1=t，

∵　　γ＞π－α－β而δ=π－α－β，

∴　　γ＞δ，

在△ABC和△C₁BC中，AC=C₁B，BC=BC，γ＞δ，

所以有AB＞CC₁，即c＞t，∴c－t＞0，又∵ACC₁ C₂…C_n－2C_n－1B_n－1是连接A和B_n－1两点之间的折线，而ABB₁…B_n－1是直线段，

∴AC+CC₁+C₁C₂+…+C_n－2C_n－1+C_n－1B_n－1＞AB_n－1，

∴b+(n－1)t+a＞nc，

即　　n(c－t)＜a+b－t，

∵a+b＞t(两边之和大于第三边)，

∴a+b－t＞0，

令m=c－t，l=a+b－t，

∴m＞0，1＞0，

而n·m＜l，…………………………………(^*)

上式中m、l都是定数，而n是可以任意的选取，也就是在AB的延长线上B₁、B₂、…、B_n－1的个数是没有限制的，如果m、l分别是两个线段的长，则由阿基米德公理可得，总有n·m＞l，

所以(^*)式与阿基米德公理矛盾，

因此假设α+β+γ＞π不成立。

命题得到证明，也就是在绝对几何中，任意三角形的内角和小于或等于π。

如果在绝对几何的基础上，加上欧氏平行公理，就得到“三角形内角和为π”。若加上罗氏平行公理，则“三角形的内角和小于π”，所以三角形内角和是等于π还是小于π，成为欧氏几何和罗氏几何的又一根本分歧点。

黎曼几何

比较一下欧氏几何和罗氏几何的平行公理，你会发现这样一个问题，欧氏平行公理说的是过直线外一个已知点至多有一直线与已知直线不相交，而罗氏平行公理则说是至少有两条这样的直线与已知直线不相交，那么过已知直线外一点可不可以约定没有直线与已知直线不相交，做了这样的约定，情形会怎么样?

另外，关于三角形的内角和，也有类似的疑问，那就是，三角形内角和可不可以大于π?

数学家黎曼

德国数学家倍耳哈特·黎曼(1826—1866年)于1854年(也就是在罗氏几何正式公布于众之后28年)解开了这些疑问，提出了既不是欧氏几何也不是罗氏几何的另一种新几何，人们称之为“黎曼几何”。在黎曼几何中，“任何两条直线必有唯一的交点”、“三角形内角和大于π”。当然，黎曼几何还有更多更深的含义和内容。黎曼几何的诞生，不仅丰富了几何学内容，而且也彻底更新了人们的几何观念。他把对三维空间的研究推广到了n维空间，并把这样的空间称作一个流形，关于黎曼几何更多的内容，在此我们暂时无需去了解了。

值得一提的是，黎曼只活了39岁，却对数学做出了无可估量的贡献，“在他短短的一生中，他把数学向前推进了几代人的时间。”^[2]