平面反射系统的转像规律分析

5.5.3　平面反射系统的转像规律分析

反射棱镜系统和平面镜系统的成像特性与作用完全相同，因此，也可一般地称它们为平面反射系统。平面反射系统的成像规律与共轴球面折射系统的成像规律则有根本的不同，后者系统的光轴是不变的，即其出射光轴与入射光轴的方向完全一致；但像的位置和大小随物体位置而改变，且变化规律是复杂的；而像面的方位只有两种可能：正像或倒像，且均为一致像。平面反射系统光轴的方向是可改变的，且可直接按反射定律确定；像的大小与物相等，没有变化，像的位置与物体位置的关系符合“镜对称”原则；像面方位的变化较复杂，与变化的光轴相结合，可能形成镜像（非一致像）、一致像、或完全一致像。因此，研究平面反射系统的成像规律，一个主要问题就是解决转像规律。下面，即转入对反射棱镜系统转像规律的具体分析。

大量的反射棱镜及其组合存在单一光轴截面，复杂的反射棱镜系统则可能存在几个互不重合的光轴截面。因此，分析反射棱镜系统的转像规律，首先要解决单一光轴截面内的转像规律，在此基础上再研究解决具有两个互相垂直光轴截面的反射棱镜的转像规律，则一般反射棱镜系统的转像规律不难解决。

1）具有单一光轴截面的反射棱镜系统

所谓具有单一光轴截面，系指反射棱镜系统的整个光轴折线是在同一平面内，所有反射镜的光轴截面都彼此重合。

为表示经反射棱镜系统后像与物的方向关系，在物空间选取右手直角坐标系o－xyz代表物坐标（在平面图形中以形式表示；空间图形以形式表示），并令x轴与反射棱镜的入射光线方向重合，以yoz代表物平面，y轴位于反射棱镜系的光轴截面内，z轴垂直于反射棱镜系的光轴截面；若以o＇－x＇y＇z＇表示o－xyz经反射棱镜系统后像的坐标方位（注意，并不代表实际像的位置），则像坐标系的各轴取向可按如下方法确定：

（1）首先，在x轴与反射棱镜入射光轴重合的情况下，根据反射定律可以确定x＇轴方向。显然，x＇轴与棱镜系的出射光轴重合，因而可代表出射光轴方向；

（2）其次，确定垂直于光轴截面的像坐标分量z＇轴的方向。由于z轴方向垂直于光轴截面而平行于棱镜系的所有反射平面，根据平面镜的像与物“镜对称”的特性，z轴无论经过多少次平面镜反射，其方向均不改变，因此z＇轴与z轴方向一致。简言之，垂直于反射棱镜系光轴截面的坐标分量，经反射棱镜系后其方向不变；

（3）最后，确定棱镜系光轴截面内的像坐标y＇轴的方向。根据系统的总反射次数，按“奇次成镜像，偶次成一致像”的原则，确定像坐标系o＇－x＇y＇z＇应是左手坐标系还是右手坐标系；进而根据已确定的x＇、z＇轴方向，可以确定y＇轴方向。

图5.23给出了具有单一光轴截面的几种典型反射棱镜的转像原理图。为了形象，以立体图形表示。图中（a）、（b）为一次反射棱镜；（c）、（d）、（e）为二次反射棱镜；（f）为三次反射棱镜。对于具有单一光轴截面的多次反射棱镜系统，按照上述方法，也很容易确定像坐标的方向。图5.24和图5.25分别为具有1次反射和7次反射的棱镜系统转像的平面图形表示法。其中，别汉棱镜FB－0°具有5次反射。

2）具有两个互相垂直的光轴截面的反射棱镜系统

对具有两个互相垂直的光轴截面的反射棱镜系统，为确定像坐标系的方向，可以将棱镜系统划分为几个具有单一光轴截面的反射棱镜，然后按前述规律依次判断其成像方向；也可以将整个棱镜系统一起考虑，按如下方法依次判断各像坐标的方向：

图5.23　具有单一光轴截面反射棱镜的转像

（1）首先根据反射定律确定x＇轴方向，x＇轴与棱镜系统的出射光轴方向重合；

（2）根据“反射棱镜只能改变其光轴截面内的物坐标方向，而不改变垂直于其光轴截面的物坐标方向”的原则，直接或者利用作图方法，确定y＇（或z＇）的方向。作图的方法是：从y（或z）坐标的顶点引一条平行于棱镜光轴的光线，经棱镜系统反射后，必通过像坐标y＇（或z＇）的顶点。利用这一规律，即可确定y＇（或z＇）的方向（图5.24表示了用作图确定一次反射等腰直角棱镜光轴截面内像坐标y＇方向的方法）。实际判断时，这一步应该在y和z两个坐标分量中，选择其所在光轴截面中反射次数少的一个坐标分量；

