跨世纪的难题

3　跨世纪的难题——四色猜想

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你想知道世界近代三大数学难题之一的四色猜想是什么吗？它是怎么提出的？又是怎么解决的呢？

四色猜想又称四色问题、四色定理，是世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出最先来自一位叫格思里的英国大学生。四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”

著名数学家哈密尔顿

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

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凯　利

凯利（1821─1895），英国数学家，不变量理论的奠基人。17岁时考入剑桥大学，毕业后留校讲授数学，几年内发表论文数十篇。1846年转攻法律学，3年后成为律师，工作卓有成效。任职期间，他仍业余研究数学，并结识数学家西尔维斯特。1863年应邀返回剑桥大学任数学教授。他得到牛津大学、都柏林大学和莱顿大学的名誉学位。1859年当选为伦敦皇家学会会员。

他首创代数不变式的符号表示法，给代数形式以几何解释，再用代数观点去研究几何学。他第一次引入n维空间概念，详细讨论了四维空间的性质，为复数理论提供佐证，并为射影几何开辟了道路。他还首先引入矩阵概念以化简记号，规定了矩阵的符号及名称，讨论矩阵性质，得到凯利-哈密顿定理，因而成为矩阵理论的先驱。他的矩阵理论和不变量思想产生很大影响，特别是对现代物理的量子力学和相对论的创立起到了推动作用。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878—1880年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

数学家赫伍德

1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。但是不管怎样，先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。

剑桥大学

随着科学技术的发展，人们发明了高速数字计算机。由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了证明四色猜想的进程。从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。

伊利诺伊大学外景

他把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起来，除首都（称为顶点）及铁路（称为弧或边）外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图。到了20世纪60年代后期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的“放电法”，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。

美国伊利诺伊大学的哈肯在1970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制了一个很好的程序。就在1976年6月，他们在美国伊利诺伊大学的两台不同的电子计算机上，用了1200小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。

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四色猜想的提出

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一个有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作仍没有进展。最后，弟弟格里斯只得请教他的老师、著名数学家德·摩尔根。