反射后，光亮度的变化规律

8.2.2　光束在介质分界面折射、反射后，光亮度的变化规律

当光束射至两种透明介质的分界面时，一小部分光能将被界面反射，另一部分光能将折射入另一种介质，这时反射光束与折射光束的亮度将发生变化。利用元光管可以分析反射光束与折射光束的亮度变化规律。

如图8.17所示，面元dS是入射元光管、折射元光管与反射元光管的公共界面，ON是面元dS在O点处的法线，i、i＇、i″分别代表入射角、折射角与反射角；dω、dω＇、dω″分别是入射光束、折射光束与反射光束的元立体角；dφ、dφ＇、dφ″分别是入射光通量、折射光通量与反射光通量；L、L＇、L″分别是入射光束、折射光束与反射光束的亮度。根据式（8.40）及式（8.4），应有

dφ=LdScosidω=LdScosi（sinididφ）　　　　　　　　　　　　　　（8.51）

dφ＇=L＇dScosi＇dω＇=L＇dScosi＇（sini＇di＇dφ＇）　　　　　（8.52）

dφ″=L″dScosi″dω″=L″dScosi″（sini″di″dφ″）　　　　　（8.53）

由于在折射与反射过程中，入射光线、折射光线与反射光线共面，三个元光管的φ角相等，因而上述三式中的dφ均相等。又因对反射情况i″=i，因而亦有di″=di。这表明，反射元光管与入射元管具有相同的立体角，即dω″=dω。将式（8.53）与式（8.51）相比，得到

图8.17　光束在两种介质界面折射、反射的亮度变化

即反射光束与入射光束的亮度之比等于其光通量之比，比值ρ即为反射系数；而对透射系统来说，ρ值则相当于入射光束在透明介质分界面上折射时的反射损失，也就是光束折射时亮度损失的量度。式（8.54）亦可表为

L″=ρL　　　　　　　　　　　　　　　（8.55）

上式表明反射光束亮度等于入射光束亮度乘以反射系数ρ。

对折射情况来说，如果不考虑介质的吸收和散射损失，则在两种介质分界面上入射光束、折射光束与反射光束的光通量应满足能量守恒定律，即有dφ＇=dφ－dφ″

将式（8.54）代入上式，得

dφ＇=（1－ρ）dφ（8.56）

上式亦可表为

将式（8.52）与式（8.51）代入上式，则有

若将折射定律两边分别对i和i＇取微分，则有：ncosidi=n＇cosi＇di＇

将上式代入式（8.58），得到

式（8.59）即为界面上折射光束的亮度计算公式。从中可以看出，折射光束的亮度不仅与入射光束的亮度以及相邻介质折射率比值的平方成正比，还与界面的反射系数有关。

若光束连续经过两个界面折射，且第一、三介质折射率相同，则两次折射后应分别有

将L₁＇式代入L₂＇式则得到

L₂＇=L₁（1－ρ）²　　　　　　　　　　　　（8.60）

式（8.60）表明，满足上述条件时，相邻介质折射率比值的平方将不影响第三介质中光束的亮度。因此，透镜乃至大多数光学仪器中，光束均自空气折射入玻璃，最后又重新折射返回至空气中，所以在计算光的反射损失时可无须考虑因子。

若光束在界面折射时不存在反射损失（ρ=0），折射前后光通量相等，则式（8.59）应为

也可表为

上面对于两种相邻介质成立的等式也可以推广至任意个数的介质中，即有

上式表明，每一次折射前后光束的光亮度是有变化的；但是光亮度与该介质折射率平方的比值却始终是一个不变量。若将其表为L₀，并称之为“折合亮度”，则由式（8.62）亦可得出结论：如果不考虑光束传播过程中的光能损失，则光束在其传播方向上的折合亮度保持不变。由于光束的反射及在均匀介质中的传播均可视为折射的特例，因此光束经过任意次的折射、反射及在均匀介质中的传播，上式始终成立。顺便指出，若光束在空气中，即n=1，则折合亮度等于实际亮度。