（3）最后，根据反射棱镜系统总反射次数为奇数还是偶数，判定系统成镜像还是一致像；进而根据已知的x＇、y＇（或z＇）方向，确定z＇（或y＇）的方向。

图5.24　一次反射直角棱镜像坐标确定的表示

图5.25　具有7次反射的棱镜系统转像

图5.26　具有两个光轴截面互相秉直的棱镜系统

图5.26表示了具有两个互相垂直光轴截面的两种常用反射棱镜系统—FP－0°普罗（Porro）Ⅰ型和Ⅱ型反射棱镜的转像规律。如图（a）所示Ⅰ型棱镜是由两个二次反射的等腰直角棱镜Ⅰ和Ⅱ组成，两者的光轴截面互相垂直。棱镜Ⅰ的两次反射可使其光轴截面内的物坐标y的方向改变180°，即y＇与y反向，但却不能改变z的方向；类似地，棱镜Ⅱ只能使其光轴截面内的z坐标方向改变180°，即z＇与z反向，但对y坐标的方向没有影响。最终结果，光轴平移，像坐标与物坐标同为右手坐标系，即生成一致像，但像面y″o″z″相对于物面yoz绕光轴旋转180°，为倒像。图（b）所示的Ⅱ型棱镜，是由两个一次反射等腰直角棱镜Ⅰ、Ⅲ和一个二次反射等腰直角棱镜Ⅱ组成。Ⅰ与Ⅲ胶合在Ⅱ的斜面上，两者的斜面相互垂直，而其光轴截面则相互平行，从对物像方向的作用看，可以认为Ⅰ和Ⅲ具有同一光轴截面，并与Ⅱ的光轴截面相垂直。Ⅱ型棱镜的平移光轴作用和使像倒转作用与Ⅰ型棱镜相同，两种棱镜均可用作双眼仪器的转像系统，与物镜相配合，实现完全转像，即得到正像。这两种棱镜还可以改变各分棱镜之间沿光轴方向的距离，以满足光学仪器的长度和外形尺寸的要求，但其光轴方向和转像情况不变。

对于光轴截面的相对位置为任意的更复杂的反射棱镜系统，其转像规律可应用矢量与矩阵运算方法解决。

3）屋脊棱镜

有些情况下，由平面镜棱镜系统所成的像，其光轴的折转方向和光轴截面内像坐标的方向已符合要求，但由于系统的总反射次数为奇数，得到的是镜像。为了得到与物一致的像，但又不宜再增加反射面，可以采取以两个互相垂直的反射面代替其中一个反射面的办法。定义以两个互相垂直相交的反射平面（称为“屋脊面”）代替一个反射平面的棱镜为“屋脊棱镜”。两屋脊面的交线称为“屋脊棱”，屋脊棱应在原反射平面的光轴截面内；两屋脊面的夹角称为“屋脊角”，显然，屋脊角为90°。

图5.27　屋脊棱镜的转像规律

屋脊棱镜的转像规律，可以用直角屋脊棱镜（DⅠJ－90°）又称阿米西（Amici）棱镜为例加以说明。由图5.27可以看出，x轴进入直角屋脊棱镜后，在屋脊棱上发生反射。因此，DⅠJ－90°棱镜与不带屋脊面的一次反射直角棱镜（DⅠ－90°）相比，其x＇轴方向不变；同样，棱镜光轴截面内的y坐标，也可以认为是在屋脊棱上进行反射，因而y＇方向也不改变；但是，垂直于棱镜光轴截面的z轴，经屋脊面的两次反射后，方向改变180°，即z＇轴与z轴反向。因此，直角屋脊棱镜DⅠJ－90°与一次反射直角棱镜DⅠ－90°对光轴和光轴截面内坐标分量的作用是相同的；不同的是，屋脊面使垂直于光轴截面的像方向改变180°，即左右颠倒。将讨论扩展至任意屋脊棱镜，可以得到如下结论：平面反射系统中，当总反射次数为奇次、成镜像、垂直于光轴截面的像的方向不合要求时，则可以将系统中的一个反射平面用一对屋脊面代替。这样，垂直于光轴截面的像的方向（z＇）将倒转180°，而出射光轴方向（x＇）和棱镜光轴截面内像的方向（y＇）不改变。因而，由于总反射次数增加了一次，变奇数为偶数，系统生成一致像。

