光学传递函数评价像质的基本概念

14.5　光学传递函数评价像质的基本概念

前面所讨论的各种光学系统像质评价方法都是基于点基元的观点，即把物面图形看作是无限多个发光点的集合，研究每个点经过光学系统后成像为弥散斑的形状、大小和能量分布情况，即用脉冲响应函数来表征系统成像特性。这种方法属于空间域的成像分析与像质评价方法；与此完全不同，光学传递函数理论的基本出发点，是将物面图形分解为各种频率的谱，用频谱的概念讨论光学图像的形成，也就是将物的亮度分布函数展开为傅里叶级数（物函数为周期函数）或傅里叶积分（物函数为非周期函数），研究光学系统对亮度呈余弦分布目标的各种空间频率的传递能力，即以光学传递函数作为评价成像系统传递图像信息质量的判据。这种基于余弦基元观点的方法则是属于频率域的成像分析与像质评价方法。

对式（14.24）作傅里叶变换得

G_out（f）=H（f）·G_in（f）　　　　　　　　　　（14.34）

式中，大写字母的函数分别为相应小写字母的函数的傅里叶变换。作傅里叶变换的实质就是把输入函数按复指数简谐函数exp（－jf·r）分解成具有不同空间频率f的复指数函数，这时H（f）即表征该系统对频率为f的基元函数exp（－jf·r）的作用。应注意的是，式（14.34）是相乘关系，即在频率域中，一个线性平移不变系统的响应是局部的，即一个频率点的信号只引起同一频率点的输出响应，不会产生新的频率成分。系统的作用即H（f）的作用只是改变输入简谐（正弦或余弦）基元信号的幅度和相位。H（f）称为系统的频率传递函数或光学传递函数OTF。它等于点扩散函数的傅里叶变换，即

H（f）=∫drh（r）exp［－jf·r］　　　　　　　　　　　　　（14.35）

H（f）完全表征了系统的成像特性，即反映系统对不同空间频率正弦波分量的通过能力。然而，用它来分析系统的响应比用h（r）简单多了。其中，H（f）的模|H（f）|通常称为调制传递函数或对比传递函数MTF（f），它表示被成像系统传递的谐波成分f调制度（或对比度）衰减的情况，反映了轴向像差对成像对比度影响；H（f）的相位arc［H（f）］称为相位传递函数，用PTF（f）表示，它表示被成像系统传递的谐波成分在像面上相对其理想位置的偏移，反映了非对称像差如慧差和像散等谐波成分产生的偏移。

图14.27　余弦分布目标的传输

为了说明光学传递函数的物理意义，现以最简单的一维余弦分布目标为例进行讨论，并设光学系统的垂轴放大率等于1，系统的点扩散函数为h（x）。如图14.27所示，物面亮度分布函数为

g_in（x）=a₀+acos2πNx（14.36）

式中：a₀——平均亮度，为常量；

　　　a——亮度变化的振幅；

　　　N——亮度变化的空间频率。

对应物面即输入图像的对比度为

对比度通常又称为调制度，从式（14.37）可见，对比度直接和振幅有关。

将式（14.36）代入式（14.24），可得

式中，的意义是物面上一条无限细亮线在像面上所产生的总能量，它取决于物面亮度和光学系统透过率等光度性能，与光学系统成像质量无关，故可将它规化为1； MTF（N）=|H（f）|_f=N，PTF（N）=arc［H（f）］_f=N，其中为点扩散函数h（x）的傅立叶变换，即光学传递函数。

由式（14.38）可得，输出图像的对比度

由式（14.38）和式（14.39）可以得出如下结论：亮度为余弦分布的物体，经光学系统所成的像仍为同一频率N的余弦分布，平均亮度a₀不变，但亮度分布振幅变为aMTF（N），对应的输出图像的对比度是输入图像对比度的MTF倍，同时相位移动了PTF（N）/2πN。

上述分析说明了调制传递因子MTF（N），它表征光学系统传递物对比的能力，由于光学系统的衍射与残余像差而导致了MTF（N）＜1；PTF反映了光学系统对谐波成分的相位调制。由式（14.35）可知，光学系统的传递函数就是其点扩展函数的傅里叶变换。这个结论很重要，它是计算光学传递函数的数学基础。利用几何或物理方法求得点扩展函数后，经过傅里叶变换，即可计算出光学传递函数。

光学传递函数能较全面地代表一个光学系统的成像质量，它使光学设计完成后，不需进行试制就能比较具体地了解光学系统的实际成像性能，因此它逐渐成为光学设计中评价像质的主要方法。由于PTF只是使像点相对理想位置有位移，而并不影响像的清晰度，决定成像质量的主要是MTF，所以，通常主要是利用MTF来评价系统像质，即只给出系统的MTF。目前最常用的方式是给出若干视场的子午MTF_T和弧矢MTF_S曲线，如图14.28所示的某摄像物镜的调制传递函数曲线。由图14.28曲线看出，当空间频率N=0时，MTF=1，随着N的增大，MTF值下降，当空间频率N增大到某一值时，MTF值降为零，与此对应的频率称为光学系统的截止频率。凡高于截止频率的余弦分布物面一律无法通过系统，所以说，光学系统是一个低通线性滤波器。

传递函数曲线在光学设计中有以下用途：①确定不同对比度的目标，经光学系统成像后，光学系统的截止空间频率就是该系统的分辨率极限，用不同的接收器接收时能达到的对比度阈值相应的分辨率为实际分辨率；②用传递函数曲线判断不同设计方案的优劣或用来指导进一步校正像的方向；③对特定用途的光学系统，可简化采用若干指定空间频率的MTF值来表示系统的成像质量，所指定的频率称为特征频率。

按分辨率定义，当两像点合成光强分布曲线的对比度为0.136时，该两点仍能分辨。若目标为高对比，即目标光强分布对比度K=1，则调制传递因子MTF=0.136，显然，MTF曲线上，由MTF=0.136所对应的空间频率N₀便是光学系统的极限分辨率。

图14.28　某摄像物镜的调制传递函数曲线

图14.29　调制传递函数

传递函数反映不同空间频率的传递能力。图14.29中两个不同设计方案镜头的MTF曲线1和2。这两条曲线的极限分辨率值都是N₀，但在低频部分时，曲线1比曲线2的MTF值高，所以，镜头1的像质优于镜头2。由此可见，光学传递函数评价像质更加全面深入，它不仅给出一个分辨值，还给出不同频率的对比度传递值。

实际光学系统的像总要用一定的接收器接收，例如目视仪器的接收器是人眼；照相机的接收器是感光胶片；电视摄影机的接收器是光电转换器件等。仪器的分辨率是指通过光学系统成像以后，这些特定的接收器所能分辨的最高空间频率。因此，分辨率的高低不仅与光学系统有关，而且也和这些接收器的特性有关。接收器的特性常用阈值曲线表示，图14.29中曲线3为某种接收器的阈值曲线，它代表接收器在不同对比度下所能分辨的极限空间频率。阈值曲线和MTF曲线的交点对应的空间频率就是光学系统加接收器构成的组合系统的分辨率，也就是仪器的分辨率。

利用电子计算机，可以准确计算出光学系统的光学传递函数；而实际系统的光学传递函数也能方便地利用仪器测量。因此，光学传递函数就把光学系统的设计质量和使用性能的实际检测统一起来，从而能很好地反映系统的成像质量，且不受被观察物类型的限制，因而近代光学成像系统的像质评价广泛采用光学传递函数的方法。