你能说数学语言吗

前面我比较了数学的抽象概念与语言文字这两者含义的异同。数学是一种语言吗？不论从数学逻辑的视角分析，还是从语言学角度来看，都可以看出在某种程度上的确是这样的。布尔、弗雷格、佩亚诺、罗素、怀特黑德、哥德尔，还有他们今天的追随者们（特别是在哲学的句法、语义学以及语言学的领域里）已经证明，语法和推理与逻辑符号的代数学密切相关。但是为什么世界上至少有6500多种语言，而只有一种数学呢？事实上，所有这些不同的语言都有一些共同的结构特点。例如，美国语言学家查尔斯·霍克特（Charles F.Hockett，1916—2000）在20世纪60年代注意到所有的语言都有一种内在的、固化的技巧，以使新词或短语能被人们比较容易地接受（例如网站“主页”、“笔记本”电脑等）^［272］。同样，所有的人类语言都允许有抽象概念的存在（例如“超现实主义”、“缺乏”、“伟大”），允许有否定的表达（例如“不”、“不可以”），允许提出基本假设（例如“如果奶奶有轮子，那么她就是一辆汽车了”）。也许在所有语言中最重要的两个属性就是它们的末端开放（open-endedness）和刺激自由（stimulus-freedom）。前者代表语言可以创造出那些我们过去闻所未闻的表述，并且理解这种表述的能力，例如，我可以非常轻易地造出以下这样一个句子：“你不能用口香糖来修胡佛大坝。”也许你过去从来没有听到过这句话，但是你在理解它的意思时却不存在任何障碍。而刺激自由则是指在面对刺激时作出回应的能力^［273］。例如，创作性歌手卡洛尔·金（Carole King）在她的歌曲中提出了一个问题：明天你是否依然爱我？答案应当是如下几种：（1）我不知道明天我是否还活着，（2）绝对还爱你，（3）甚至在今天我也不爱你，（4）不会像爱我的狗那么爱你，（5）这绝对是你最动听的一首歌，或者甚至是（6）我想知道今年谁会赢得澳大利亚公开赛冠军。也许，你现在已经发现这里所列举的例子的特征（例如抽象、否定、末端开放以及演变发展的能力）也正是数学的特点^［274］。

我在前面提到过，莱考夫和努涅斯十分重视数学中隐喻的作用。认知语言学家甚至认为，所有人类语言都使用隐喻来表达几乎所有的事情。也许更加重要的是，自 1957年起［正是在这一年著名的语言学家诺姆·乔姆斯基（Noam Chomsky）出版了他那本革命性的著作《句法结构》（Syntactic Structures）］。^［275］许多语言学家围绕通用语法（universal grammer，指支配所有语言的准则）的概念进行了大量研究。也就是说，那些表面上各不一样的语言，其背后也许隐藏着令人惊奇的相同结构。事实上，如果不是这样的话，那么帮助人们把一门语言翻译为另外一门语言的词典永远都不会起什么作用。

你也许想知道，为什么数学无论是在主题内容上，还是在符号概念上都是统一的。这个问题的前半部分尤其引人关注。大多数数学家都一致认为，我们今天所知的数学起源于由古巴比伦、埃及和希腊人在实践中发展起来的几何和算术，它们是数学最基础的分支。然而，是不是数学必须从那些特定的学科发展出来？计算机专家斯蒂芬·沃夫曼（Stephen Wolfram）在他的那本煌煌巨著《一种新科学》（A New Kind of Science）^［276］中提出了相反的观点，他认为这并不是必须的（数学不一定要从古希腊的几何中发展）。特别是，沃夫曼表明通过简单的规则集（它们类似于计算机程序，通常称为细胞自动机），人们可以发展出一门完全不同的数学。这些细胞自动机可以用来作为自然现象建模的基础工具（至少在原则上可以），以替代使用了近3个世纪之久的微分方程。那么是什么促使古代文明打上了数学发现或发明的特定“标记”呢？事实上，我也不是十分清楚，但是这可能与人类感知系统有很大关系。人类可以比较容易地发现和感知边、直线和光滑曲线，请注意，当你看到一条直线时，你能准确地（仅仅用肉眼）判断出它是一条直线吗？或者，你能辨别出圆形和略微有点扁的圆之间的差别吗？这种感知的能力也许极大地塑造了人类对世界的认识经验，并且在此基础上引出了以离散对象（算术）和几何图形（欧几里得几何）为基础的数学。

符号的统一也许有点类似于“微软 Windows 效应”：全世界都在使用微软公司的Windows操作系统，不是因为这种统一是不可避免的，而是因为一旦这种操作系统占据了计算机主流市场，所有人都不得不使用它，以便使交流更加容易，并且自己开发出的产品也能被其他人使用。同样的道理，西方的符号标记系统也正是以这样的方式占据了数学世界的支配地位。

有意思的是，天文学家和天体物理家用一种有趣的方式对“发明”还是“发现”的问题作出了自己的解答。最新研究表明，太阳系外行星中有百分之五的恒星至少有一个巨行星（就好像太阳系中的木星）围绕它在轨道上运行，在整个银河系中，大概也是这个比例数。尽管类地行星（terrestrial）的精确数量目前还不得而知，但在银河系中充斥着类似的行星，数量可能多达数十亿颗。即使是仅仅只有非常小的一部分（但不是可以忽略的）这类“地球”位于其主星的可居住带（habitable zone，在行星表面能产生液体水的轨道范围）上，在这些行星表面产生生命的概率，特别是产生有智慧的生命的概率还是有的。如果我们发现了另外一种形式的、我们可以与之交流的智慧生命，我们会获得与这种智慧生命发展起的文明有关的信息来解释宇宙。这样我们不仅能在理解生命起源和进化方面取得巨大的进步，甚至还能把我们的逻辑与那些可能比我们还要高级的生物的逻辑体系进行比较。

在宇宙学中有很多推测［例如有一种是永恒膨胀（eternal inflation）］，有些人预测存在多个宇宙。这其中有些宇宙也许不仅自然常量（constants of nature）值（例如力的强度、亚原子微粒的质量比）不同，甚至是整个自然的法则都可能有极大差别。天体物理学家麦克斯·泰格马克认为对于每种可能的数学结构，应当存在一种（按他的话说，是有一种）宇宙^［277］。如果他的理论是正确的话，那么这将是“宇宙就是数学”这种观点的终极版本——不是仅仅只有一个宇宙等同于数学，而是所有的宇宙都是如此。不过，这种推测过于激进，并且目前根本无法得到验证，更重要的是它（至少其最简单的形式）似乎与所谓的折中原则（principle of mediocrity）有矛盾^［278］。我在第5章中已经描述过了，当你在大街上随机挑选一个人时，这个人的身高与平均身高的差距比标准差小的概率大约是95%。同样的道理也适用于研究宇宙的属性。但是可能的数学结构的数量，会随着复杂性的增加而急剧增长。这就意味着那种最“中间”（最接近平均数）的数学结构不可避免地会极其复杂，而这似乎与数学和宇宙学说的简洁性产生了冲突，不符合一种最自然的期待，即我们的宇宙应当是典型的。