一阶逻辑的模型

8.2.1 一阶逻辑的模型

回顾第七章，逻辑语言的模型是组成考虑中的可能世界的形式化结构。命题逻辑的模型只是命题符号的真值集。一阶逻辑的模型更令人感兴趣。首先，它们内部包含有对象！模型的域是它所包含的对象集；这些对象有时被称为域元素。图8.2显示了一个含有5个对象的模型：1189到1199年间在位的英格兰国王“狮心王”理查（Richard the Lionheart）；他的弟弟，邪恶国王约翰（the evil King John），他从1199年到1215年统治英格兰；理查和约翰的左腿（left leg）；一个王冠（crown）。

模型中的对象可能以不同的方式相互关联。图中，理查和约翰是兄弟。形式化地说，关系只是相互关联的对象的元组集合。（元组是以固定顺序排列并用尖括号括起来的一组对象。）因此模型中的兄弟关系是集合

（在此，我们用原始名称来命名对象，不过，如果你愿意，你可以随意替换图中的名称。）王冠在约翰王的头上，因此关系“在…的头上”只包含一个元组王冠，约翰王。“兄弟”（brother）和“在…头上”（on head）关系都是二元关系——也就是说，它们涉及成对的对象。该模型还包括一元关系或称属性：理查和约翰二者的“人”（person）属性都为真；只有约翰的“国王”（king）属性为真（大概因为在这个时候理查已经死亡）；而且只有王冠的“王冠”（crown）属性为真。

图8.2 包含5个对象、2个二元关系、3个一元关系（用对象上的标注表示）以及1个一元函数left-leg的模型

最好把某些类型的关系考虑为函数，因为这样给定的对象一定只与一个对象以这种方式相关联。例如，每个人都有一条左腿，因此模型有一个包括下列映射的一元“左腿”函数：

严格地说，一阶逻辑中的模型要求全函数，即对于每个输入元组必须有一个输出值。因此，王冠必须有一条左腿，每条左腿也不例外。一种解决这一棘手问题的技术方法是：一个附加的“不可见”对象是每个没有左腿的事物——包括左腿本身——的左腿。幸运的是，只要人们不对没有左腿的事物提出任何关于左腿的断言，这种技术性处理就无关紧要了。