在讨论了屋脊棱镜转像规律的基础上，可将包含屋脊棱镜的平面反射系统成像方向的判断方法归纳如下：

（1）首先根据反射定律确定出射光轴x＇方向；

（2）若系统中存在一对屋脊面，则垂直于光轴截面的坐标分量倒转180°，即z＇与z反向；

（3）根据系统总反射次数（包括屋脊面的两次反射）的奇偶，判定系统是成镜像还是一致像；进而根据已知的x＇、z＇方向确定y＇方向。

在相同光轴折转和转像要求下，采用带屋脊面的反射棱镜系统，比采用相同反射次数的、具有互相垂直的光轴截面的反射镜系统，其突出的优点是：光学系统基本不变（相对于没加入屋脊面前的系统），光轴折线在同一平面内，因而结构尺寸大为减小。如图5.28所示，为对比具有同样转像及光轴折转要求的两个反射棱镜系统：（a）为普罗Ⅱ型反射棱镜；（b）为一次反射直角棱镜与屋脊五棱镜的组合。显然，后者的结构尺寸小得多，因此，屋脊棱镜被广为应用；当然，在某些特定使用要求下，需要采用如图（a）所示一类系统。

图5.28　实现同样光轴折转与转像要求的两种棱镜组合对比

图5.29　几种常用的屋脊棱镜

图5.29给出了常用的几种屋脊棱镜：（a）直角屋脊棱镜DⅠJ－90°；（b）五角屋脊棱镜WⅡ_J－180°；（c）屋脊棱镜DⅡ_J－180°；（d）斯密特屋脊棱镜DⅢ_J－45°；（e）靴形屋脊棱镜FX_J－90°；（f）阿贝屋脊棱镜FA_J－0°；（g）列曼屋脊棱镜LⅢ_J－0°。

图5.30　屋脊角误差对成像光束的影响

对屋脊棱镜的特殊要求是，两屋脊面间夹角必须严格等于90°，否则将形成双像，对成像质量十分有害。以入射平行光束为例，由于一束光在屋脊面上被分成两半部分，其中，半部光束（以光线1为代表）先经平面Ⅰ反射再经平面Ⅱ反射；另一半光束（以光束2为代表）则先经平面Ⅱ反射，再经平面Ⅰ反射（见图5.27）。当两屋脊面垂直时，同一方向入射两半部分光线，无论先经哪个面反射，最终出射时仍保持平行（图中1＇和2＇平行）；若两屋脊面夹角不等于90°时，则两半部分光线经屋脊面反射后，不再平行出射，而是成为有一微小夹角的两束平行光，这将导致双像。图5.30（a）和（b）分别表示两屋脊面夹角为90°和不等于90°时，在垂直于屋脊棱截面内，两半部光束经反射后的出射情况。

综上所述，对棱镜转像规律的研究，使我们不仅可以判断已知的平面镜棱镜系统的成像方向，而且为我们提供了设计平面镜、棱镜系统与选用棱镜的依据。设计时，应考虑满足使用提出的折转光轴及转像要求或者其它的特殊要求；此外，还应考虑尽可能以最简单、紧凑而经济的结构形式来实现。例如，要求设计一个由反射棱镜组成的平面反射系统，该系统用于观察固定方向的潜望镜中，要求潜望高为H，系统光轴位于同一平面中，出射光轴与入射光轴同向，在物镜像面上得到正像。根据上述要求，棱镜系统的组成方案可以分析如下（见图5.31）：

图5.31　实现使用要求的棱镜系统可行方案分析

（1）由潜望高H、光轴同向及物镜像面上的正像要求，可以得到此反射棱镜系统应完成的光轴折转及物像坐标方向的变换任务如图（a）所示。

（2）为实现上述光轴折转，需采用两个能使光轴折转90°的反射棱镜，构成单一光轴截面的棱镜系统。由于要求物像坐标一致，且像与物反向，因此光轴截面内的反射次数应为奇次；这样的系统应由一个一次反射、光轴折转90°的棱镜与一个二次反射、光轴折转90°的棱镜构成，具体方案可有如图（b）所示的两种方案。

（3）光轴截面内的三次反射可使光轴折转及光轴截面内的像坐标方向y＇满足要求；为使垂直于光轴截面的像坐标z＇的方向也满足正像要求，必须将系统中的某一个反射面以屋脊面取代。有实用意义的两种方案如图（c）所示。当然，原理可行的方案尚不只于此。