世界著名的“孙子问题”

世界著名的“孙子问题”

我国古代数学名著《孙子算经》中，记载这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何：（答二十三）”。用现在的话来说就是：“有一批物品，三个三个地数余二个，五个五个地数余三个，七个七个地数余二个，问这批物品有多少个？”这个问题的解题思路，被称为“孙子问题”、“瑰谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等等。被西方数学界誉为“中国剩余定理”，是世界上著名的数学问题。

那么，这个问题怎么解呢？明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：

“三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝，

七子团圆正月半，

除百零五便得知。”

歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘；第二句指除以5的余数用21去乘；第三句指除以7的余数用15去乘；第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。即：

70×2＋21×3＋15×2－105×2＝233－210＝23

为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。把70、2l、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差是最小的一个答案。

用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其他的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的那样进行解答。例如：

一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？

题中3、7、8三个数两两互质。则［3，7］＝21；［7，8］＝56；［3，8］＝24；［3，7，8］＝168。为了使21被8除余1，用21×5＝105；使56被3除余1，用56×2＝112；使24被7除余1，用24×5＝120。然后，105×5＋112×2＋120×4＝1229，因为，1229＞168，所以1229－168×7＝53。即所求的数。（请小读者按题意检验一下，是否正确）

（老牛）